BÀI GIẢNG

Cần xem lại

• Quy tắc đếm
  • Quy tắc cộng
  • Quy tắc nhân
  • Hoán vị
  • Chỉnh hợp
  • Tổ hợp
• Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
  • Giao các tập hợp
  • Hợp các tập hợp
  • Chứa trong
  • Chứa
  • Hiệu

Mộ số khái niệm cơ bản

• Hiện tượng tất định: Là hiện tượng mà kết quả của nó sẽ được biết trước dựa trên những điều kiện ban đầu hay các quy luật đã được chứng minh bằng lý thuyết hoặc thực nghiệm.

Ví dụ 1: Đun nước đến \(100^o\)C trong điều kiện bình thường thì nước sẽ bốc hơi.

• Hiện tượng ngẫu nhiên: Là hiện tượng mà kết quả của nó không thể biết trước cho đến khi nó kết thúc.

Ví dụ 2: Tung một con xúc xắc, Bán một hợp đồng bảo hiểm.

Mộ số khái niệm cơ bản (tt)

• Phép thử ngẫu nhiên: Phép thử ngẫu nhiên là một quá trình hoặc một thí nghiệm hoặc một quan sát mà kết quả của nó không thể dự đoán trước.
• Không gian mẫu: Là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra của một phép thử.
• Biến cố (sự kiện): Là một tập con của không gian mẫu.
• Biến cố sơ cấp: Là một phần tử của không gian mẫu.

Lưu ý: Một cách tổng quát, chúng ta chỉ có 3 nhóm phép thử:

• Tung xu.
• Tung xúc xắc.
• Chọn \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử.

Mộ số khái niệm cơ bản (tt)

• Ví dụ 1: Tung 1 đồng xu, \(\Omega =\{\text{X,N}\}\)
  • Mặt ngữa xuất hiện: \(A_1 = \{N\}\)
  • Mặt xấp xuất hiện: \(B_1 = \{X\}\)
• Ví dụ 2: Tung 2 đồng xu, \(\Omega =\{\text{XX,NN,XN,NX}\}\)
  • Có mặt ngữa: \(A_2 = \{NN,XN,NX\}\)
  • Có cả mặt xấp và mặt ngữa: \(B_2 = \{XN,NX\}\)
  • Không có mặt ngữa: \(C_2 = \{XX\}\)
• Ví dụ 3: Tung 1 xúc xắc, \(\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}\)
  • Số nút chia hết cho 3: \(A_3 = \{3,6\}\)
  • Số nút chẵn: \(B_3 = \{2,4,6\}\)
  • Số nút lớn hơn 4: \(C_3 = \{5,6\}\)
  • Số nút
• Ví dụ 4: Tung 2 xúc xắc, \(\Omega =\{(x,y)| 1\le x,y\le 6\}\)
  • Tổng số nút chia hết cho 5: \(A_4 =\{(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(5,5)\}\)
  • Tổng số nút chia hết cho 7: \(B_4 =\{(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)\}\)
  • …
• Ví dụ 4: Một kho hàng có 8 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B, chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm để bán, \(\Omega =\{(x,y,z)| x,y,z \text{ là sản phẩm trong kho}\}\)

Xác suất theo quan điểm cổ điển

Thực hiện phép thử \(\tau\), có không gian mẫu là \(\Omega\), \(A\) là là một biến cố của phép thử này. Xác suất của biến cố \(A\) được ký hiệu là \(P(A)\) và: \[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\] Với \(|A|, |\Omega|\) lần lượt là số phần tử của tập hợp \(A\) và \(\Omega\).

