Estadística Inferencial

Tabla de contenido

• Pruebas de hipótesis para la diferencia medias poblacionales
  • Pruebas de hipótesis con varianzas \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\) conocidas
    • Planteamiento, valor crítico y conclusión
  • Pruebas de hipótesis con varianzas \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\) desconocida
    • Planteamiento, valor crítico y conclusión
  • Ejercicios
  • Ejemplos

Prueba de hipótesis para la diferencia de medias \(\mu_1-\mu_2\)

Consideremos el caso en que tenemos dos poblaciones de modo que la característica que estudiamos en ambas (\(X_1\) y \(X_2\)) son variables aleatorias distribuidas según leyes gaussianas

\[X_1 \sim N(\mu_1,\sigma^2_1) \qquad y \qquad X_2 \sim N(\mu_2,\sigma^2_2)\]

En cada una de estas poblaciones se extrae mediante muestreo aleatorio simple, muestras que no tienen por que ser necesariamente del mismo tamaño (respectivamente \(n_1\) y \(n_2\))

\[X_1 =\{ X_{11},X_{12},\dots,X_{1n_1}\} \quad y \quad X_2 =\{X_{21},X_{22},\dots,X_{2n_2}\}\] La diferencia de medias se plantea como: \(\mu_1-\mu_2\), no obstante, tenemos las siguientes equivalencias:

• \(\mu_1-\mu_2 \neq 0\) \(\Rightarrow\) \(\mu_1 \neq \mu_2\)
• \(\mu_1-\mu_2<0\) \(\Rightarrow\) \(\mu_1<\mu_2\)
• \(\mu_1-\mu_2>0\) \(\Rightarrow\) \(\mu_1>\mu_2\)

Varianzas \(\sigma_1^2\) y \(\sigma^2_2\) conocidas - planteamiento y valor crítico

1. Determine la hipótesis nula y alterna. La hipótesis se puede estructurar en tres caminos:

2. Seleccione el nivel de significancia \(\alpha\).
3. Calcule el estadístico de prueba

\[\displaystyle Z_0=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}}}\sim N(0,1)\]

Varianzas \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\) conocidas - planteamiento y valor crítico

4. Compare el valor crítico con la prueba estadística.

5. Conclusión.

Prueba de hipótesis con varianzas \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\) desconocidas y diferentes

1. Determine la hipótesis nula y alterna. La hipótesis se puede estructurar en tres caminos:

2. Seleccione el nivel de significancia \(\alpha\).

Prueba de hipótesis con varianzas \(\sigma^2\) y \(\sigma_2^2\) desconocidas y diferentes

3. Calcule el estadístico de prueba

• Si no se conocen las varianzas poblacionales \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\), la distribución es \(t-student\).

• La distribución de la diferencia de medias \(\bar{X}_1 - \bar{X}_2\) será \(t-student\) para tamaños de muestra pequeños\(n_1 < 30\) y \(n_2 < 30\).

• El estadístico de prueba es: \(\displaystyle t_0=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}}}\sim t_\nu\)

Prueba de hipótesis con varianzas \(\sigma^2\) y \(\sigma_2^2\) desconocidas y diferentes

De acuerdo a lo anterior, puesto que no se conocen las varianzas poblacionales y son diferentes, entonces hay que encontrar un valor de grados de libertad promedio. Este viene dado por:

\[\displaystyle \nu= \frac{\left(\displaystyle \frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{ \displaystyle \left(\displaystyle \frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{\displaystyle n_1-1} + \frac{ \displaystyle \left(\displaystyle \frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\displaystyle n_2-1}}\]

Donde \(\nu\) son los grados de libertad de la distrubución \(t-student\) con la cual se compara el valor crítico.

Varianzas \(\sigma^2\) y \(\sigma_2^2\) desconocidas - planteamiento y valor crítico

4. Compare el valor crítico con la prueba estadística.

5. Conclusión.

Prueba de hipótesis con varianzas \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\) desconocidas e iguales

1. Determine la hipótesis nula y alterna. La hipótesis se puede estructurar en tres caminos:

2. Seleccione el nivel de significancia \(\alpha\).

Prueba de hipótesis con varianzas \(\sigma^2\) y \(\sigma_2^2\) desconocidas e iguales

3. Calcule el estadístico de prueba

• Si no se conocen las varianzas poblacionales \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\), la distribución es \(t-student\).

• La distribución de la diferencia de medias \(\bar{X}_1 - \bar{X}_2\) será \(t-student\) para tamaños de muestra pequeños\(n_1 < 30\) y \(n_2 < 30\).

• El estadístico de prueba es: \(\displaystyle t_0=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t_{(n_1+n_2-2)}\)

Prueba de hipótesis con varianzas \(\sigma^2\) y \(\sigma_2^2\) desconocidas e iguales

De acuerdo a lo anterior, puesto que no se conocen las varianzas poblacionales y son iguales, entonces hay que encontrar un valor de la varianza ponderada. Este viene dado por:

\[s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}\]

Donde \(S_p^2\) es la varianza común entre \(s_1^2\) y \(s^2_2\)

Varianzas \(\sigma^2\) y \(\sigma_2^2\) desconocidas - planteamiento y valor crítico

4. Compare el valor crítico con la prueba estadística.

5. Conclusión.

Ejemplo 1

Un empresario desea comparar la productividad de dos tipos de obreros industriales de una región, supone que la productividad de ambos tipos de trabajadores es similar pero con mayor variabilidad en uno de ellos; desviación estándar 0.9 por hora en la industria A, con solo 0.3 en la industria B. Para comprobar esta suposición controla durante un cierto tiempo la producción de 200 obreros de A y 350 obreros de B obteniendo una productividad media por hora de 1 y 0.89 respectivamente. ¿Puede concluirse en base a estos resultados que la suposición del empresario era correcta? (\(\alpha = 0.05\)).

Ejemplo 2

Dos profesores en una escuela desean comparar el rendimiento de los alumnos de octavo año que han sido móviles (población 1) con los puntajes de los alumnos que no lo han sido (población 2). ¿Se puede concluir con los datos de las muestras si el puntaje de rendimiento promedio es diferente diferente en los dos grupos?. Se sabe que las varianzas poblacionales son desconocidas e iguales.

• Móviles: \(n_1= 15\), \(\bar{x}_1=85\) ptos., \(S_1=30\) ptos.
• No móviles: \(n_2= 22\), \(\bar{x}_2= 87\) ptos., \(S_1=25\) ptos.

Nota

• Móviles: Estudiantes que asistieron a dos o más escuelas.
• No móviles: Estudiantes que permanecen en la misma escuela.

Ejemplo 3

Se realiza un estudio entre auditores sobre la actividad de las mujeres en su profesión. A los encuestados se les pide que den su opinión con un valor entre uno (muy en desacuerdo) y cinco (muy de acuerdo) sobre la afirmación “En auditoría se asignan los mismos trabajos a las mujeres y a los hombres”. De una muestra de 30 auditores (varones) se obtuvo una respuesta promedio de 4.059 con una desviación típica de 0.839. Para una muestra independiente de 32 mujeres auditoras la respuesta promedio fue de 3.680 con una desviación típica de 0.966. Contraste la hipótesis nula (para \(\alpha\) = 1%) de que la media de la población es igual para auditores varones y mujeres. (Asuma que las varianzas poblacionales son desconocidas y diferentes).