Integrantes

  1. Diego Fernando Peña Arriola
  2. Diego Santiago Cortes Carrizal
  3. Zuriel Zamudio Paredes
  4. Jorge Octavio García Luna
  5. Jesus Rosas Vaquero

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Ejercicio 12.19

Cuando estimamos un modelo de corrección de errores para las tasas de bonos y la tasa de fondos federales en el Ejemplo 12.9, estimamos los coeficientes de la relación de cointegración \(BR_t = \beta_1 + \beta_2 FFR_t + e_t\) al mismo tiempo que estimábamos los otros coeficientes. Vuelve a ese ejemplo y estima el modelo de corrección de errores con la relación de cointegración reemplazada por los residuos rezagados \(\hat{e}{t-1} = BR{t-1} - 1.328 - 0.832 FFR_{t-1}\). Compara tus estimaciones con las obtenidas en el Ejemplo 12.9, reportadas en la ecuación (12.32).

## [1] "dateid01" "br"       "ffr"      "infn"

Tenemos la serie de datos usdata de 1954 a 2016 que se comporta de la siguiente forma:

plot(usdata5.ts[,-1], main = "usdata")

Del ejercicio 12.9 obtuvimos la siguiente informacion bajo la relacion \(BR_t = \beta_1 + \beta_2 * FFR_t + e_t\) Ahora que conocemos el termino del error buscamos verificar los resultados obtenidos en el ejemplo 12.9 que se muestran a continuacion:

- ¿Los resultados seran congruentes?

ehat0 <- usdata5.ts[, "br"] - 1.323  - 0.833 * stats::lag(usdata5.ts[, "ffr"], -1)

# Ahora se puede utilizar ehat en dynlm()
model <- dynlm(d(br) ~ L(d(br), 1) + L(d(br), 2) + d(ffr) + L(d(ffr), 1:4) + L(ehat0,1), data = usdata5.ts)
summary(model)
## 
## Time series regression with "ts" data:
## Start = 1955(6), End = 2016(12)
## 
## Call:
## dynlm(formula = d(br) ~ L(d(br), 1) + L(d(br), 2) + d(ffr) + 
##     L(d(ffr), 1:4) + L(ehat0, 1), data = usdata5.ts)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.84015 -0.15668 -0.00492  0.13685  1.58730 
## 
## Coefficients:
##                   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)     -0.0005246  0.0104279  -0.050 0.959892    
## L(d(br), 1)      0.2714517  0.0375477   7.230 1.23e-12 ***
## L(d(br), 2)     -0.2426521  0.0379171  -6.400 2.79e-10 ***
## d(ffr)           0.3416870  0.0239963  14.239  < 2e-16 ***
## L(d(ffr), 1:4)1 -0.0665403  0.0274717  -2.422 0.015672 *  
## L(d(ffr), 1:4)2  0.0992853  0.0273496   3.630 0.000303 ***
## L(d(ffr), 1:4)3 -0.0658887  0.0245123  -2.688 0.007352 ** 
## L(d(ffr), 1:4)4  0.0561690  0.0227703   2.467 0.013862 *  
## L(ehat0, 1)     -0.0459130  0.0119134  -3.854 0.000126 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.2835 on 730 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3592, Adjusted R-squared:  0.3522 
## F-statistic: 51.16 on 8 and 730 DF,  p-value: < 2.2e-16
Podemos observar que nuestros resultados son completamente congruentes a los del ejemplo 12.9, donde se usaron non linear squares. a diferencia a esta metodologia donde sustituimos el error directamente a un modelo dynml. 
## [1] "dateid01" "canada"

Ejercicio 12.20

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La base de datos canada6 contiene las tasas de cambio mensuales entre Canadá y EE.UU. para el período desde 1971M1 hasta 2017M3. Divide las observaciones en dos períodos de muestra: un período de muestra de 1971M1 a 1987M12 y otro de 1988M1 a 2017M3.

a. Realiza una prueba de raíz unitaria en los datos para cada período de muestra. ¿Qué pruebas de Dickey-Fuller utilizaste?

