Estadística Inferencial
Clase 3.1
Pruebas (Contraste o Test) de hipótesis
2024-01-29
Prueba de hipótesis
Introducción
En la vida diaria acostumbramos a tomar decisiones; lo usual es plantearnos hipótesis al respecto de alguna situación y luego tomar elementos de juicio y decidir cual es la correcta.
Definición
Una hipótesis es una oración afirmativa que considera una caracterı́stica de una o más poblaciones.
- En este capítulo se abordará otra área de la inferencia estadística llamada Prueba, Contraste o Test de Hipótesis.
Etapas de una prueba de hipótesis
Podemos considerar las siguientes etapas en el proceso:
- El investigador formula una hipótesis sobre un parámetro poblacional, por ejemplo que toma un determinado valor.
- Decida el nivel de significación y dibuje el gráfico que muestra el valor crítico.
- Calcule los parámetros de la muestra y el estadístico de prueba.
- Compare el estadístico de prueba y los valores críticos.
- Llegue a una conclusión contextualizada del problema.
Ejemplo 1
Supongamos que un amigo está organizando una fiesta y fue invitado. Entonces, tiene que tomar la decisión de asistir o no. Usted irá, sólo si le garantizan que la fiesta estará divertida. Usted está en la posición de que la fiesta será aburrida y no irá a menos que le convenzan de lo contrario. Su amigo le asegura que la fiesta será divertida. ¿Usted asiste o no a la fiesta?
En este ejemplo tenemos dos posiciones a quiénes les llamamos hipótesis y son:
- La fiesta será divertida (el criterio de su amigo)
- La fiesta será aburrida (su criterio)
Hipótesis nula vs. alterna
Hipótesis nula (\(H_0\))
Es la hipótesis que queremos probar si es verdadera o no. Generalmente dice que el parámetro de una población asume un valor específico. A menudo se usa la frases “no hay diferencia”, “no cambia”, “no afecta”. La hipótesis nula es asumida como verdad hasta que se encuentre evidencias de lo contrario.
Hipótesis alterna (\(H_1\))
Acerca del mismo parámetro de la población usada en la hipótesis nula. Contradice la hipótesis nula. El rechazo de la hipótesis nula implica tomar como cierta la hipótesis alterna.
Ejemplo 2
Un ingeniero agricola quiere aplicar el nuevo fertilizante X a plantas de espinacas. Por experiencia, el ingeniero sabe que el crécimiento promedio de las plantas de espinacas es máximo de 0.42 cm/día; no obstante, el cree, que con el nuevo fertilizante X, las plantas creceran más rápido. Para esto, realiza una prueba tomando una muestra de 20 plantas. Las hipótesis correspondientes al problema son:
Hipótesis nula
\(H_0\): El crecimiento promedio de las plantas con el fertilizante es menor o igual a 0.42 cm/día.
\[H_0: \mu \leqslant 0.42\]
Hipótesis alterna
\(H_1\): El crecimiento promedio de las plantas con el fertilizante es mayor a 0.42 cm/día.
\[H_1: \mu > 0.42\]
Diferentes pruebas de hipótesis para el parámetro \(\theta\)
Hipótesis de igualdad vs. no igualdad
Prueba de dos colas
- \(H_0: \theta = \theta_0\)
- \(H_1: \theta \neq \theta_0\)
Hipótesis de igualdad vs. menor
Prueba de cola a la izquierda
- \(H_0: \theta = \theta_0\)
- \(H_1: \theta < \theta_0\)
Hipótesis de igualdad vs. mayor
Prueba de cola a la derecha
- \(H_0: \theta = \theta_0\)
- \(H_1: \theta > \theta_0\)
Error tipo I y II
Posibles resultados para una prueba de hipótesis
Error de Tipo I o error \(\alpha\)
Consiste en rechazar la hipótesis \(H_0\) cuando es cierta y se define como: \[p(\text{rechazar } H_0/H_0 \text{ es cierta})= \alpha\]
para \(0 \leqslant \alpha \leqslant 1\)
Error de Tipo II o error \(\beta\)
Consiste en no rechazar la hipótesis \(H_0\) cuando es falsa y se define como:
\[p(\text{no rechazar } H_0/H_0 \text{ es falsa})= \beta\]
para \(0 \leqslant \beta \leqslant 1\)
Nivel de significancia \(\alpha\) (error tipo I)
La selección de la significancia, depende de las consecuencias de cometer el error de tipo I.
- Si las consecuencias son severas se debe considerar un valor pequeño (\(\alpha=0.01\)).
- Si las consecuencias no son severas se podría considerar un valor conservador (\(\alpha=0.05\), \(\alpha=0.10\))
Error de Tipo I o error \(\alpha\)
\[p(\text{rechazar } H_0/H_0 \text{ es cierta})= \alpha\]
para \(0 \leqslant \alpha \leqslant 1\)
Error de Tipo II o error \(\beta\)
\[p(\text{no rechazar } H_0/H_0 \text{ es falsa})= \beta\]
para \(0 \leqslant \beta \leqslant 1\)
Ejemplo
- \(H_0\): Paciente con embarazo.
- \(H_1\): Paciente no tiene embarazo.
Ejemplo 6
En estudios previos se ha determinado que el nivel de colesterol promedio de pacientes con problemas cardíacos era de 245 mg/dl. Un cardiólogo piensa que en realidad el nivel es más alto y para ello realizará una prueba de hipótesis.
- \(H_0\): \(\mu = 245\)
- \(H_1\): \(\mu < 245\)
