Unidad 3

1.Supongamos que, en cierta población la presión sanguínea, X, sigue una distribución normal N(μ,σ2). Con el fin de estimar μ y σ, se recoge una muestra de 9 pacientes y se mide su presión sanguínia.
• Calcula un estimador puntual para μ y estima su error estándar.
• Obtened un intervalo de confianza al 80% para μ basado en esta muestra
• ¿Cuál es el margen de error asociado a este intervalo?
• Repite el ejercicio anterior con una muestra de 90 pacientes y comenta las diferencias

set.seed (999)
presiones <-rnorm(n=9, mean=110,sd=6)
#Cálculo de un estimador puntual para μ y estima su error estándar.
media_muestral<-mean(presiones)
error_estandar<-sd(presiones)/sqrt(length(presiones))
print(paste("La media es ", round(media_muestral, digits=4), " y el error estándar es ", round(error_estandar, digits=4)))
## [1] "La media es  106.343  y el error estándar es  1.6781"
#Intervalo confinaza 80%
int_conf<-t.test(presiones, conf.level=0.80)
int_conf
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  presiones
## t = 63.372, df = 8, p-value = 4.275e-12
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 80 percent confidence interval:
##  103.9990 108.6869
## sample estimates:
## mean of x 
##   106.343
#
#El margen de error asociado a un intervalo de confianza se calcula como la mitad del ancho del intervalo, es decir, la resta entre límite superior e inferior entre 2
lim_inf<-103.9990
lim_sup<-108.6869
margen_error<-(lim_sup-lim_inf)/2
print(paste("El margen de error de este intervalo de confianza es:", round(margen_error, digits=4)))
## [1] "El margen de error de este intervalo de confianza es: 2.3439"
#Repetición de los cálculos pero con n=90
presiones2 <-rnorm(n=90, mean=110,sd=6)
#Cálculo de un estimador puntual para μ y estima su error estándar.
media_muestral2<-mean(presiones2)
error_estandar2<-sd(presiones2)/sqrt(length(presiones2))
print(paste("La media es ", round(media_muestral2, digits=4), " y el error estándar es ", round(error_estandar2, digits=4)))
## [1] "La media es  109.6364  y el error estándar es  0.5992"
#Intervalo confinaza 80%
int_conf2<-t.test(presiones2, conf.level=0.80)$conf.int
int_conf2
## [1] 108.8628 110.4100
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.8
#
lim_inf2<-108.9361
lim_sup2<-110.4425
margen_error2<-(lim_sup2-lim_inf2)/2
print(paste("El margen de error de este intervalo de confianza es:", round(margen_error2, digits=4)))
## [1] "El margen de error de este intervalo de confianza es: 0.7532"
#Al hacer esto observamos que el intervalo de confinaza es más estrecho, por haber aumentado la población muestral, y esto resulta en un menor margen de error.

2.-Un ensayo clínico está investigando el efecto de una vacuna contra la gripe, que se considera más eficaz que la vacuna que se receta en la actualidad. Después de administrársela a 520 personas de una población de riesgo tan sólo 48 presentaron la enfermedad.
• Calcula un intervalo de confianza para la proporción de enfermos que cogerían la gripe si se usara esta vacuna en vez de la que se utiliza en la actualidad.
• Cuantas personas tendrían que haberse incluido en el estudio si deseáramos estimar la proporción de infectados con un error inferior al 0.5%?

muestra<-520
enfermos<-48
#Usamos distribución normal porque n>30
ensayo<-rnorm(n=muestra, mean=enfermos)
int_conf3<-t.test(ensayo, conf.level=0.95)$conf.int
int_conf3
## [1] 47.88660 48.05243
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
#A partir de la fórmula: precisión=coeficiente(p(1-p)/tamaño muestra)^1/2. Usando un intervalo del 95% de confianza (Z=1.96) y error tiene que se inferior a 0.5%, entonces: n=((1.96^2)*p*(1-p))/(0.005^2)
incidencia<-enfermos/muestra
n_muestra=((1.96**2)*incidencia*(1-incidencia))/(0.005**2)
print(paste("El tamaño mínimo de la muestra es", as.integer(n_muestra)))
## [1] "El tamaño mínimo de la muestra es 12875"

3.-Se obtiene para una muestra de 314 individuos la distribución del colesterol HDL (mg/dl), (media =55.7 y desv. típica = 14), del colesterol total(mg/dl) (media=211.3 y desv.típica= 48.4) y de los triglicéridos(mg,dl)(media 82.4 y desv.típica 53). Construye los intervalos de confianza al 95% y al 99%.

