Totales

Medias

1. Planteamiento de hipótesis

Las hipótesis para el por presente diseño son las siguientes:

2. Cálculo de sumas de cuadrados \(SS\)

Los cálculos para las sumas de cuadrados son los siguientes:

\[SS_{tratamientos}=\left[ \frac{1}{p}\sum_{j=1}^p y_{.j.}^2 \right] - \frac{y_{...}^2}{N}\]

\[SS_{filas}=\left[ \frac{1}{p}\sum_{j=1}^p y_{i..}^2 \right] - \frac{y_{...}^2}{N}\]

\[SS_{columnas}=\left[ \frac{1}{p}\sum_{j=1}^p y_{..k}^2 \right] - \frac{y_{...}^2}{N}\]

\[SS_{total}=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^p\sum_{k=1}^p y_{ijk}^2 - \frac{y_{...}^2}{N}\]

\[SS_{total}=SS_{tratamientos}+SS_{filas}+SS_{columnas}+SS_{error}\]

3. Cálculo de los grados de libertad \(GL\)

\[GL_{tratamientos}=p-1\]

\[GL_{filas} = p-1 \]

\[GL_{columnas} = p-1 \]

\[GL_{error}= (p-2)(p-1)\]

\[GL_{total}=p^2-1\]

4. Cálculos de cuadrados medios \(MS\)

\[MS_{tratamientos}=\frac{SS_{tratamientos}}{GL_{tratamientos}}\]

\[MS_{filas}=\frac{SS_{filas}}{GL_{filas}}\]

\[MS_{columnas}=\frac{SS_{columnas}}{GL_{columnas}}\]

\[MS_{error}=\frac{SS_{error}}{GL_{error}}\]

\[MS_{total} = \frac{SS_{total}}{GL_{total}}\]

5. Cálculo de estadístico de prueba \(F_0\)

El estadístico

\[F_0=\frac{MS_{tratamientos}}{MS_{error}}\]

Si

\[F_0> F_{\alpha,~p-1,~((p-2)(p-1)} \rightarrow Rechazo~H_0\]

Estimación de la media global \(\mu\)

Si \(\hat{\mu}\) es un estimador para la media global \(\mu\) entonces:

\[\hat{\mu}=\bar{y_{...}}\]

Estimación para el efecto del \(i-ésima\) fila \(\alpha_i\)

Si \(\hat{\alpha_i}\) es un estimador para el efecto \(\alpha\) de la fila \(i\) entonces:

\[\hat{\alpha_i}=\bar{y_{i..}}-\bar{y_{...}} \\ i= 1,2,...,p\]

Estimación para el efecto del \(k-ésima\) columna \(\beta_k\)

Si \(\hat{\beta_k}\) es un estimador para el efecto \(\beta\) de la columna \(k\) entonces:

\[\hat{\beta_k}=\bar{y_{..k}}-\bar{y_{...}} \\ k= 1,2,...,p\]

Estimación para el efecto del \(j-ésimo\) tratamiento \(\tau_j\)

Si \(\hat{\tau_j}\) es un estimador para el efecto \(\tau\) del tratamiento \(j\) entonces:

\[\hat{\tau_j}=\bar{y_{.j.}}-\bar{y_{...}} \\ j= 1,2,...,p\]

Verificación gráfica

# ---------- Realizamos el análisis de varianza --------------

library(readxl)
datos <- read_excel("datos.xlsx")
datos$tratamiento <- as.factor(datos$tratamiento)
datos$fila <- as.factor(datos$fila)
datos$columna <- as.factor(datos$columna)
modelo <- lm(datos$observacion~(datos$tratamiento+datos$fila+datos$columna))
anova <- aov (modelo)

# -- Realizamos la gráfica cuantil - cuantil de los residuales del ANOVA --

library(car)
qqPlot (anova, main= "Gráfico Cuantil - Cuantil", id=FALSE)

Del gráfico Cuantil-Cuantil se observa algunos posibles problemas en las colas de la gráfica, puede que no exista normalidad en los residuales, por lo que es necesario pasar a una verificación analítica de la normalidad.

Verificación analítica mediante Shapiro-Wilk.

Para la prueba tenemos las siguientes hipótesis:

\[H_0: e_{ijk} \sim N(0, \sigma^2) \\ H_1: e_{ijk} \nsim N(0, \sigma^2) \\ i,j,k =1,2,3,4,5 \]

# ---------- Realizamos el análisis de varianza --------------

library(readxl)
datos <- read_excel("datos.xlsx")
datos$tratamiento <- as.factor(datos$tratamiento)
datos$fila <- as.factor(datos$fila)
datos$columna <- as.factor(datos$columna)
modelo <- lm(datos$observacion~(datos$tratamiento+datos$fila+datos$columna))
anova <- aov (modelo)

# -- Realizamos la prueba de Normalidad Shapiro - Wilk --

shapiro.test(modelo$residuals)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  modelo$residuals
## W = 0.92239, p-value = 0.05811

El estadístico de prueba \(W\) para la prueba de Shapiro - Wilk resultó ser igual a \(W = 0.92239\) se debe comparar con el estadístico teórico \(W_{1-\alpha}\) con nivel de significancia \(\alpha=0.05\) y \(25\) residuales. Este valor de tabla resulta ser \(W_{0.95}=0.985\). Cómo \(W<W{1-\alpha}\) no existe evidencia estadística suficiente para rechazar \(H_o\) por lo que se concluye que los residuales provienen de una distribución normal según el contraste de Shapiro - Wilk

Verificación gráfica - homocedasticidad.

