DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS

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¿Qué son las distribuciones probabilisticas? La estadística se clasifica en dos tipos

Estadística descriptiva

Estadística inferencial

Esta ultima se utiliza para inferir conclusiones por medio de una información recolectada de una muestra, dentro de este tipo de estadistica se manejan alguna terminologia especial como lo es la Distribución de probabilidad “Son toso los posibles valores que resultan de un experimento alatorio, junto con la probabilidad asociada a cada valor” (Bencardino, 2012) es similiar a la distribución de frecuencia pero en esete caso la distribución presenta valores probables de un experimento de un evento futuro.

Los datos que maneja este tipo de distribución se les conoce como Variable aleaotria siendo esta una función dentro de \(\mathbb{R}\) a cada espacio muestal \((A,B,C)\), donde su aplicación es definida como:

\[ X:A \rightarrow \mathbb{R} \] Para cada valor de \(X\), Por tanto es una función cuyo dominimo es el espacio muestral y el rango son todos los \(\mathbb{R}\) . Una forma de verlo grafico seria:

Ejemplo

Secuencia del sexo de los dos primeros bebes que nacen en un hospital, siendo

• \(M = Masculino\)

• \(F = Femenino\)

  \[ \begin{align} S &= \{MM, MF, FM, FF \} \\ X &= \{Número- de-femeninos-en-los-recién-nacidos\} \\ w &= MM \rightarrow X(w) =2 \\ w &= MF=FM \rightarrow X(w) =1 \\ w &= FF \rightarrow X(w) =0 \end{align} \] Dominio de \(X=\{ MM,MF,FM,DD\}\) y el rango del conjunto es \(\{0,1,2\}\)

otra forma de comprender son las caracteristicas de los datos pero en este caso hablamos de un espacio muestral de un experimento aleatorio esto lleva a que se tomen distintos valores (Bencardino, 2012)

este tipo de variable se clasifica en dos:

Variable aleatoria discreta

Primero se entiende que las Variables discretas son aquellos datos que se pueden contar y estos se pueden organizar en una secuencia, estos datos son finitos o infinito

Ejemplo

• El número de heridos que entran a un hospital en un lapso de tiempo

• El número de veces que se lanza una moneda hasta que salga cara

ahora al habla de Variable aleatoria discreta es un campo de variación (dominio de definición) está constituido por un conjunto finito o infinito numerable de valores posibles. Cada suceso de \(\Omega\) se corresponde con un valor

Ejemplo

• Experimento finito : lanzar un dado diez veces se aleatoriza de forma que la variable aleatoria \(X=\{0,1,2,3,4,5,6,,7,8,9 \}\)

• Experimento infinito : contemplar los coches que pasen por un tramo de carretera se aleatoriza de forma que la variable aleatoria \(X=\{0, 1, 2, 3, \cdots , n \}\)

Variable aleatoria continua

Primero se intende por Variable continua cuando se puede tomar un número infinito que esta definido dentro de un intervalo o union de intervalos

Ejemplo

• El tiempo de espera de un paciente en ser atendido

• La edad, estatura, el peso, la presión arterial, etc.

Ahora hablar de Variable aletoria continua es aquella cuyo dominio de definición (campo de variación) es un intervalo (compacto) de la recta real , una unión de varios intervalos , o la totalidad de la recta real.(Por lo tanto los valores definidos de la variable aleatoria son un conjunto infinito no numerable .) El álgebra de sucesos del que surge debe contener un número infinito no numerable de sucesos ,cada uno de ellos se corresponderá con alguno de los (infinitos) intervalos incluidos en el campo de definición.