Xác suất theo quan điểm thống kê

Thực hiện phép thử \(\tau\) \(n\) lần. Gọi \(A\) là biến cố mà chúng ta quan tâm. Khi đó tỷ số \(k/n\) (với \(k\) là số lần xuất hiện biến cố \(A\) trong \(n\) lần thử) được gọi là tần xuất hiện biến cố \(A\). Khi đó xác suất để xuất hiện biến cố \(A\) được định nghĩa: \[P(A) = \lim_{n\to\infty}\frac{k}{n}\] Chúng ta có thể hiểu: \(P(A) \approx k/n\) khi \(n\) đủ lớn.

Xác suất theo quan điểm thống kê (tt)

Ví dụ 1: Tính xác suất xuất hiện mặt ngữa của đồng xu:

Ví dụ 2: Quan sát 10.000 đứa trẻ được sinh trong 1 cộng đồng dân tộc thiểu số, người ta thấy có 5.100 bé trai. Vậy xác suất sinh bé trai của cộng đồng người này là \(51\%\).

Ví dụ 3: Chọn ngẫu nhiên 200 sản phẩm đi kiểm tra người ta phát hiện có 50 sản phẩm không đạt chất lượng, vậy xác suất không đạt chất lượng của sản phẩm này là \(25\%\).

Một số khái niệm

• Biến cố không thể: Là biến cố không thể xảy ra trong 1 phép thử.
• Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn luôn xảy ra trong 1 phép thử.

Ví dụ: Một nhóm có 7 người nam và 2 người nữ, chọn 3 người để thực hiện một nhiệm vụ được giao. Xét các biến cố: Có 3 người nữ, có ít nhất một người nam.

Một số khái niệm (tt)

• Biến cố xung khắc: 2 biến cố \(A, B\) được gọi là xung khắc nếu chúng không thể xảy ra trong một lần thử.
• Biến cố đối lập: 2 biến cố \(A, B\) được gọi là đối lập nếu 2 biến cố này xung khắc và \(A\cup B = \Omega\).

Ví dụ: Tung một con xúc xắc. Xét các biến cố mặt chẵn suất hiện, mặt lẻ xuất hiện, số nút chia hết cho 3 xuất hiện.

Lưu ý: Biến cố đối của biến cố \(A\) được ký hiệu là \(\bar{A}\) và \(P(A)+P(\bar{A}) = 1\).

Một số khái niệm (tt)

• Biến cố độc lập: Biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là độc lập nếu xác suất của biến cố này xảy ra không ảnh hưởng bởi xác suất để biến cố kia xảy ra là bao nhiêu.

Ví dụ 1: Quan sát 2 sinh viên đi thi môn Toán cao cấp, gọi \(A, B\) lần lượt là các biến cố sinh viên thứ nhất thi đậu và sinh viên thứ 2 thi đậu, xét tính độc lập của 2 biến cố này.

Ví dụ 2: Một chùm chìa khóa có 5 chìa (rất giống nhau về hình thức), nhưng trong đó chỉ có 3 chìa mở được cửa. Gọi \(A_1,A_2\) lần lượt là biến cố mở được cửa ở lần mở thứ nhất và thứ 2, xét tính độc lập của 2 biến cố này.

Công thức nhân xác suất

Định nghĩa: Biến cố \(C\) được gọi là tích của biến cố \(A\) và biến cố \(B\), ký hiệu là \(C= A\cap B\) hoặc \(C=AB\) nếu: Biến cố \(C\) xảy ra khi biến cố \(A\) và biến cố \(B\) cùng xảy ra.

Công thức nhân xác suất: \[P(AB) = P(A).P(B|A)\] trong trường hợp 2 biến cố \(A, B\) độc lập với nhau thì công thức trở thành: \[P(AB) = P(A).P(B)\]

Ví dụ 1: Có 2 kho hàng, kho thứ nhất có 5 sản phẩm đạt chất lượng và 2 sản phẩm không đạt chất lượng, kho thứ 2 có 6 sản phẩm đạt chất lượng và 1 sản phẩm không đạt chất lượng, lấy mỗi kho 1 sản phẩm. Tính xác suất cả 2 sản phẩm được chọn đều là sản phẩm tốt.

