Estadística y Probabilidad

Tabla de contenido

• Probabilidad condicional, probabilidad total y Teorema de Bayes
• Probabilidad condicional
• Probabilidad condicional y regla general de multiplicación de eventos
• Probabilidad de eventos independientes (regla general de multiplicación)
• Eventos excluyentes vs. eventos independientes
• Ejemplos
• Ejercicios

Probabilidad condicional

Probabilidad condicional y regla de multiplicación}

Ejemplo Introductorio

A continuación presentamos una muestra de 243.2 millones de personas, las cuales estan segregadas así: nunca se casó, casado, divorciado y separado y con este ejemplo ilustraremos el concepto de probabilidad condicional.

Encuentre la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar:

1. Haya enviudado.

\[p(viudo)=\frac{14.4}{242.2}\] b. Haya enviudado, dado que se seleccionó una mujes.

\[p(viudo | mujer) = \frac{\#(viudo | mujer)}{\#(mujer)}=\frac{11.4}{124.4}\]

Probabilidad condicional y regla de multiplicación

Probabilidad condicional

Si \(A\) y \(A\) son dos eventos, entonces

\[p(B|A)=\frac{p(A \cap B)}{p(A)}=\frac{\#(A \cap B)}{\#B}\]

La probabilidad de que ocurra el evento \(B\), dado que ocurrio el evento \(A\), está calculado por la probabilidad de la intersección de \(A\) y \(B\), dividido por la probabilidad de \(A\) o también podemos decir: el número de casos en \(A\) y \(B\) dividido por el número de casos del evento \(A\).

Observación

• \(\# A\): denota el número de elementos en \(a\).
• \(\#(A \cap B)\): denota el número de elementos en \((A\cap B)\).

Ejemplo 2 - Probabilidad condicional y regla de multiplicación

La siguiente muestra representa la información del número de comparendos por velocidad emitidos en el último año y el género de los individuos.

Determine las siguientes probabilidades de:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar no tenga comparendos emitidos el último año, dado que el individuo seleccionado al azar es mujer?.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea de sexo femenino, dado que el individuo no tiene comparendos emitidos en el último año?.
3. Según los datos de la encuesta, ¿parece ser que las mujeres tienen más probabilidades de tener cero comparendos que los varones?.

Probabilidad condicional y regla de multiplicación de eventos

Ejemplo 3

Un lote contiene \(100\) artefactos de los cuales \(20\) son defectuosos. Los artefactos son seleccionados uno después del otro para ver si estos son defectuosos. Suponga que dos artefactos son seleccionados sin remplazo (el objeto que se selecciona al azar se deja fuera del lote). ¿Cuál es la probabilidad que los artefactos seleccionados sean defectuosos?.

Ejemplo 4

La circulación de un periódico al que 84% de los hogares de cierta región están suscritos a la edición de lunes a viernes del periódico (\(L\) denota el evento un hogar suscrito a la edición lunes a viernes). Además, se sabe que la probabilidad de que un hogar ya suscrito a la edición de lun-vie, se suscriba también a la edición del sábado es 0.75 (\(S\) denota el evento un hogar suscrito a la edición del sábado). ¿Cuál es la probabilidad de que un hogar se suscriba a ambas, a la edición de lunes a viernes y a también a la del sábado?

Probabilidad total

Sean \(B_1, B_2,\dots ,B_k\) eventos disjuntos (excluyentes) dos a dos del espacio muestral \(\Omega\); además,

\(B_1\cup B_2\cup B_2\cup \dots \cup B_k=\Omega\) y \(A\) otro evento cualquiera de \(\Omega\).

Entonces, se cumple la ley de la probabilidad total, esta es:

\[p(A)=p(A \cap B_1)+p(A\cap B_2)+\cdots +p(A\cap B_k)\] Aplicando la regla de la multiplicación a cada evento \((A \cap B_1), (A \cap B_2= \dots, (A \cap B_k)\), llegamos a

\[p(A)=p(B_1)p(A|B_1)+p(B_2)p(A|B_2)+\cdots +p(B_k)p(A|B_k)\]

Teorema de Bayes

Sean \(B_1, B_2,\dots ,B_k\) eventos disjuntos (excluyentes) dos a dos del espacio muestral \(\Omega\); además,
\(B_1\cup B_2\cup B_2\cup \dots \cup B_k=\Omega\) y \(A\) otro evento cualquiera de \(\Omega\). Entonces, se tiene que:

Ejemplo 5

Tenemos tres urnas, la urna 1 contiene 3 bolas verdes y 5 azules, la urna 2 contiene 4 bolas verdes y 3 bolas azules y la urna 3 contiene 2 bolas verdes y 5 azules. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraida sea verde?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola provenga de la urna 2, dado que la bola extraida es verde?

Ejemplo 6

Una empresa tiene 3 plantas: \(A\), \(B\) y \(C\). La planta \(A\) produce el 50% de la producción total, \(B\) produce el 30% y \(C\) el 20%. El 3% de la producción de \(A\) es defectuosa, mientras que el 2% de \(B\) y el 5% de \(C\) también lo son. Se elige al azar un artículo.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo elegido sea defectuoso?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el articulo provenga de la planta \(C\) dado que el artículo es defectuoso?

7. Un test para la detección precoz del cáncer de mama tiene un 2% de falsos positivos (es decir, el test da positivo, pero la persona no tiene cáncer), y un 1% falso negativos (es decir, el test es negativo, aunque la persona si padece la enfermedad). Si este tipo de cáncer afecta a una mujer de cada 5000 en una determinada población.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer que se practica la prueba de detección de cáncer obtenga como resultado positivo?.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer tenga cancer de mama dado que la prueba es positiva?

Ejercicios

1. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es . La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es . En el supuesto de que haya funcionado la alarma,

1. ¿Cuál es la probabilidad de que suene la alarma?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente, dado que sonó la alarma?

2. Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la bombilla provenga de la caja 1 dado que está fundida?