Ejemplo

• Experimento : contemplar los coches que pasen por un tramo de carretera se aleatoriza de forma que la variable aleatoria \(X = \{tiempo-que-hay-que-esperar-hasta-que-pase-un-coche \}\) expresao de la siguiente forma \(X= [X,\infty)\)

Sea \(X\) una variable aleatoria continua, se llama función de densidad y se representa como una función no negativa definida sobre la recta real, tal que para cualquier intervalo que estudiemos se verifica:

\[ \forall X \in S = \int f(x)dx \]

Función de distribución

La función de distribución describe el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria \(x\) asociada a un experimento aleatorio

Discretos

Sea \(X\) una variable aleatoria discreta asociada a un espacio probabilístico, se define la función de distribución

\[ \mathbb{N} \rightarrow [0,1 ] \] Que verifica

\[ x_{i} \rightarrow F(x_{i}) = P(X \leq x_{i} ) = \sum_{x_{j}-x_{i}}f(x_{j}) \]

Además cumplen las siguientes propiedades

1. \(F(-\infty)=0\)

2. \(F(+\infty) = 1\)

3. \(P[(a,b)]=F(b)-F(a)\)

4. \(P(x_{i} \leq X \leq x_{j}) = F(x_{j}) - F(x_{i-1})\)

Continuos

Sea \(X\) una variable aleatoria continua con función de densidad \(f(x)\) , se define la función de distribución, \(F(x)\) como:

\[ F(x) = P[x \leq X] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx \]

La función de distribución para una variable continua siempre verifica las siguientes propiedades:

1. \(F(x) \geq 0\)

2. \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1\)

3. \(P [a\leq X \leq b] = \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)\)

4. \(f(x) = F´(x)\)

Esperanza matemática de una variable aleatoria

En esta sección estudiaremos, de manera análoga a las variables estadísticas, algunos parámetros de que van a resumir numéricamente las distribuciones de las variables aleatorias, distinguiendo como siempre, para el caso discreto y continuo

Discretos

Dada una variable aleatoria \(X\) que toma valores \(x_{1},x_{2},x{3}, \cdots, x_{n}\) con distribución de probabilidad , se define la esperanza matemática de una variable aleatoria como: \(P(X=x_{i}) = P_{i}\) , se define la esperanza matematica de una variable aleatoria como:

\[ E[X] = \sum^{n}_{i=1} x_{i}P(X=x)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}P_{i} \]

Continuos

Sea \(X\) una variable aleatoria continua con función de densidad \(f(x)\) , se define la esperanza matemática de esa variable aleatoria como:

\[ E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx= \mu \]

Ambos presentan las siguientes propiedades:

1. Si \(c\) es una constante entonces \(E(c)=c\)

2. \(\forall a,b \in \mathbb{R}: E[aX+ b] = aE(X) + b\)

3. Si \(X\) es discreta entonces \(E[g(X)] = \sum^{\infty}_{i=1} g(x_{i})p_{i}\)

4. Si \(X\) es continua entonces \(E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx\)

5. Si \(X_{1}, X_{2}, X_{3}, \cdots, X_{n}\) son variables aleatoria entonces \(E[\sum^{n}_{i=1}X_{i}] = \sum^{n}_{i=1}E[X_{i}]\)

Varianza de una variable aleatoria

A continuación vamos a definir la varianza de una variable aleatoria diferenciando para el caso discreto y continuo. Dada una variable aleatoria \(X\) que toma valores \(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}\) con distribución de probabilidad, se define la varianza de \(X\)

Discretos

\[V[X] = (x-E[X])^{2} = E[(x)]^{2}=\sum^{n}_{i=1}(x_{i}-\mu)^{2} = \sum^{n}_{i=1} x^{2} - \mu^{2} \]

Continuos

\[ V[X]= \int^{+\infty}_{-\infty}(x-\mu)^{2}f(x)dx \]

Covarianza

Sean \(X\) e \(Y\) dos variables aleatorias, se define la covarianza entre estas dos variables como:

\[COV = E[XY] - E[X]E[Y]\]

Teorema de Chebyshev

El Teorema de Chebysheves considerado una desigualdad probabilística, proporciona un límite superior a la probabilidad de que la desviación absoluta de una variable correspondiente o aleatoria, de su medida, excede un umbral dado. En general, el Teorema de Chebyshev se usa para medir la dispersión de los datos para cualquier distribución.