Ví dụ 2: Một chùm chìa khóa có 5 chìa (rất giống nhau), trong đó chỉ có 3 chìa mở được cửa. Tính xác suất để mở được cửa ở lần mở thứ I và thứ II.

Biến ngẫu nhiên

Khái niệm: Biến ngẫu nhiên là biến số mà giá trị của nó có được từ một phép thử ngẫu nhiên.

ví dụ:

• Một nhóm có 7 nam và 6 người nữ chọn ngẫu nhiên 4 người, gọi \(X\) là số người nữ trong 4 người được chọn.
• Trong trò chơi Bầu - Cua - Tôm - Cá, gọi \(X\) là số con cá xuất hiện trong 1 ván của trò chơi này.
• Chọn ngẫu nhiên một sinh viên, gọi \(X\) là chiều cao của người này.
• Chọn ngẫu nhiên một đứa trẻ ở độ tuổi mẫu giáo, gọi \(X\) là cân nặng của đứa trẻ này.

Biến ngẫu nhiên (tt)

• Biến ngẫu nhiên rời rạc: Là biến ngẫu nhiên mà tập hợp những giá trị mà nó có thể nhận là đếm được (số phần tử).
• Biến Ngẫu Nhiên Liên Tục: Là biến ngẫu nhiên mà tập hợp những giá trị mà nó có thể nhận là một đoạn trên trục số thực.

Biến ngẫu nhiên rời rạc

-Bảng Phân phối xác suất: Là bảng có cấu trúc như sau:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & x_1 & x_2 & x_3 & \dots & x_n \\ \hline P(X=x_i) & p_1 & p_2 & p_3 & \dots & p_n \\ \hline \end{array} \] Ví dụ: Trong kho có 4 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B, lấy 2 sản phẩm bất kỳ ra giao cho khách, gọi \(X\) là số sản phẩm loại A khách nhận được, lập bảng phân phối xác suất cho X.

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X=x) & 1/15 & 8/15 & 6/15 \\ \hline \end{array} \] \[P(X=x) = \frac{C_4^xC_2^{2-x}}{C_6^2}\] và $ E(X) = $

Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

• Kỳ vọng: \[E(X) = \sum_{i=1}^nx_ip_i\]
• Phương sai: \[Var(X)=\sum_{i=1}^n\left[x_i-E(X)\right]^2p_i\]

Phân phối Nhị thức

Biến ngẫu nhiên \(X\) được gọi là có phân phối nhị thức (ký hiệu là \(X \sim B(n,p)\)) nếu thỏa các điều sau:

• \(X\) là số lần thành công của một dãy phép thử độc lập.
• Mỗi phép thử (trong dãy phép thử) chỉ có 2 khả năng (thành công/thất bại).
• Xác suất thành công của mỗi phép thử (trong dãy phép thử) đều bằng \(p\).

Khi đó xác suất để \(X\) nhận giá trị \(x\) được tính bằng công thức sau: \[P(X= x) = C_n^xp^x(1-p)^{n-x}\] và \(E(X) = np, Var(X) = np(1-p)\)

Phân phối Siêu bội

Phân phối hình học

Thực hiện một dãy phép thử thỏa các điều kiện sau:

• Mỗi phép thử chỉ có 2 khả năng: “thành công” hoặc “thất bại”, xác suất “thành công” trong mỗi lần thử là \(p\).
• Các phép thử là độc lập nhau.

Chúng ta sẽ thực hiện phép thử này cho đến khi nào “thành công” thì dừng, gọi \(X\) là số lần thử khi đó \(X\) được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối hình học và được ký hiệu là \(X\sim Geo(p)\) và: \[P(X=x) = (1-p)^{k-1}p\]

Phân phối hình học

Ví dụ: Một kho hàng với tỷ lệ sản phẩm không đạt chất lượng là 15%, chúng ta sẽ lấy lần lượt từng sản phẩm ra để bán, tính xác suất sản phẩm thứ 5 là sản phẩm không đạt chất lượng.

