Logo FCA Logo UNCA

Cátedra de Biometría y Técnica Experimental

_______________________________________________________________________________________________________

Trabajo Práctico N° 6: Muestreo y Estimación de Parámetros 

Autores: Prof. Adj. Ing. Agr. Esp. Sebastian Bustos
         J.T.P. Ing. Agr. Arnaldo Romero           

Contacto: estadistica@agrarias.unca.edu.ar


Motivación

A partir de aquí vamos a abordar la Inferencia Estadística, la cual nos permite usar datos provenientes de una muestra, para sacar conclusiones sobre la población de la cual fue extraída dicha muestra, pudiendo realizar predicciones acerca de dicha población de interés. La estimación de parámetros poblacionales es.. En el presente trabajo práctico abordaremos los diferentes casos referidos a los intervalos de confianza.

Intervalos de confianza

Caso 1. Intervalo de confianza para la media poblacional con varianza conocida

Cuando la varianza poblacional es conocida y se desea calcular un intervalo de confianza para la media poblacional, puedes usar la fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional. Supongamos que tienes una muestra de tamaño \(n\) con media muestral \(Xˉ\) y desviación estándar poblacional conocida \(σ\).

El intervalo de confianza para la media poblacional (\(μ\)) con un nivel de confianza (\(1−α\)) se calcula utilizando la siguiente fórmula:

\[ \bar{x} - Z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x} + Z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]


Donde:

  • 𝜇: media poblacional.

  • \(\bar{x}\): media muestral.

  • \(Z_{(α/2)}\): es el valor crítico de la distribución Normal Estándar.

  • \(σ\): es la desviación estándar poblacional.

  • \(n\): es el tamaño de la muestra.


Caso 2. Intervalo de confianza para la media poblacional con varianza desconocida

\[ \bar{x} - t_{\frac{\alpha}{2}, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x} + t_{\frac{\alpha}{2}, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \]


Donde:

  • 𝜇: media poblacional.

  • \(\bar{x}\): media muestral

  • \(t_{(α/2)}\): valor crítico de la distribución \(t\).

  • \(S\): desviación estándar muestral.

  • \(n\): tamaño de la muestra.


Caso 3. Intervalo de confianza para la varianza poblacional

\[ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}, n-1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}, n-1}} \]


Donde:

  • 𝜒\(^2\): valor crítico de la distribución Chi-Cuadrado.

  • \(σ^2\): varianza poblacional.

  • \(S\)\(^2\): varianza muestral

  • \(n\): tamaño de la muestra.


Caso 4. Intervalo de confianza para la proporción

\[ \hat{p} - Z_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} < p < \hat{p} + Z_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]


Donde:

  • \(\hat{p}\): proporción de exitos.

  • 1 - \(\hat{p}\): proporción de fracasos.

  • \(Z_{(α/2)}\): valor crítico de la distribución Normal Estándar.

  • \(n\): tamaño de la muestra.


Tamaño muestral


\[ n = \left( \frac{{2 \cdot Z_{(1-\frac{\alpha}{2})} \cdot \sigma}}{{a}} \right)^2 \]


Donde:

  • \(n\): es el tamaño de la muestra requerido.
  • \(Z_{(1-\frac{\alpha}{2})}\): es el valor crítico z correspondiente al nivel de confianza \(1 - \frac{\alpha}{2}\).
  • \(\sigma\): es la desviación estándar poblacional.
  • \(a\): es la amplitud (o rango) de tu muestra.

Actividades

Ejercicio 1. Considerar la variable rendimiento de maíz, cuya distribución es normal con media μ y desviación estándar \(σ\). Para estimar el rendimiento promedio del maíz bajo el efecto de un herbicida. Para ello se toma una muestra de tamaño 40 y se obtiene un promedio de 60 qq/ha. Se sabe por experiencias anteriores que la varianza poblacional \(σ^2\) = 25 (qq/ha).

  1. Construir los intervalos de confianza del 95% y 99% para μ.

  2. ¿Cómo cambia el intervalo anterior del 95% si el tamaño de la muestra fuese 100 y se obtiene el mismo promedio?

  3. ¿Cómo se modifica el intervalo del 95% calculado en a) si la desviación estándar fuese de 7 qq/ha?


Ejercicio 2. Se quiere diseñar el tamaño de una muestra para estimar μ en una población normal con desviación estándar igual a 13.

Responder:

  1. ¿Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para asegurar una amplitud de 9 unidades para el intervalo de confianza al 95%?

  2. ¿Qué sucede si la confianza cambia al 99%?


