Un fabricante de lámparas afirma que la vida media de sus bombillas es de 1500 horas. Para verificar esta afirmación, se toma una muestra aleatoria de 30 bombillas y se mide su vida útil, obteniendo una media muestral de 1480 horas con una desviación estándar de 120 horas.
# Datos
n <- 30
x_barra <- 1480
sigma <- 120
mu <- 1500\[ \begin{aligned} n&=30\\ \overline{x}&=1480\\ \sigma&=120\\ \mu&=1500\\ \end{aligned} \]
H0 <- paste("Hipótesis nula: la media poblacional es igual a", mu)
H1 <- paste("Hipótesis alternativa: la media poblacional no es igual a", mu)\[ \begin{aligned} H_0:\mu{=}1500\\ H_1:\mu{\neq}1500\\ \end{aligned} \]
El sistema de hipótesis queda determinado por: Hipótesis nula: la media poblacional es igual a 1500 versus Hipótesis alternativa: la media poblacional no es igual a 1500
# Estadístico de prueba (Z)
z <- (x_barra - mu) / (sigma / sqrt(n))\[ \begin{aligned} z&=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\\ &=\frac{1480-1500}{\frac{120}{\sqrt{30}}}\\ &=-0.9128709\\ \end{aligned} \]
z## [1] -0.9128709# p-valor
p_valor <- 2 * pnorm(-abs(z))\[ \begin{aligned} 2{\times}Prob\left(Z<-|z|\right)&=2{\times}Prob\left(Z<-|-0.9128709|\right)\\ &=0.3613104 \end{aligned} \]
p_valor## [1] 0.3613104# valores críticos
z_025=qnorm(0.025)
z_975=qnorm(0.975)\[ \begin{aligned} z_{\frac{\alpha}{2}}&=-1.959964\\ z_{1-\frac{\alpha}{2}}&=1.959964\\ \end{aligned} \]
z_025## [1] -1.959964z_975## [1] 1.959964\[ \begin{aligned} IC(95\%)&=\overline{x}{\pm}z_{0.975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\\ &=1480{\pm}1.959964\frac{120}{\sqrt{30}}\\ &=1480{\pm}42.9406594\\ \left(\overline{x}-z_{0.975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{x}+z_{0.975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)&=\left(1480{-}1.959964\frac{120}{\sqrt{30}},1480{+}1.959964\frac{120}{\sqrt{30}}\right)\\ &=\left(1480{-}42.9406594,1480{+}42.9406594\right)\\ &=\left(1522.9406594,1437.0593406\right)\\ \end{aligned} \]
PruebaDeHipotesis <- function(p_valor,alpha,H0){
if (p_valor < alpha) {
return(paste("Se rechaza la",H0))
} else {
return(paste("No se rechaza la",H0))
}
}No se rechaza la Hipótesis nula: la media poblacional es igual a 1500
No se rechaza H0: No hay suficiente evidencia estadística en la muestra para afirmar que la vida media de las bombillas es diferente de 1500 horas.
Un fabricante de lámparas afirma que la vida media de sus bombillas es de 1500 horas. Para verificar esta afirmación, se toma una muestra aleatoria de 6 bombillas y se mide su vida útil, obteniendo la muestra siguiente: 1228, 1433, 1482, 1147, 1612 y 1441.