# ---------- Realizamos el análisis de varianza --------------

library(readxl)
datos <- read_excel("datos.xlsx")
datos$tratamiento <- as.factor(datos$tratamiento)
datos$fila <- as.factor(datos$fila)
datos$columna <- as.factor(datos$columna)
modelo <- lm(datos$observacion~(datos$tratamiento+datos$fila+datos$columna))
anova <- aov (modelo)

# ----- Graficamos valores predichos vs Residuales -----

predichos <- anova$fitted.values
residuales <- anova$residuals
plot(predichos,residuales, main="Predichos VS Residuales", xlab="Valores predichos", ylab="Residuales",, ylim = c(-5,6), xlim=c(15,35))

En la verificación gráfica de la homocedasticidad no se observa patrón claro alguno, por lo que no existe evidencia gráfica para dudar de la homocedasticidad.

Verificación analítica mediante Bartlett

Para la prueba tenemos las siguientes hipótesis:

\[H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_4^2 = \sigma_5^2 =\sigma^2 \\ H_1: \sigma_i^2 \neq \sigma_j^2~para~al~menos~un~par~(i,j)~con~i \neq j \\ i,j=1,2,3,4,5\]

# ---------- Realizamos el análisis de varianza --------------

library(readxl)
datos <- read_excel("datos.xlsx")
datos$tratamiento <- as.factor(datos$tratamiento)
datos$fila <- as.factor(datos$fila)
datos$columna <- as.factor(datos$columna)
modelo <- lm(datos$observacion~(datos$tratamiento+datos$fila+datos$columna))
anova <- aov (modelo)

# ----- Prueba de Bartlett -----

bartlett.test(anova$residuals~datos$tratamiento)

## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  anova$residuals by datos$tratamiento
## Bartlett's K-squared = 6.8747, df = 4, p-value = 0.1427

qchisq(0.05,4,lower.tail = FALSE)

## [1] 9.487729

La prueba de Bartlett arrojó un estadístico de prueba \(X_0^2= 6.8747\), el estadístico teórico para nivel de significancia \(\alpha=0.05\) y \(p-1\) grados de libertad de los tratamientos resulta en \(X_{0.05,~4}^2=9.487729\). Como \(X_0^2<X_{\alpha,~a-1}\) entonces no existe evidencia suficiente para rechazar \(H_0\) por lo que las varianzas de los tratamientos son iguales.

Verificación gráfica - independencia.

Para la verificación gráfica de la independencia supondremos que los las observaciones se realizaron en el mismo orden mostrado en la tabla típica de la Situación inicial.

# ---------- Realizamos el análisis de varianza --------------

library(readxl)
datos <- read_excel("datos.xlsx")
datos$tratamiento <- as.factor(datos$tratamiento)
datos$fila <- as.factor(datos$fila)
datos$columna <- as.factor(datos$columna)
modelo <- lm(datos$observacion~(datos$tratamiento+datos$fila+datos$columna))
anova <- aov (modelo)

# ----- Grafico residuales como serie de tiempo -----

Orden_de_corrida <- c(1:25)
residuales <- anova$residuals
plot(Orden_de_corrida, residuales, xlab="Tiempo", ylab="Residuales", main="Orden de Corrida vs Residuales", xlim = c(0,26), ylim=c(-4,6))

En el gráfico de Orden de corrida VS Residuales no se observa un patrón claro en los datos, por lo que no existe evidencia para dudar sobre la independencia entre los residuales.

Verificación analítica independencia - Prueba Durbin - Watson

Para la realización de la prueba de independencia se tienen las siguientes hipótesis:

\[H_0: \rho = 0 \\ H_1: \rho \neq 0\]

Siendo \(\rho\) el parámetro que representa la correlación entre residuos consecutivos, es decir, \(Correlación(e_t,~e_{t+1})\)

# ---------- Realizamos el análisis de varianza --------------

library(readxl)
datos <- read_excel("datos.xlsx")
datos$tratamiento <- as.factor(datos$tratamiento)
datos$fila <- as.factor(datos$fila)
datos$columna <- as.factor(datos$columna)
modelo <- lm(datos$observacion~(datos$tratamiento+datos$fila+datos$columna))
anova <- aov (modelo)

# ----- Prueba de Durbin - Watson -----

library(car)
durbinWatsonTest(modelo)

##  lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
##    1      -0.1253125        2.1975   0.646
##  Alternative hypothesis: rho != 0

El estadístico de prueba \(d_0\) para la prueba \(Durbin - Watson\) resultó en \(d_0=2.19\), para un nivel de significancia \(\alpha = 0.05\), \(k=5\) tratamientos y \(25\) residuales, \(d_L=0,953\), \(d_U=1,886\), \(4-d_U=2,114\) y \(4-d_L=3,047\). La prueba no es concluyente en este caso.

Prueba Least Significant Difference para DBCA.