Giải:

Gọi \(X\) là số lần vào kho lấy hàng cho đến khi lấy phải sản phẩm không đạt chất lượng.

Khi đó \(X\sim Geo(0.15)\). \[P(X = 5) = (0.85)^4(0.15)\]

Biến ngẫu nhiên liên tục

Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên (liên tục) \(X\): Là hàm số \(f(x)\) thỏa:

• \(f(x) \ge 0\)
• \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1\)

Khi đó xác suất của biến ngẫu nhiên \(X\) được tính theo công thức sau: \[P(a \le X \le b) = \int_a^bf(x)dx\] Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên (liên tục): \[E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)dx}\]

Phương sai của biến ngẫu nhiên (liên tục): \[Var(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}{[x-E(x)]^2f(x)dx}\]

Phân phối mũ

Phân phối Student

Lý thuyết mẫu

Một số khái niệm:

• Tổng thể (population): Là tập hợp tất cả các phần tử mà chúng ta cần nghiên cứu.
• Biến (variable): Là một đặc điểm của một phần tử trong tổng thể.
• Mẫu (Sample): Là một tập con của tổng thể.
  • Mẫu tổng quát: Là một vector ngẫu nhiên \(\{X_1,X_2,\dots,X_n\}\).
  • Mẫu cụ thể: Là một vector các giá trị mà mẫu tổng quát có thể nhận \(\{x_1,x_2,\dots,x_n\}\).

Lưu ý: Mẫu tổng quát chính là mô hình của việc khảo sát.

Lý thuyết mẫu (tt)

Thống kê mẫu (sample statistic): Là một hàm của các biến ngẫu nhiên trong mẫu tổng quát.

Một số thống kê phổ biến: \[ \begin{align*} \overline{X} = &\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\\ S^2= &\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\right)^2 \end{align*} \]

Uớc lượng điểm

\[ \begin{align*} E(\overline{X}) &= E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)\\ &= \frac{1}{n}E\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)\\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(X_i)=E(X) \end{align*} \]

Uớc lượng điểm

\[ \begin{align*} E(S^2)= &E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\right)^2\right)\\ =&\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\right)^2\right)\\ =&\frac{1}{n-1}(n-1)\sigma^2 = \sigma^2 \end{align*} \] Do \(\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\right)^2\) có phân phối Chi bình phương với \((n-1)\) bậc tự do.

Định Lý Lindeberg-Lévy

Giả sử \(X_1,X_2\dots,X_n\) là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối chuẩn với \(E(X_i) = \mu\) và \(Var(X_i) = \sigma^2\)).

Định lý Lindeberg-Lévy: Khi \(n\) tiến đến vô cùng thì:

\[\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\] Chúng ta sẽ chuyển về phân phối chuẩn tắc:

\[P\left(|Z| \le z_{\alpha/2} \right) = \gamma\]

Định Lý Lindeberg-Lévy (tt)

\[P\left(|Z| \le z_{\alpha/2} \right) = \gamma\] \[P\left(-z_{\alpha/2}\le Z \le z_{\alpha/2} \right) = \gamma\] \[P\left(-z_{\alpha/2}\le \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le z_{\alpha/2} \right) = \gamma\]

\[P\left(\overline{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu\le \overline{X}+ z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = \gamma\]

Ước lượng trung bình của tổng thể

• Ước lượng 2 phía \[\overline{x}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le \mu\le \overline{x}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
• Ước lượng tối đa \[\mu\le \overline{x}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
• Ước lượng tối thiểu \[\mu\ge\overline{x}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\] nếu không có \(\sigma\) chúng ta sẽ thay \(\sigma\) bởi \(S\).