El Teorema de Chebyshev explica que al menos \(1-\frac{1}{k^{2}}\) de datos de una muestra deben caer dentro de \(K\), que es las desviaciones estándar de estándar de la media. En cualquier ejercicio o prueba, el K es un número real positivo mayor que uno.

formulacion

El Teorema de Chebyshev establece que para cualquier conjunto de datos (o distribución) con una media \(\mu\) y una desviación estándar \(\sigma\), al menos \((1 - \frac{1}{k^2}) \times 100\%\) de los datos se encuentra dentro de \(k\) desviaciones estándar de la media. Matemáticamente, esto se expresa como:

Tip

\[ p\left ( \left \| x-\mu \right \|\leq k\sigma\right )\geq 1-\frac{1}{k^{2}} \]

donde: \(P\) es la probabilidad. \(X\) es una variable aleatoria. \(\mu\) es la media de la distribución. \(\sigma\) es la desviación estándar de la distribución. \(k\) es un número positivo mayor que 1.

Ejercicios

Los siguientes ejercicios son tomados del libro “EJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL”

Ejercicio 6

La variable discreta X tiene como distribución de probabilidad

X	1	2	3	4
P(X=Xi)	0,47	0,3	0,1	0,06

Se realiza un cambio de origen hacia la izquierda de dos unidades y un cambio de escala de 3 unidades. Se pide:

a) Media y varianza de la \(X\)

b) Media, varianza y coeficiente de variación de la variable transformada por el cambio de origen

c) Media, varianza y coeficiente de variación de la variable transformada por el cambio de escala

d) Media, varianza y coeficiente de variación de la variable transformada por el cambio de origen y escala

Solución:

a)

X=Xi	P(X=Xi)=Pi	Xi . Pi	Xi^2	Xi^2 . Pi
X1=1	0,30	0,30	1	0,30
X2=2	0,25	0,50	4	1,00
X3=3	0,10	0,30	9	0,90
X4=4	0,35	0,40	16	5,60
	1	2,5		7,8

Media \[ \alpha_{1}=\mu _{x} =E\left ( X \right )=\sum_{i=1}^{4}x_{i}\cdot P\left ( X=x_{i} \right )=\sum_{i=1}^{4}x_{i}\cdot p_{i}=2,5 \]

\[ \alpha_{2}=E\left ( X^{2} \right )=\sum_{i=1}^{4}x^{2}_{i}\cdot P\left ( X=x_{i} \right )=\sum_{i=1}^{4}x^{2}_{i}\cdot p_{i}=7,8 \]

Varianza \[ \sigma ^{2}_{x}= \alpha _{2}-\alpha ^{2}_{1}=7,8-2,5^{2}=1,55 \]

Desviacion tipica \[ \sigma _{x}=\sqrt{1,55}=1,245 \]

Coeficiente de variacion \[ CV_{x}=\frac{\sigma _{x}}{\mu _{x}}=\frac{1,245}{2,5}=0,498 \]

b) Sea Y la variable transformada, al realizar un cambio de origen hacia la izquierda de dos unidades hay que restar \(2\), quedando: \(Y=X-{0}'=X-(-2)=X+2\)

Media \[ \mu _{Y}=E\left ( Y \right )=E\left [ X+2 \right ]=E\left ( X+2 \right )=E\left ( X \right )+2\rightarrow \mu _{Y}=E\left ( Y \right )=2,5+2=4,5 \]

Varianza \[ \sigma ^{2}_{Y}=Var\left [ X+2 \right ]=Var\left ( X \right )+Var\left ( 2 \right )=\sigma ^{2}_{X}+0=\sigma ^{2}_{X} \mapsto \sigma ^{2}_{Y}=1,55 \]

Desviacion Tipica \[ \sigma _{Y}=\sqrt{1,55}=1,245 \]

Coeficiente de variacion \[ CV_{Y}=\frac{\sigma _{Y}}{\mu _{Y}}=\frac{\sigma _{X}}{\mu _{X}+2}=\frac{1,245}{4,5}=0,28\neq CV_{X} \]