# Datos
muestra <- c(1228, 1433, 1482, 1147, 1612, 1441)
n <- length(muestra)
x_barra <- mean(muestra)
S <- sd(muestra)
mu <- 1500\[ \begin{aligned} n&=6\\ \overline{x}&=1390.5\\ S&=171.7495269\\ \mu&=1500\\ \end{aligned} \]
H0 <- paste("Hipótesis nula: la media poblacional es igual a", mu)
H1 <- paste("Hipótesis alternativa: la media poblacional no es igual a", mu)\[ \begin{aligned} H_0:\mu{=}1500\\ H_1:\mu{\neq}1500\\ \end{aligned} \]
El sistema de hipótesis queda determinado por: Hipótesis nula: la media poblacional es igual a 1500 versus Hipótesis alternativa: la media poblacional no es igual a 1500
# Estadístico de prueba (Z)
t <- (x_barra - mu) / (S / sqrt(n))\[ \begin{aligned} t&=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\\ &=\frac{1390.5-1500}{\frac{171.7495269}{\sqrt{6}}}\\ &=-2.2351594\\ \end{aligned} \]
t## [1] -1.561688# p-valor
p_valor <- 2 * pt(-abs(t),n-1)\[ \begin{aligned} 2{\times}Prob\left(t_ {(n-1)}<-|t|\right)&=2{\times}Prob\left(t_ {(n-1)}<-|-1.5616877|\right)\\ &=0.1791176 \end{aligned} \]
p_valor## [1] 0.1791176# valores críticos
t_025=qt(0.025,n-1)
t_975=qt(0.975,n-1)\[ \begin{aligned} t_{\frac{\alpha}{2},n-1}&=-2.5705818\\ t_{1-\frac{\alpha}{2},n-1}&=`t z_975`\\ \end{aligned} \]
t_025## [1] -2.570582t_975## [1] 2.570582\[ \begin{aligned} IC(95\%)&=\overline{x}{\pm}t_{0.975,5}\frac{S}{\sqrt{n}}\\ &=1390.5{\pm}2.5705818\frac{171.7495269}{\sqrt{6}}\\ &=1390.5{\pm}180.2400747\\ \left(\overline{x}-t_{0.975,5}\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{x}+t_{0.975,5}\frac{S}{\sqrt{n}}\right)&=\left(1390.5{-}1.959964\frac{171.7495269}{\sqrt{6}},1390.5{+}1.959964\frac{171.7495269}{\sqrt{6}}\right)\\ &=\left(1390.5{-}137.4257182,1390.5{+}137.4257182\right)\\ &=\left(1527.9257182,1253.0742818\right)\\ \end{aligned} \]
PruebaDeHipotesis <- function(p_valor,alpha,H0){
if (p_valor < alpha) {
return(paste("Se rechaza la",H0))
} else {
return(paste("No se rechaza la",H0))
}
}No se rechaza la Hipótesis nula: la media poblacional es igual a 1500
No se rechaza H0: No hay suficiente evidencia estadística en la muestra para afirmar que la vida media de las bombillas es diferente de 1500 horas.
Un investigador quiere determinar si la proporción de estudiantes de ciencia de datos que prefieren el aprendizaje en línea es mayor al 60%. Se toma una muestra aleatoria de 200 estudiantes, de los cuales 130 prefieren el aprendizaje en línea.
# Datos
n <- 200
p_muestra <- 130 / n
p <- 0.60H0 <- paste("Hipótesis nula: La proporción de estudiantes que prefieren el aprendizaje en línea es mayor o igual a", p)
H1 <- paste("Hipótesis nula: La proporción de estudiantes que prefieren el aprendizaje en línea es menor a", p)\[ \begin{aligned} H_0:\pi{\geq}0.6\\ H_1:\pi{<}0.6\\ \end{aligned} \]
El sistema de hipótesis queda determinado por: Hipótesis nula: La proporción de estudiantes que prefieren el aprendizaje en línea es mayor o igual a 0.6 versus Hipótesis nula: La proporción de estudiantes que prefieren el aprendizaje en línea es menor a 0.6
# Estadístico de prueba (Z)
z <- (p_muestra-p)/sqrt((p*(1-p))/n)\[ \begin{aligned} z&=\frac{\widehat{p}-\pi}{{\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}n}}}\\ &=\frac{0.65-0.6}{\sqrt{\frac{0.24}{200}}}\\ &=1.4433757\\ \end{aligned} \]
z## [1] 1.443376# p-valor
p_valor <- pnorm(-abs(z),lower.tail=TRUE)\[ \begin{aligned} Prob\left(Z<-|z|\right)&=Prob\left(Z<-|1.4433757|\right)\\ &=0.0744573 \end{aligned} \]
p_valor## [1] 0.07445734# valores críticos
z_025=qnorm(0.025)
z_975=qnorm(0.975)\[ \begin{aligned} z_{\frac{\alpha}{2}}&=-1.959964\\ z_{1-\frac{\alpha}{2}}&=1.959964\\ \end{aligned} \]
z_025## [1] -1.959964z_975## [1] 1.959964\[ \begin{aligned} IC(95\%)&=\widehat{p}{\pm}z_{0.975}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\\ &=0.65{\pm}1.959964\sqrt{\frac{0.6\cdot(1-0.6)}{200}}\\ &=0.65{\pm}0.0678951\\ \left(\widehat{p}-z_{0.975}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},\widehat{p}+z_{0.975}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)&=\left(0.65{-}1.959964\sqrt{\frac{0.6(1-0.6)}{200}},0.65{+}1.959964\sqrt{\frac{0.6(1-0.6)}{200}}\right)\\ &=\left(0.65{-}0.0332617,0.65{+}0.0332617\right)\\ &=\left(0.6832617,0.6167383\right)\\ \end{aligned} \]
Realiza la prueba de hipótesis utilizando un nivel de significancia del 5%.
Interpreta los resultados y determina si hay suficiente evidencia para concluir que la proporción de estudiantes que prefieren el aprendizaje en línea es mayor al 60%.