Sai số của bài toán ước lượng TB

\[\varepsilon = z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\] được gọi là sai số của bài toán ước lượng, trong công thức này, chúng ta thấy có sự đánh đổi giữa: sai số, độ tin cậy và cỡ mẫu. Ví dụ, với ví dụ trên ta có:

• \(\varepsilon =\) 2.8286(g)
• Nếu muốn sai số là 2.5(g) và độ tin cậy giữ nguyên thì cỡ mẫu \(n\) là bao nhiêu?

\(n= \left(\frac{s\times z_{\alpha/2}}{\varepsilon} \right)^2 =\) 46.0853

• Nếu muốn sai số là 2(g) và cỡ mẫu là \(n=50\) thì độ tin cậy của bài toán ước lượng là bao nhiêu:

\(z_{\alpha/2} = \frac{\varepsilon\sqrt{n}}{s}=\) 1.6332, nên \(\gamma =\) 0.8969, vậy với sai số là 2(g) và cỡ mẫu là 50 thì độ tin cậy của bài toán ước lượng là 89.69%

Ước lượng tỷ lệ của tổng thể

Gọi \(p\) là tỷ lệ (phần tử có tính chất A) của tổng thể.

• Ước lượng 2 phía

\[\hat{p} - z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le p\le \hat{p} + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

• Ước lượng tối đa

\[p\le\hat{p} + z_{\alpha}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

• Ước lượng tối thiểu

\[p\ge\hat{p} - z_{\alpha}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

Sai số của bài toán ước lượng tỷ lệ

\[\varepsilon=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

được gọi là sai số của bài toán ước lượng (tỷ lệ), trong công thức này chúng ta cũng phải đánh đổi giữa sai số, độ tin cậy và cỡ mẫu. Với ví dụ trên:

• \(\varepsilon = 0.1133\)

• Nếu muốn sai số là 0.1 và độ tin cậy giữ nguyên thì cỡ mẫu sẽ là bao nhiêu? \[n=\left(\frac{z_{\alpha/2}}{\varepsilon} \right)^2\hat{p}(1-\hat{p}) = 46.25\]

• Nếu muốn sai số là 0.1 và cỡ mẫu là \(n=30\) thì độ tin cậy là bao nhiêu?

\[z_{\alpha/2}=\varepsilon\sqrt{\frac{n}{\hat{p}(1-\hat{p})}}= 1.58\]

nên \(\gamma = 0.8859\), vậy với cỡ mẫu là 30 và sai số là 0.1 thì độ tin cậy của bài toán ước lượng là 88.59%.

Ước lượng phương sai của tổng thể

Gọi \(\sigma^2\) là phương sai của tổng thể \[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,\alpha/2}}\le \sigma^2 \le\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}}\]

Ví dụ: Thu thập dữ liệu về trọng lượng của 36 sản sản phẩm chúng ta thu được bảng số liệu sau: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Trọng lượng(g)} & 165&170&180&190&195 \\ \hline \text{Số sản phẩm} & 3& 7& 16& 8& 2 \\ \hline \end{array} \] Hãy ước lượng phương sai về trọng lượng của loại sản phẩm này với độ tin cậy 95%.

Ước lượng chênh lệch trung bình 2 tổng thể

Ước lượng chênh lệch tỷ lệ 2 tổng thể

Kiểm định giả thuyết thống kê

• Giả thuyết: Là một lời phát biểu/suy nghĩ chưa biết đúng sai! (chúng ta xem phát biểu/suy nghĩ của con người là giả thuyết).
• Kiểm định: Kiểm tra một vấn đề xem vấn đề đó có đúng (với một tiêu chuẩn/quy định) không.
• Sai lầm: Là tình huống có sự khác nhau giữa thực tế và lời kết luận.
• Sai lầm loại 1: Bác bỏ giả thuyết trong khi giả thuyết đúng.
• Sai lầm loại 2: Chấp nhận giả thuyết trong khi giả thuyết sai.