Tip

En consecuencia, el cambio de origen afecta a la media y, en consecuencia, al coeficiente de variación

c) Al realizar un cambio de escala de 3 unidades, la variable transformada es \(Y=\frac{X}{3}\)

Media \[ \mu _{Y}=E\left [ \frac{X}{3} \right ]=\frac{1}{3}\cdot E\left ( X \right )\mapsto \mu _{Y}=\frac{1}{3}\cdot \mu _{X}=\frac{2,5}{3} \]

Varianza \[ \sigma ^{2}_{Y} = Var\left [ \frac{x}{3} \right ]=\frac{1}{9}\cdot Var\left ( x \right )=\frac{1}{9}\cdot \sigma ^{2}_{X}\mapsto \sigma ^{2}_{Y}=\frac{1}{9}\cdot 1,55=\frac{1,55}{9} \]

Desviacion tipica \[ \sigma _{Y}=\sqrt{\frac{1,55}{9}}=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{1,55}=\frac{1}{3}\cdot \sigma _{x} \]

Coeficiente de variacion \[ CV_{Y}=\frac{\sigma _{Y}}{\mu _{Y}}=\frac{\frac{1}{3}\cdot \sigma _{X}}{\frac{1}{3}\cdot \mu _{X}}=\frac{\sigma _{X}}{\mu _{X}}=CV_{X}=0,498 \]

Tip

El cambio de escala afecta a la media y a la desviación típica de la misma forma, en consecuencia deja invariante al coeficiente de variación.

Resultados que se observan en la tabla, donde \(Y=\frac{X}{3}\)

Y=yj	P(y=yj)	yj. pj	yj^{2}	yj^{2}. pj
X1=1/3	0,30	0,1	1/9	0,3/9
X2=2/3	0,25	0,5/3	4/9	1/9
X3=1	0,10	0,1	1	0,1
X4=4/3	0,35	0,40	16 /9	5,6/9
	1	2,5/3		7,8/9

Media \[ \alpha _{1}=\mu _{y}=E\left ( Y \right )=\sum_{j=1}^{4}y_{j}\cdot P\left ( Y=y_{j} \right )=\sum_{j=1}^{4}y_{j}\cdot p_{j}=\frac{2,5}{3}=\frac{1}{3}\cdot \mu _{x} \]

\[ \alpha _{2}=E\left ( Y^{2} \right )=\sum_{j=1}^{4}y^{2}_{j}\cdot P\left ( Y=y_{j} \right )=\sum_{j=1}^{4}y^{2}_{j}\cdot p_{j}=\frac{7,8}{9}=\frac{1}{9}\cdot E\left ( Y^{2} \right ) \]

Varianza \[ \sigma ^{2}_{Y}=\alpha _{2}-\alpha ^{2}_{1}=\frac{7,8}{9}-\left ( \frac{2,5}{3} \right )^{2}=\frac{1}{9}\cdot \sigma ^{2}_{x}=\frac{1,55}{9} \]

Desviacion tipica \[ \sigma _{Y}=\sqrt{\frac{1,55}{9}}=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{1,55}=\frac{1}{3}\cdot \sigma _{x} \]

Coeficiente de variación \[ CV_{Y}=\frac{\sigma _{Y}}{\mu _{Y}}=\frac{\frac{1}{3}\cdot \sigma _{X}}{\frac{1}{3}\cdot \mu_{X}}=\frac{\sigma _{X}}{\mu _{X}}=CV_{X}=0,498 \]

d) Al realizar simultáneamente un cambio de origen de 2 unidades a la izquierda y un cambio de escala de 3 unidades, la variable transformada es \(Y=\frac{X+2}{3}\)

