Cátedra de Biometría y Técnica Experimental
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Trabajo Práctico N° 5: Distribución Normal
Motivación
La Distribución Normal, también conocida como la campana de Gauss, es una herramienta imprescindible en la comprensión de una diversidad de fenómenos biológicos y ambientales de relevancia para la actividad agropecuaria. Su estudio permite no solo modelar, sino también entender la variabilidad inherente en datos provenientes de sistemas biológicos y ambientales, abarcando aspectos como el rendimiento de los cultivos, la calidad del suelo y la respuesta de las plantas a diversos tratamientos, entre muchas variables que pueden modelarse con esta distribución. Además, la Distribución Normal constituye la base para la comprensión de otros conceptos estadísticos vitales para la investigación y el desarrollo en el ámbito agronómico. Entre estos se incluyen la inferencia estadística, el diseño experimental y la modelización de sistemas biológicos.
Función de Densidad de la Distribución Normal
La función de densidad de probabilidad de la distribución normal está dada por:
\[ \boxed{ \large f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}, \quad \text{para } -\infty < x < \infty } \]
donde:
- \(x\): es la variable aleatoria,
- \(\mu\): media poblacional
- \(\sigma\): desviación estándar
- \(e\): valor constante, base de los logaritmos naturales cuyo valor es 2,71728.
Actividades
Ejercicio 1. Calcular y graficar en un esquema las siguientes probabilidades:
P (Z ≤ 1,3) ; ii) P (Z > -1,5) ; iii) P (-1 < Z ≤ 2)
Hallar el valor de Z tal que:
- El área a la izquierda de z sea 0.05
- El área a la derecha de z sea 0.01
- El área entre –z y z sea 0.68
Ejercicio 2. Un productor de melones posee tres variedades de este fruto que pueden ser destinadas para la exportación. Son frutos exportables aquellos que su peso esté comprendido entre los 800 y 1000 gramos. Si las tres poblaciones tienen los siguientes parámetros:
Población A μ_A = 910 σ_A = 65 Población B μ_B = 870 σ_B = 85 Población C μ_C = 910 σ_C = 105
Responder: a) ¿En qué se diferencian las distribuciones de los tres cultivos? b) ¿Cuál de los tres cultivos tiene mayor porcentaje de frutos exportables?
Ejercicio 3. En una empresa agrícola, la edad de los trabajadores se distribuye normalmente con media de 40 años y una desviación estándar de 9 años.
Responder:
- ¿Qué porcentaje de los trabajadores tiene entre 40 y 55 años?
- ¿Cuál es la probabilidad de que, un trabajador elegido al azar, no sea mayor de 25 años?
- El 25 % de los trabajadores más jóvenes se encuentra debajo de cierta edad ¿Cuál será la misma?
Ejercicio 4. Un productor ganadero, que realiza engorde a corral o “feed lot”, desea vender un lote de 300 animales, para ello, toma una muestra al azar de 40 vacunos y obtiene un peso promedio de 350 k, con un desvío estándar de 20 k. Si tomamos un animal al azar, cuál es la probabilidad de que:
Responder:
- Pese menos de 320 k.
- Pese entre 320 y 400 k.
- Pese más de 400 k.
- Si el peso mínimo permitido, a nivel nacional, para ser comercializado es de 350 k vivo ¿Qué porcentaje de animales no podrán ser vendidos? ¿Qué cantidad de animales representan?
Ejercicio 5. En una región de la República Argentina, se ha determinado que la sequía es el principal factor limitante de los cultivos de cereales de invierno como lo son el trigo (Triticum aestivum) y el centeno (Secale cereale). Se ha observado que si durante el período inverno-primaveral la precipitación es inferior a los 250 mm, disminuye fuertemente el rendimiento del cultivo de trigo. En cambio, el rendimiento del centeno, un cultivo más resistente a la sequía, se compromete si en dicho período llueve menos de 200 mm. En esta área, el total de lluvias invernoprimaverales (mm) en un año a tomar al azar es una variable aleatoria con distribución aproximadamente Normal con μ = 300 mm y σ = 100 mm.
Responder:
- ¿Cuál es la probabilidad de que en un año tomado al azar la sequía no limite el rendimiento del cultivo de trigo?
- ¿Cuál es la probabilidad de que en un año tomado al azar no limite el rendimiento del cultivo de centeno?
- ¿Cuál es la probabilidad de que en un año tomado al azar la sequía limite el rendimiento del cultivo de trigo, pero no el del cultivo de centeno?
- ¿Cuál es la probabilidad de que en un año tomado al azar la sequía limite el rendimiento del cultivo de trigo, pero no el del cultivo de centeno?
- Se conoce que, si las precipitaciones son superiores a los 550 mm durante el ciclo, ambos cultivos disminuyen notablemente los rendimientos llegando incluso a perder toda la producción ¿Cuál será la probabilidad de que, en un año tomado al azar, se obtenga un óptimo rendimiento en dichos cultivos?
Ejercicio 6. Un fabricante de pulverizadoras autopropulsadas informa que la vida útil de éstas, con uso adecuado, tiene una vida útil media de 7 años con una desviación estándar de 1 año. Si la vida útil de este modelo presenta distribución normal y el fabricante da garantía de dos años ¿qué porcentaje de las máquinas necesitarán reparación antes que finalice la garantía?
Ejercicio 7. Teniendo en cuenta la base de datos “Alumnos_2024” y suponiendo distribución normal. Si tomo un estudiante al azar, calcular:
- ¿Cúal es la probabilidad de que su altura sea inferior a 1,60 metros?
- ¿Cúal es la probabilidad de que su altura sea entre 1,60 y 1,70 metros?
- ¿Cúal es la probabilidad de que su altura sea superior a 1,70 metros?
- Que porcentaje de estudiantes corresponden a cada uno de los tres rangos de altura mencionados en los incisos a), b) y c)? ¿Cuántos son?