Una encuesta de Gallup de 1987 (informada el 12 de abril de 1987) no encontró “evidencia del incremento de intolerancia pública hacia los gays”. La encuesta de 1987 incluyó a 1,015 adultos en “localidades seleccionadas científicamente en todo EEUU” durante el período del 14 al 18 de marzo. Una de las preguntas formuladas fue la siguiente: “¿Crees que las relaciones homosexuales entre adultos, públicamente consentidas, deberían o no deberían ser legales?” En 1986, el porcentaje que dijo “no debería” fue del 54; en 1987 fue del 55. A pesar del aumento del \(54 \%\) al \(55 \%\), Gallup no lo ve como evidencia del incremento de intolerancia. ¿Hay alguna base para esto? Supongamos que el número de encuestados en 1986 también fue de 1,015.
Estudiaremos la hipótesis nula de ninguna diferencia en las proporciones de \(X_1\sim \mathcal{B}er(p_1)\) (tolera o no en 1986) y \(X_2\sim \mathcal{B}er(p_2)\) (tolera o no en 1987), \(H_{0}: p_{1}=p_{2}\). Las proporciones muestrales son \(\hat{p}_{1}=.54\) y \(\hat{p}_{1}=.55\). Bajo \(H_{0}\), el MLE de la proporción común
\[ \widehat{p} = \frac{\sum_{i=1}^{n_{1}}x_{1i}+\sum_{i=1}^{n_{1}}x_{2i}}{n_{1}+n_{2}} = \frac{n_{1}\widehat{p}_{1}+n_{2}\widehat{p}_{1}}{n_{1}+n_{2}} \]
es
\[ \hat{p}=\frac{1015 \times 0.54+1015 \times 0.55}{2030}=0.545 \]
El valor del estadístico de la \(z\) es
\[ z=\frac{0.54-0.55-0}{\sqrt{0.545 \times 0.455\left(\frac{1}{1015}+\frac{1}{1015}\right)}} \approx -0.45. \] Para \(H_{0}\text{: }p_{1}=p_{2}\) vs. \(H_{1}\text{: }p_{1}<p_{2}\), la región de rechazo es
\[
R=\left\{ (x_{1},\ldots,x_{n})\in%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{n}:\frac{\widehat{p}_{1}-\widehat{p}_{1}}{\widehat{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}%
}+\frac{1}{n_{2}}}}<z_{1-\alpha=0.95}=-1.65\right\} .
\] y no pertenece a ella \(z=-0.45\). Al ser el p-valor
correspondiente igual a \(0.33\)
(pnorm(-0.45)=0.33), no existe evidencia en contra de la
hipótesis nula. Por lo tanto, la diferencia observada a nivel muestral
se puede explicar fácilmente como variabilidad de muestreo y proporciona
poca evidencia de que las proporciones de la población sean diferentes
(Observamos que incluso si la muestra de 1986 fuera mucho más grande,
digamos \(n=\infty\), todavía habría
escasa evidencia de que las proporciones de la población fueran
diferentes, ya que \(z \approx -0.64\)
con p-valor igual a 0.26=pnorm(-0.64)).