Media \[ \mu _{y}=E\left ( Y \right )=E\left [ \frac{X+2}{3} \right ]=\frac{1}{3}\cdot E\left ( X+2 \right )=\frac{1}{3}\cdot E\left ( X \right )+\frac{2}{3} \]

con lo que, \[ \mu _{y}=E\left ( Y \right )=\frac{1}{3}\cdot E\left ( X \right )+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\cdot2,5+\frac{2}{3}=\frac{4,5}{3}=1,5 \]

Varianza \[ \sigma ^{2}_{Y}= Var\left ( Y \right )=Var\left [ \frac{X+2}{3} \right ]=\frac{1}{9}\cdot Var\left ( X+2 \right )=\frac{1}{9}\cdot Var\left ( X \right )=\frac{1}{9}\cdot \sigma ^{2}_{X} \]

Desviacion tiíca \[ \sigma _{Y}=\sqrt{\frac{1,55}{9}}=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{1,55}=\frac{1}{3}\cdot \sigma _{X} \]

Coeficiente de variacion \[ CV_{Y}=\frac{\sigma _{Y}}{\mu _{Y}}=\frac{\frac{1}{3}\cdot \sigma _{X}}{\frac{1}{3}\cdot \mu _{X}+\frac{2}{3}}=\frac{\sigma _{X}}{\mu _{X}+2}=\frac{1,245}{4,5}=0,28\neq CV_{X} \]

Tip

El cambio de origen y de escala afecta a la media y desviación típica de distinta forma, en consecuencia también queda afectado el coeficiente de variación

Resultados que se observan en la tabla, donde \(Y=\frac{X+2}{3}\)

Y=yj	P(y=yj)	yj. pj	yj^{2}	yj^{2}. pj
X1=1	0,30	0,30	1	0,30
X2=4/3	0,25	1/3	16/9	4/9
X3=/3	0,10	0,5/3	25/9	2,5/9
X4=2	0,35	0,70	4	1,4
	1	4,5/3		21,8/9

Media \[ \alpha _{1}=\mu _{Y}=E\left ( Y \right )=\sum_{j=1}^{4}y_{j}\cdot P\left ( Y=y_{j} \right )=\sum_{j=1}^{4}y_{j}\cdot p_{j}=\frac{4,5}{3}=1,5 \]

\[ \alpha _{2}=E\left ( Y^{2} \right )=\sum_{j=1}^{4}y^{2}_{j}\cdot P\left ( Y=y_{j} \right )=\sum_{j=1}^{4}y^{2}_{j}\cdot p_{j}=\frac{21,8}{9} \]

Varianza \[ \sigma ^{2}_{Y}=\alpha _{2}-\alpha ^{2}_{1}=\frac{21,8}{9}-\left ( \frac{4,5}{3} \right )^{2}=\frac{1}{9}\cdot \sigma ^{2}_{X}=\frac{1,55}{9} \]

Desviacion tipica \[ \sigma _{y}=\sqrt{\frac{1,55}{9}}=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{1,55}=\frac{1}{3}\cdot \sigma _{x} \]

Coeficiente de variación \[ CV_{Y}=\frac{\sigma _{Y}}{\mu _{Y}}=\frac{\frac{1}{3}\cdot \sigma _{X}}{\frac{1}{3}\cdot 4,5}=\frac{\sigma _{X}}{4,5}=\frac{1,245}{4,5}=0,28\neq CV_{X} \]

Ejercicio 16

Una variable aleatoria continua X tiene por función de distribución:

\[ f\left ( x \right )\left\{\begin{matrix} 0 & x<1 & \\ x-1& 1\leq x< 2& \\ 1& x\geq 2& \end{matrix}\right. \]

a) Calcular la función de densidad o función de cuantía

b) Calcular la media, mediana y coeficiente de variación

Solución

a) La función de densidad o función de cuantía es la derivada de la función de distribución en los puntos donde exista la derivada, entonces:

\[ f\left ( x \right )=\frac{dF\left ( x \right )}{dx}=\left\{\begin{matrix} 0 &x< 1 \\ 1 &1\leq x< 2 \\ 0& x\geq 2 \end{matrix}\right.\rightarrow f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} 1 &1\leq x< 2 \\ 0& en otro caso \end{matrix}\right. \]

b) media \[ \alpha _{1}=\mu _{x}=E\left ( x \right )=\int_{-\infty }^{\infty }xf\left ( x \right )dx=\int_{1}^{2}xdx=\left [ \frac{x^{2}}{2} \right ]_{1}^{2}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1,5 \]