Primero dividiremos los periodos con una muestra de 1971M1 a 1987M12 y otro de 1988M1 a 2017M3.

canada6.p1.ts<- ts(canada6, start = c(1971,1),end = c(1987,12), frequency= 12)
canada6.p2.ts<- ts(canada6, start = c(1988,1),end = c(2017,3), frequency = 12)
p1.ts<- canada6.p1.ts[,"canada"]
p2.ts<- canada6.p2.ts[,"canada"]

- Identificando posible tendencia

  • Para el modelo 1:

El gráfico muestra un movimiento sostenido hacia arriba a lo largo del tiempo, lo que sugiere la presencia de una tendencia ascendente. La línea roja, que parece ser una línea de tendencia ajustada, también indica una pendiente positiva, reforzando visualmente la presencia de una tendencia.

# Graficar la serie p1.ts
plot(p1.ts, type = "l", col = "blue", lwd = 2, ylab = "Valor", xlab = "Tiempo", main = "Serie Temporal p1.ts")
abline(reg = lm(p1.ts ~ time(p1.ts)), col = "red") # Añadir una línea de tendencia lineal para p1.ts

  • Para el modelo 2:

Similar al anterior, este gráfico también muestra una tendencia ascendente con la línea roja de tendencia indicando una pendiente positiva. La serie aumenta de valor a lo largo del tiempo, lo cual es indicativo de una tendencia.

# Graficar la serie p2.ts
plot(p2.ts, type = "l", col = "blue", lwd = 2, ylab = "Valor", xlab = "Tiempo", main = "Serie Temporal p2.ts")
abline(reg = lm(p2.ts ~ time(p2.ts)), col = "red") # Añadir una línea de tendencia lineal para p2.ts

- Identificando posible intercepto

  • Para el modelo 1:

Se ajusta un modelo de regresión lineal a la serie temporal \(p1.ts\) con el tiempo como variable independiente para identificar y estimar la tendencia y el intercepto. El valor del intercepto \(\beta_0\) y su p-valor se obtienen del resumen del modelo. Finalmente, se verifica la significancia estadística del intercepto para determinar si es una componente necesaria en el modelo.

\[ p1.ts_t = \beta_0 + \beta_1 t + \epsilon_t \]

Donde:

  • \(p1.ts_t\) es el valor de la serie temporal en el tiempo \(t\).
  • \(\beta_0\) es el intercepto de la regresión.
  • \(\beta_1\) es el coeficiente de la tendencia lineal (la pendiente de la línea de tendencia).
  • \(\epsilon_t\) es el término de error.

Después de ajustar el modelo, evaluamos el intercepto \(\beta_0\) y su significancia estadística. El p-valor asociado con el intercepto nos indica si hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula de que \(\beta_0 = 0\) al nivel de significancia del 5%. Si el p-valor es menor que 0.05, el intercepto es significativo; de lo contrario, no es significativo.

## [1] "Valor del intercepto: -52.1864333229896  | p-value: 6.12858037538238e-106"
## [1] "¿Es significativo el intercepto al nivel del 5%?: TRUE"

Por lo tanto se concluye que se usara intercepto

  • Para el modelo 2:

\[ p2.ts_t = \beta_0 + \beta_1 t + \epsilon_t \]

## [1] "Valor del intercepto: -29.6436813489381  | p-value: 6.84049979788712e-98"
## [1] "¿Es significativo el intercepto al nivel del 5%?: TRUE"

Por lo tanto se concluye que se usara intercepto

Prueba de Dickey–Fuller

  • Modelo 1:

La prueba de hipótesis para la raíz unitaria se define como:

  • H0 (hipótesis nula): \(\gamma = 0\), lo que implica que hay una raíz unitaria y la serie temporal no es estacionaria.