Kiểm định tỷ lệ của tổng thể (tt)

Ví dụ: Kiểm tra chiều cao (cm) của một loại cây trồng sau 1 năm người ta thu được bảng số liệu sau:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Chiều cao(cm)} & 10.8 - 14.2&14.2 - 17.6&17.6 - 21&21 - 24.3&24.3 - 27.7&27.7 - 31.1 \\ \hline \text{Số cây} & 6& 12& 14& 19& 10&3 \\ \hline \end{array} \] Những cây có chiều cao trên 24.3cm gọi là những cây phát triển tốt. Có người cho rằng tỷ lệ cây phát triển tốt là 20%, phát biểu này đúng không với mức ý nghĩa 3%.

Gọi \(p\) là tỷ lệ cây phát triển tốt.

\(\hat{p}=13/64 = 0.2031\)

\[\begin{cases}H_0: p=20\% \\H_1: p\ne 20\%\end{cases}\] \[Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}\sqrt{n} = \]

Kiểm định phương sai

Gọi \(\sigma^2\) là phương sai của tổng thể. \[\begin{cases}H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2\\H_1: \sigma^2 \ne \sigma_0^2\end{cases}\] \[\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\] Với \(\alpha\) cho trước tra bảng được \(\chi^2_{n-1,\alpha/2}\)

Nếu \(\chi^2 >\chi^2_{n-1,\alpha/2}\): Bác bỏ \(H_0\).

Kiểm định trung bình của 2 tổng thể

Kiểm định sự bằng nhau về trung bình của 2 tổng thể

\[\begin{cases}H_0: \mu_1 = \mu_2 \\H_1 : \mu_1 \ne \mu_2\end{cases}\] \[z = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\frac{S^2_1}{n_1}-\frac{S^2_2}{n_2}}}\] với độ tin cậy \(\gamma\) cho trước trang bảng được \(z_{\alpha/2}\)

Nếu \(|z|> z_{\alpha/2}\) bác bỏ \(H_0\).

Kiểm định trung bình của 2 tổng thể (tt)

Kiểm định bên trái

\[\begin{cases}H_0: \mu_1 = \mu_2 \\H_1 : \mu_1 < \mu_2\end{cases}\] \[z = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\frac{S^2_1}{n_1}-\frac{S^2_2}{n_2}}}\] với độ tin cậy \(\gamma\) cho trước trang bảng được \(z_{\alpha/2}\)

Nếu \(|z|> z_{\alpha/2}\) bác bỏ \(H_0\).

Dãy số thời gian (Time series)

Định nghĩa: Là dãy số liệu mà thứ tự của nó được xắp xếp theo thứ tự thời gian.

Một cách tổng quát dãy số theo thời gian được tổ chức thành 1 bảng gồm 2 hàng như sau:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{T} & t_1&t_2&\dots&t_n \\ \hline Y_t & y_1& y_2& \dots& y_n \\ \hline \end{array}\]

Phân loại:

• Dãy số thời kỳ.
• Dãy số thời điểm.

Ví dụ 1: FDI (đơn vị tính: Tỷ USD) của Việt Nam được ghi nhận như sau:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Năm} & 2017 & 2018 & 2019 & 2020 & 2021 & 2022 & 2023 \\ \hline \text{FDI} & 17.50 & 19.10 & 20.38 & 19.98 & 19.74 & 22.40 & 23.18 \\ \hline \end{array}\]

Ví dụ 2: Tốc độ gió tại sân bay

Các thành phần của dãy số thời gian

Thông thường một dãy số thời gian được hình thành từ 4 yếu tố:

• Yếu tố xu hướng (Trend).
• Yếu tố mùa vụ (Season).
• Yếu tố chu kỳ (Circling).
• Yếu tố ngẫu nhiên (Illegal).

Một dãy số theo thời gian có thể được mô hình hóa bởi:

\[Y_t = T.S.C.I\] hoặc \[Y_t = T+S+C+I\]