• La Mediana de una distribución es el valor que deja el 50% de la distribución a la derecha y el otro 50% a la izquierda, por lo que:

\[ \left\{\begin{matrix} F\left ( M_{e} \right )=0,5 &\Rightarrow M_{e}-1=0,5 &\Rightarrow M_{e}=1,5 & & \\ \int_{1}^{M_{e}} f\left ( x \right )=0,5&\Rightarrow \int_{1}^{M_{e}}dx=0,5 &\Rightarrow \left [ x \right ]_{1}^{M_{e}}=0,5 &\Rightarrow M_{e}-1=0,5 &M_{e}=1,5 \end{matrix}\right. \]

Coeficiente de variacion \(CV_{x}=\frac{\sigma _{x}}{\mu _{x}}\)

\[ \alpha _{2}=E\left ( X^{2} \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x^{2}f\left ( x \right )dx=\int_{1}^{2}x^{2}dx=\left [ \frac{x^{3}}{3} \right ]_{1}^{2}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} \]

\[ \sigma ^{2}_{x}=\alpha _{2}-\alpha ^{2}_{1}=\frac{7}{3}-\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}=\frac{7}{3}-\frac{9}{4}=\frac{1}{12}\Rightarrow \sigma _{x}=\sqrt{\frac{1}{12}}=0,08 \]

\[ CV_{x}=\frac{\sigma _{x}}{\mu _{x}}=\frac{0,08}{1,5}=0,05 \]

Ejercicio 10

La demanda media de un producto es de 100 unidades con una desviación típica de 40 unidades. Calcular la cantidad del producto que se debe tener a la venta para satisfacer la demanda de forma que puedan ser atendidos al menos el 80% de los clientes.

Solución

\(\mu =100,\sigma =40\)

Según Chebyshev:

\[ P\left [ \left | X-\mu _{X} \right |\leq K \right ]\geq 1-\frac{\sigma ^{2}}{K^{2}}\rightarrow P\left [ \mu _{X}-K\leq X\leq \mu _{X}+K \right ]\geq 1-\frac{\sigma ^{2}}{K^{2}} \]

\[ P\left [ 100-K\leq X\leq 100+K \right ]\geq \overline{1-\frac{40^{2}}{K^{2}}} \left ( 0,80 \right ) \]

\[ 0,80=1-\frac{40^{2}}{K^{2}} \mapsto \frac{40^{2}}{K^{2}}=0,20\mapsto K^{2}=\frac{40^{2}}{0,20} \mapsto K=\sqrt{\frac{40^{2}}{0,20}}=89,44 \]

Se deben poner a la venta 90 unidades.

Ejercicio 22

La demanda diaria de un determinado artículo es una variable aleatoria con función de densidad:

\[ f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{8} &0< x\leq 4 \\ \frac{12-x}{64}& 4< x\leq 12\\ 0& otrocaso \end{matrix}\right. \]

Los beneficios diarios dependen de la demanda según la siguiente función:

\[ B=\left\{\begin{matrix} -5 &si &x< 2 \\ 5&si &2< x\leq 4 \\ 10&si &4< x\leq 8 \\ 15& si &8< x\leq 12 \end{matrix}\right. \]