  • H1 (hipótesis alternativa): \(\gamma < 0\), indicando que no hay raíz unitaria y la serie es estacionaria alrededor de una tendencia.

\[ \Delta CANADA_t = 0.04252 + 0.0001032t - 0.04509 CANADA_{t-1} + \]

\[ 0.1864 \Delta CANADA_{t-1} + \epsilon_t \]

donde:

  • \(\Delta CANADA_t\) representa la diferencia de la serie temporal de CANADA en el tiempo \(t\).
  • El término \(0.04252\) es el intercepto estimado (\(\alpha\)), significativo al nivel 0.05 con un valor-p de 0.01527.
  • El coeficiente \(0.0001032\) es la tendencia (\(\beta\)) por unidad de tiempo \(t\), significativa al nivel 0.05 con un valor-p de 0.02205.
  • El término \(-0.04509\) es el coeficiente estimado de \(CANADA_{t-1}\) (\(\gamma\)), crucial para la prueba de raíz unitaria, y es significativo al nivel 0.05 con un valor-p de 0.01771.
  • \(0.1864 \Delta CANADA_{t-1}\) es el coeficiente para la primera diferencia rezagada de la serie temporal (\(\phi\)), significativo al nivel 0.05 con un valor-p de 0.00806.
## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression trend 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt + z.diff.lag)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -0.026194 -0.006666 -0.000228  0.006224  0.039390 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept)  4.252e-02  1.738e-02   2.447  0.01527 * 
## z.lag.1     -4.509e-02  1.885e-02  -2.392  0.01771 * 
## tt           1.032e-04  4.472e-05   2.308  0.02205 * 
## z.diff.lag   1.864e-01  6.964e-02   2.677  0.00806 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.0109 on 198 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.05539,    Adjusted R-squared:  0.04108 
## F-statistic:  3.87 on 3 and 198 DF,  p-value: 0.01016
## 
## 
## Value of test-statistic is: -2.3916 2.7528 2.8628 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau3 -3.99 -3.43 -3.13
## phi2  6.22  4.75  4.07
## phi3  8.43  6.49  5.47

La prueba de raíz unitaria llevada a cabo en la serie temporal de CANADA genera un valor del estadístico de prueba de -2.3916. Para rechazar la hipótesis nula de una raíz unitaria (que indica no estacionariedad) al nivel de significancia del 5%, este valor debe ser menor que el valor crítico correspondiente a ese nivel, que es -3.43.

Dado que -2.3916 no es menor que -3.43, no rechazamos la hipótesis nula al nivel del 5% de significancia. Esto sugiere que no hay suficiente evidencia estadística para concluir que la serie temporal es estacionaria, y por lo tanto, podría contener una raíz unitaria.

Esta conclusión señala que puede ser necesario diferenciar la serie para lograr estacionariedad.

  • Modelo 2:

\[ \Delta CANADA_t = 0.01565 + 0.0000205t - 0.01492 CANADA_{t-1} + \] \[ 0.1652 \Delta CANADA_{t-1} + \epsilon_t \]

donde:

  • \(\Delta CANADA_t\) es la diferencia de la serie temporal de CANADA en el tiempo \(t\).
  • El término \(0.01565\) es el intercepto estimado (\(\alpha\)), con un p-valor de 0.06771, indicando una significancia marginal al nivel del 5%.
  • El coeficiente \(0.0000205\) es la tendencia (\(\beta\)) por unidad de tiempo \(t\), con un p-valor de 0.10945, que no es estadísticamente significativo al nivel del 5%.
  • El término \(-0.01492\) es el coeficiente estimado de \(CANADA_{t-1}\) (\(\gamma\)), con un p-valor de 0.08042, indicando nuevamente significancia marginal.
  • \(0.1652 \Delta CANADA_{t-1}\) es el coeficiente para la primera diferencia rezagada de la serie temporal (\(\phi\)), con un p-valor de 0.00202, lo cual es estadísticamente significativo al nivel del 5%.
## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression trend 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt + z.diff.lag)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -0.033300 -0.008290 -0.000294  0.008000  0.043916 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept)  1.565e-02  8.542e-03   1.833  0.06771 . 
## z.lag.1     -1.492e-02  8.512e-03  -1.753  0.08042 . 
## tt           2.050e-05  1.277e-05   1.605  0.10945   
## z.diff.lag   1.652e-01  5.312e-02   3.110  0.00202 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.01246 on 345 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.03365,    Adjusted R-squared:  0.02524 
## F-statistic: 4.004 on 3 and 345 DF,  p-value: 0.008009
## 
## 
## Value of test-statistic is: -1.7534 1.9368 1.5578 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau3 -3.98 -3.42 -3.13
## phi2  6.15  4.71  4.05
## phi3  8.34  6.30  5.36