Ejercicio 3. En el mercado de abasto, se realizó un estudio de rutina para determinar la presencia de residuo de insecticida en el apio. Con este fin, se seleccionó aleatoriamente una muestra de 30 lotes del producto y se le midió la concentración. Las normas de comercialización establecen que, si el producto presenta un residuo de insecticida con una concentración igual o mayor a 0,50 ppm, presenta riesgo para el consumo humano. Los datos obtenidos, expresados en ppm son:


0,44 0,77 0,28 0,41 0,74 0,74 0,34 0,22 0,33 0,34
0,42 0,17 0,22 0,23 0,35 0,48 0,42 0,59 0,21 0,48
0,67 0,66 0,34 0,37 0,34 0,52 0,32 0,33 0,27 0,32

Responder:

  1. ¿Cuál es la variable en estudio?

  2. Clasifique la variable

  3. Realice un gráfico de cajas y patillas e interprete.

  4. Obtenga las medidas de resumen y concluya.

  5. Elabore un intervalo de confianza para la media utilizando α = 0,10. Sacar conclusiones.


Ejercicio 4. Se desea establecer el contenido vitamínico de un alimento balanceado para pollos. Se toma una muestra de 49 bolsas y se encuentra que el contenido promedio de vitaminas por cada 100 grs. es de 12 mg. y que la desviación estándar es de 2 mg. Encontrar el intervalo de confianza del 95% para el verdadero promedio del contenido de vitaminas.


Ejercicio 5. Para estimar el rendimiento promedio del trigo en un departamento del sur cordobés, se relevan los campos de distintos productores mediante un esquema de muestreo aleatorio simple. Se conoce por experiencias anteriores que σ es igual a 0.8 qq/ha y que el promedio histórico es 32 qq/ha.

Responder:

  1. ¿Qué número de campos se deben evaluar para estimar la media de rendimiento con una confianza del 95%, si la amplitud del intervalo no debe ser mayor que el 2.5% del promedio histórico?

  2. Si la varianza de la distribución aumenta a σ =1.5, ¿aumenta o disminuye el tamaño muestral necesario para mantener la misma amplitud? Concluya.


Ejercicio 6. El espárrago es una planta perenne cuyo cultivo comercial puede tener una duración de 15 años y su implantación es costosa. Dada la extensión del sistema radicular, la profundidad del suelo es fundamental, considerándose indispensable contar con un promedio mínimo de 80 cm de sustrato permeable. Se realizan 14 determinaciones de la profundidad del sustrato permeable (en cm) en puntos tomados al azar en dos campos (A y B). Los resultados fueron los siguientes:

A B
72 78
78 82
86 68
78 68
90 74
104 81
76 85
70 73
83 75
75 89
90 100
81 91
85 82
72 75

Responder:

Construya los intervalos de confianza al 95% y determine si estos campos son aptos para el cultivo.


Ejercicio 7. Teniendo en cuenta la base de datos “Alumnos_2024” y suponiendo distribución normal.


Responder:

  1. Elabore un gráfico de cajas y obtenga las medidas descriptivas para las variables “Altura” y “Edad”.

  2. Elaborar un intervalo de confianza de cada género para la media de la “Altura” con una confianza del 90%. Interpretar.

  3. Elaborar un intervalo de confianza de cada género para la media de la “Edad” con una confianza del 90%. Interpretar.

  4. Elaborar un intervalo de confianza de cada género para la media de la “Altura” con una confianza del 95%.Interpretar.

  5. Elaborar un intervalo de confianza de cada género para la media de la “Altura” con una confianza del 95%. Interpretar.

  6. Compare los resultados de los incisos b, c, d y e, concluya.

  7. ¿Para usted cual en más confiable? ¿Por qué?

  8. ¿Cómo es la precisión?


Ejercicio 8. Con la base de datos obtenida por los estudiantes de Práctica Agronómica I, denominada “PODER_GERMINATIVO”, obtener:

  1. Intervalos de confianza para la media y la desviación estándar de cada variedad.

  2. Construya una tabla con los resultados obtenidos y saque conclusiones.

  3. En todos los casos usar un nivel de significación del 1 %.

  4. Antes de realizar el análisis estadístico deberá eliminar la fila 6 (Grupo 2, var. ESCAROLA, PG = 10).


Bibliografía

  • Mella Gómez, L. E. (2023). Recuperado de: https://rpubs.com/mella10g/inferencia

  • Balzarini, M., Di Rienzo, J. Tablada, M. González, L. Bruno, C., Córdoba, M. Robledo, W., Casanoves, F. (2016). Estadística y biometría: ilustraciones del uso de InfoStat en problemas de agronomía - 2a ed. Córdoba: Editorial Brujas; UNC.

  • Batista, W. B., (2018). Introducción a la inferencia estadística aplicada: teoría, cálculo e interpretación - 1a ed. Ciudad Autónoma de Buenos Aires: Editorial Facultad de Agronomía.