Calcular a) Probabilidad de que en un día cualquiera la demanda sea superior a 10

b) Probabilidad de que la demanda sea inferior a 3

c) La esperanza y la varianza de la demanda

d) Función de distribución de la demanda

Solución

a) \(P\left ( x> 10 \right ) =\int_{10}^{12}f\left ( x \right ) dx=\int_{10}^{12}\frac{12-x}{64}dx=\frac{1}{64}\left [ 12x-\frac{x^{2}}{2} \right ]_{10}^{12}=\frac{1}{32}=0,03125\)

b) \(P\left ( x< 3 \right ) =\int_{0}^{3}f\left ( x \right ) dx=\int_{0}^{3}\frac{1}{8}dx=\frac{1}{8}\left [x \right ]_{0}^{3}=\frac{3}{8}=0,375\)

c) Media o Esperanza \[ \alpha _{1}=\mu _{x}=E\left ( x \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\cdot f\left ( x \right )dx+\int_{0}^{4}x\cdot f\left ( x \right )dx+\int_{4}^{12}x\cdot f\left ( x \right )dx=\int_{0}^{4} x\cdot \frac{1}{8}dx+\int_{4}^{12}x\cdot \frac{12-x}{64}dx= \]

\[ =\frac{1}{8}\int_{0}^{4}xdx+\frac{1}{64}\int_{4}^{12}\left ( 12x-x^{2} \right )dx=\frac{1}{16}\left [ x^{2} \right ]_{0}^{4}+\frac{1}{64}\left [ 6x^{2}-\frac{x^{3}}{3} \right ]_{4}^{12}= \]

\[ =1+\frac{1}{64}\left ( 864-\frac{1728}{3}-96+\frac{64}{3} \right )=\frac{13}{3}=4,33 \]

Varianza

\[ \alpha _{2}=E\left ( x^{2} \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot f\left ( x \right )dx=\int_{0}^{4}x^{2}\cdot f\left ( x \right )dx + \int_{4}^{12}x^{2}\cdot f\left ( x \right )dx=\int_{0}^{4}x^{2}\cdot \frac{1}{8}dx+\int_{4}^{12}x^{2}\cdot \frac{12-x}{64}dx \]

\[ =\frac{1}{8}\int_{0}^{4}x^{2}dx+\frac{1}{64}\int_{4}^{12}\left ( 12x^{2}-x^{3} \right )dx =\frac{1}{24}\left [ x^{3} \right ]_{0}^{4}+\frac{1}{64}\left [ 4x^{3}-\frac{x^{4}}{4} \right ]_{4}^{12}= \]

\[ \frac{64}{24}+\frac{1}{64}\left ( 6912-5184-256+64 \right )=\frac{5120}{192}=\frac{80}{3}=26,67 \]

\[ \sigma ^{2}_{x}= Var\left ( x \right )=\alpha _{2}-\alpha _{1}=\frac{80}{3}-\left ( \frac{13}{3} \right )^{2}=\frac{71}{9}=7,89 \]

d) La función de distribución de la demanda \(F\left ( x \right )=\int_{-\infty }^{x}f\left ( t \right )dt\)

\[ F\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} six< 0 &\int_{-\infty }^{x}f\left ( x \right )dx=\int_{-\infty }^{x}0dx=0 & & & \\ si0\leq x< 4& \int_{-\infty }^{x}f\left ( x \right )dx=\int_{-\infty }^{0} 0dxdx+\int_{0}^{x}\frac{1}{8}dx=\frac{x}{8} & & & \\ si4\leq x< 12 &\int_{-\infty }^{x}f\left ( x \right )dx=\int_{0}^{4}\frac{1}{8}dx +\int_{4}^{x}\frac{12-x}{64}dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{64}\left ( -\frac{x^{2}}{2}+12x-40 \right ) & && \\ six\geq 12&\int_{-\infty }^{x}f\left ( x \right )dx=\int_{-\infty }^{0} 0dx+\int_{0}^{4}\frac{1}{8}dx+\int_{4}^{12}\frac{12-x}{64}dx+\int_{12}^{x}0dx=1 & & & \end{matrix}\right. \]

En resumen \[ f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} 0 &six< 0 \\ \frac{x}{8} &si0\leq x< 4 \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{64}\left ( -\frac{x^{2}}{2}+12x-40 \right ) &si 4\leq x< 12 \\ 1&six\geq 12 \end{matrix}\right. \]