El valor del estadístico de prueba para la serie CANADA es -1.7534. Para rechazar la hipótesis nula de una raíz unitaria al nivel del 5%, este valor debe ser menor que el valor crítico correspondiente de -3.42.

Dado que -1.7534 no es menor que -3.42, no rechazamos la hipótesis nula al nivel del 5%. Esto sugiere que no hay evidencia suficiente para afirmar que la serie temporal es estacionaria alrededor de una tendencia, lo que implica que la serie podría contener una raíz unitaria y, por tanto, ser no estacionaria en su forma actual.

b. ¿Son consistentes los resultados para los dos períodos de muestra?

Tomando en cuenta los resultados de las pruebas de Dickey-Fuller Aumentadas para ambos modelos:

  • En el primer modelo, no pudimos rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria al nivel del 5% de significancia, lo que indica que la serie temporal podría no ser estacionaria.

  • En el segundo modelo, también nos encontramos en la situación de no poder rechazar la hipótesis nula al mismo nivel de significancia, sugiriendo igualmente la posible no estacionariedad de la serie.

La consistencia en los resultados se refiere a si las pruebas de raíz unitaria conducen a la misma conclusión sobre la estacionariedad de la serie temporal en ambos períodos de muestra. Dado que en ambos modelos y períodos de muestra no hemos podido rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria, los resultados son consistentes en señalar que la serie temporal puede ser no estacionaria. Esto indica que, independientemente del período de muestra que consideremos, la serie de tiempo muestra propiedades similares de no estacionariedad. Por lo tanto si son consistentes

c. Realiza una prueba de raíz unitaria para la muestra completa de 1971M1 a 2017M3. ¿Cuál es el orden de integración de los datos?

canada6.p3.ts<- ts(canada6, start = c(1971,1),end = c(2017,3), frequency = 12)
p3.ts<- canada6.p3.ts[,"canada"]

- Identificando posible tendencia:

  • Para el modelo 3:

Concluímos que no tiene tendencia, el gráfico muestra fluctuaciones significativas y periodos de aumento y disminución, ademas el espacio entre las fluctuaciones es considerablemente grande indicando aleatoriedad:

# Graficar la serie p1.ts
plot(p3.ts, type = "l", col = "blue", lwd = 2, ylab = "Valor", xlab = "Tiempo", main = "Serie Temporal p3.ts")
abline(reg = lm(p3.ts ~ time(p3.ts)), col = "red") # Añadir una línea de tendencia lineal para p3.ts

- Identificando posible intercepto

  • Para el modelo 3:
## [1] "Valor del intercepto: -4.20670238294756  | p-value: 5.95970136253673e-05"
## [1] "¿Es significativo el intercepto al nivel del 5%?: TRUE"

Por lo tanto se usará un modelo sin tendencia pero con intercepto:

Prueba de Dickey–Fuller

El modelo ajustado para la prueba de raíz unitaria que no incluye tendencia pero sí un intercepto y el término de diferencia rezagada es:

\[ \Delta CANADA_t = 0.009847 - 0.007727 CANADA_{t-1} + \]

\[ 0.293060 \Delta CANADA_{t-1} + \epsilon_t \]

df_test_p3 <- ur.df(p3.ts, type = "drift", selectlags = "AIC")
summary(df_test_p3)
## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression drift 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + z.diff.lag)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -0.067533 -0.009564 -0.000448  0.009901  0.123453 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  0.009847   0.005249   1.876   0.0612 .  
## z.lag.1     -0.007727   0.004273  -1.808   0.0711 .  
## z.diff.lag   0.293060   0.040827   7.178  2.3e-12 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.01684 on 550 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.0891, Adjusted R-squared:  0.08578 
## F-statistic:  26.9 on 2 and 550 DF,  p-value: 7.16e-12
## 
## 
## Value of test-statistic is: -1.8082 1.8274 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau2 -3.43 -2.86 -2.57
## phi1  6.43  4.59  3.78

