Estadística Inferencial

Clase 3.2
Prueba de hipótesis para la media poblacional

Msc. Roberto Trespalacios

Universidad Tecnológica de Bolivar

2024-01-29

Tabla de contenido

  • Pruebas de hipótesis para la media poblacional
    • Prueba de hipótesis con varianza \(\sigma^2\) conocida
      • Planteamiento, valor crítico y conclusión
    • Prueba de hipótesis con varianza \(\sigma^2\) desconocida
      • Planteamiento, valor crítico y conclusión
    • Ejercicios
    • Ejemplos

Prueba de hipótesis para la media poblacional

Prueba de hipótesis con varianza \(\sigma^2\) conocida

  • Si se conoce la varianza población \(\sigma^2\), la distribución adecuada es la distribución normal.
  • Si la población es normal, la distribución de muestreo será normal en el caso de todos los tamaños de la muestra.
  • El estadístico de prueba es:

\[\displaystyle Z_0=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]

  • Si la población no es normal, o si se desconoce su forma, se emplea la distribución anterior solamente para tamaños de muestra grande es decir, \(n \geqslant 30\)

Prueba de hipótesis para la media poblacional

Varianza \(\sigma^2\) conocida - planteamiento y valor crítico

  1. Determine la hipótesis nula y alterna. La hipótesis se puede estructurar en tres caminos:

Hipótesis de igualdad vs. no igualdad
Prueba de dos colas

  • \(H_0: \mu = \theta_0\)
  • \(H_1: \mu \neq \mu_0\)

Hipótesis de igualdad vs. menor
Prueba de cola a la izquierda

  • \(H_0: \mu = \mu_0\)
  • \(H_1: \mu < \mu_0\)

Hipótesis de igualdad vs. mayor
Prueba de cola a la derecha

  • \(H_0: \mu = \mu_0\)
  • \(H_1: \mu > \mu_0\)
  1. Seleccione el nivel de significancia \(\alpha\).
  2. Calcule el estadístico de prueba

\[\displaystyle Z_0=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)\]

Varianza \(\sigma^2\) conocida - planteamiento y valor crítico

  1. Compare el valor crítico con la prueba estadística.

Hipótesis de igualdad vs. no igualdad
Prueba de dos colas

  • \(H_0: \mu = \mu_0\)
  • \(H_1: \mu \neq \mu_0\)

Si \(Z_0 > |Z_{\frac{\alpha}{2}}|\), rechazar \(H_0\)

Hipótesis de igualdad vs. menor
Prueba de cola a la izquierda

  • \(H_0: \mu = \mu_0\)
  • \(H_1: \mu < \mu_0\)

Si \(Z_0 < -Z_{\alpha}\), rechazar \(H_0\)

Hipótesis de igualdad vs. mayor
Prueba de cola a la derecha

  • \(H_0: \mu = \mu_0\)
  • \(H_1: \mu > \mu_0\)

Si \(Z_0 > Z_{\alpha}\), rechazar \(H_0\)

  1. Conclusión.

Prueba de hipótesis con varianza \(\sigma^2\) desconocida

  1. Determine la hipótesis nula y alterna. La hipótesis se puede estructurar en tres caminos:

Hipótesis de igualdad vs. no igualdad
Prueba de dos colas

  • \(H_0: \mu = \mu_0\)
  • \(H_1: \mu \neq \mu_0\)

Hipótesis de igualdad vs. menor
Prueba de cola a la izquierda

  • \(H_0: \mu = \mu_0\)
  • \(H_1: \mu < \mu_0\)

Hipótesis de igualdad vs. mayor
Prueba de cola a la derecha

  • \(H_0: \mu = \mu_0\)
  • \(H_1: \mu > \mu_0\)

  1. Seleccione el nivel de significancia \(\alpha\).

  2. Calcule el estadístico de prueba

  • Si varianza \(\sigma^2\) desconocida, usamos la distribución \(t-student\).
  • Si \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), la distribución de la media muestral es \(t-student\) para muestras \(n < 30\).
  • El estadístico de prueba es: \(\displaystyle t_0=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)

Varianza \(\sigma^2\) desconocida - planteamiento y valor crítico

  1. Compare el valor crítico con la prueba estadística.

Hipótesis de igualdad vs. no igualdad
Prueba de dos colas

  • \(H_0: \mu = \mu_0\)
  • \(H_1: \mu \neq \mu_0\)

Si \(t_0 > |t_{(\frac{\alpha}{2}, n-1)}|\), rechazar \(H_0\)

Hipótesis de igualdad vs. menor
Prueba de cola a la izquierda

  • \(H_0: \mu = \mu_0\)
  • \(H_1: \mu < \mu_0\)

Si \(t_0 < -t_{(\alpha, n-1)}\), rechazar \(H_0\)

Hipótesis de igualdad vs. mayor
Prueba de cola a la derecha

  • \(H_0: \mu = \mu_0\)
  • \(H_1: \mu > \mu_0\)

Si \(t_0 > t_{(\alpha, n-1)}\), rechazar \(H_0\)

  1. Conclusión.

Ejemplo 1

Especialistas sugieren que el puntaje medio en la parte de aprovechamiento académico ha cambiado desde 1980 ya que ese año la media de todos los puntajes era 88 ptos. y desviación estándar de 3 ptos. Para esto, se toma una muestra de 30 estudiantes y se encontró que el promedio fue de 87. Con 5% de significancia, ¿lo que piensa el especialista es cierto? Justificar la respuesta.

Solución

Ejemplo 2

En estudios previos se ha determinado que el nivel de colesterol medio de pacientes con problemas cardı́acos se distribuye normalmente con media 220 y desviación estándar desconocida. Un cardiólogo piensa que en realidad el nivel es más alto y para probar esto usa una muestra de 20 pacientes, encontrando que el promedio es 225.9 y desviación estandar 13. ¿Con un nivel de 10% de significancia, ¿hay suficiente evidencia para apoyar la afirmación del cardiólogo? Justificar la respuesta.

Ejercicios

  1. La producción de trigo parón, con cierto fertilizante(Nitrógeno), se afirma que es menor de 3.2 ton/ha. Para probarlo se tomo una muestra de trigo en 22 hectáreas que fueron rociadas con ese fertilizante y se encontró una media de 3.4 con una desviación estándar de 0.89, Realizar prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 0.05 (95% de seguridad).

  2. Un fabricante de pintura de secado rápido afirma que el tiempo de secado de la misma es de 20 min. El comprador diseña el siguiente experimento: pinta 36 tableros y decide rechazar el producto si el promedio de tiempo de secado de los mismos supera los 20.75 min. Si por experiencia \(\sigma\) = 2.4 min, se pregunta cuál es la probabilidad de rechazar la partida aún perteneciendo a una población con media de 20 min. Con un nivel de significancia del 5%.

  3. Un médico traumatólogo afirma que el contenido de calcio en los huesos de mujeres que padecen osteoporosis después de aplicársele cierto tratamiento es mayor al valor promedio observado para la población femenina que padece está enfermedad, el cual se sabe es igual a 270 mg/g con una desviación de 120 mg/g. Para probar su premisa el investigador determinó el contenido de calcio en los huesos de 36 individuos que fueron sometidos al tratamiento y pudo determinar que dicha muestra arroja un valor promedio de calcio igual a 310 mg/g. La concentración de calcio es una variable que se distribuye normalmente.