Al examinar la presencia de una raíz unitaria en la serie temporal p3.ts, empleando un modelo con intercepto (también conocido como drift). El valor del estadístico de prueba para la serie es -1.8082.

Comparando este valor con los valores críticos, encontramos que el valor crítico de -2.86 es menor que -1.81 al nivel de significancia del 5% y por lo tanto no podemos rechazar la hipótesis nula de la presencia de una raíz unitaria al nivel del 5%. Esto sugiere que la serie temporal puede ser no estacionaria.

Dado lo anterior sabemos que tenemos que diferenciar canada, para que sea estacionaria, lo mejor que podemos hacer es utilizar ndiffs y el df_test para determinar de que orden es:

Para determinar la estacionariedad de la serie temporal \(p3.ts\), se realiza la prueba de Dickey-Fuller Aumentada (ADF) sin incluir un intercepto o tendencia en el modelo. La serie se diferencia primero para obtener \(\Delta CANADA_t\) y luego se realiza la prueba ADF en esta serie diferenciada. La ecuación econométrica del modelo es:

\[ \Delta CANADA_t = \gamma CANADA_{t-1} + \epsilon_t \]

El intercepto se guarda dentro de la variable diferencia_canada.ts.

La hipótesis nula de la prueba ADF es que \(\gamma = 0\), lo que indica una raíz unitaria y, por tanto, no estacionariedad en la serie \(CANADA\). Se utiliza la prueba sin intercepto ni tendencia, especificada con el argumento type = 'none', y sin rezagos adicionales, especificado con lags = 0.

diferencia_canada <- diff(p3.ts)
diferencia_canada.ts <- ts(diferencia_canada, c(1971,1),end = c(2017,3), frequency = 12)

df_test <- ur.df(diferencia_canada.ts, type = 'none', lags = 0)
summary(df_test)
## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression none 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -0.069035 -0.008688  0.000599  0.010435  0.125144 
## 
## Coefficients:
##         Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## z.lag.1 -0.71144    0.04072  -17.47   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.01685 on 553 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3557, Adjusted R-squared:  0.3546 
## F-statistic: 305.3 on 1 and 553 DF,  p-value: < 2.2e-16
## 
## 
## Value of test-statistic is: -17.4735 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau1 -2.58 -1.95 -1.62
ndiffs(canada6.p3.ts)
## [1] 1

Se realizó una prueba de raíz unitaria Augmented Dickey-Fuller (ADF) para la serie de diferencias de datos económicos de Canadá, con el objetivo de determinar si la serie es estacionaria o contiene una raíz unitaria.

Configuración de la prueba ADF

  • Modelo: Sin constante ni tendencia (type = 'none').
  • Retrasos (lags): 0.

Dado que el valor del estadístico de prueba (-17.4735) es mucho menor que el valor crítico del 5% (-1.95), rechazamos fuertemente la hipótesis nula de presencia de raíz unitaria en el nivel de significancia del 5%.

Conclusión

La serie de diferencias es estacionaria y no contiene raíz unitaria. El orden de integración de la serie original \(\text{canada6.p3.ts}\) es \(I(1)\), dado que necesitó una diferenciación para alcanzar la estacionariedad, como lo confirma el resultado de la función ndiffs que indica un valor de 1.

Respuesta a la pregunta

“¿Cuál es el orden de integración de los datos?”

El orden de integración de los datos es 1, lo cual indica que la serie original debe diferenciarse una vez para alcanzar estacionariedad.