muestra3<-314
#HDL
media_HDL<-55.7
sd_HDL<-14
HDL<-rnorm(n=muestra3, mean=media_HDL,sd=sd_HDL)
int_conf_95HDL<-t.test(HDL, conf.level=0.95)$conf.int
int_conf_95HDL
## [1] 53.75961 56.88156
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
int_conf_99HDL<-t.test(HDL, conf.level=0.99)$conf.int
int_conf_99HDL
## [1] 53.26451 57.37666
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.99
#Colesterol
media_colesterol<-211.3
sd_colesterol<-48.4
colesterol<-rnorm(n=muestra3, mean=media_colesterol,sd=sd_colesterol)
int_conf_95colesterol<-t.test(colesterol, conf.level=0.95)$conf.int
int_conf_95colesterol
## [1] 210.5745 221.4721
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
int_conf_99colesterol<-t.test(colesterol, conf.level=0.99)$conf.int
int_conf_99colesterol
## [1] 208.8463 223.2003
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.99
#Triglicéridos
media_TAG<-82.4
sd_TAG<-53
TAG<-rnorm(n=muestra3, mean=media_TAG,sd=sd_TAG)
int_conf_95TAG<-t.test(TAG, conf.level=0.95)$conf.int
int_conf_95TAG
## [1] 77.37747 89.83893
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
int_conf_99TAG<-t.test(TAG, conf.level=0.99)$conf.int
int_conf_99TAG
## [1] 75.40127 91.81513
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.99

4.-Suponiendo que una muestra de 486 diabéticos tipo II es representativa de la población diabética tipo II, calcula la estimación por intervalos al 99% y 95% para la proporción de diabéticos tipo II que se tratan solo con dieta (61 en la muestra), para los que se tratan con Hipoglucemiantes orales (249 en la muestra) y para los que se tratan con insulina.(176 en la muestra).

muestra4<-486
dieta<-61
hipogl<-249
insulina<-176
#Usamos distribución normal porque n>30
#Dieta
dist_dieta<-rnorm(n=muestra4, mean=dieta)
int_conf_95dieta<-t.test(dist_dieta, conf.level=0.95)$conf.int
int_conf_95dieta
## [1] 60.88796 61.06822
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
int_conf_99dieta<-t.test(dist_dieta, conf.level=0.99)$conf.int
int_conf_99dieta
## [1] 60.85947 61.09671
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.99
#Tratamiento con hipoglucemiantes orales
dist_hipogl<-rnorm(n=muestra4, mean=hipogl)
int_conf_95hipogl<-t.test(dist_hipogl, conf.level=0.95)$conf.int
int_conf_95hipogl
## [1] 248.9236 249.1034
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
int_conf_99hipogl<-t.test(dist_hipogl, conf.level=0.99)$conf.int
int_conf_99hipogl
## [1] 248.8952 249.1318
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.99
#Tratamiento con insulina
dist_insulina<-rnorm(n=muestra4, mean=insulina)
int_conf_95insulina<-t.test(dist_insulina, conf.level=0.95)$conf.int
int_conf_95insulina
## [1] 175.8943 176.0642
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95
int_conf_99insulina<-t.test(dist_insulina, conf.level=0.99)$conf.int
int_conf_99insulina
## [1] 175.8674 176.0911
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.99

5.- Se aprecia que la proporción de hiperuricémicos entre los hombres y mujeres mayores de 70 años de una muestra son diferentes. Proporciona una estimación al 95% para cada proporción, así como una estimación al 95% para la diferencia de proporciones. Sabiendo que de 150 hombres el 13.3% son hiperuricémicos y de las 210 mujeres son el 28.6% las hiperuricemicas.

#Intervalo hombres
hombres<-150
p_hombres<-0.133
#Uso de la fómrula: IC=p+z(a/2)*((p*(p-1)/n)^1/2)
#Cálculo del intervalo de confianza de los porcentajes
intervalo_hombres<-100*(p_hombres+c(-1,1)*1.96*sqrt(p_hombres*(1-p_hombres)/hombres))
intervalo_hombres
## [1]  7.865672 18.734328
#Intervalo mujeres
mujeres<-210
p_mujeres<-0.286
intervalo_mujeres<-100*(p_mujeres+c(-1,1)*1.96*sqrt(p_mujeres*(1-p_mujeres)/mujeres))
intervalo_mujeres
## [1] 22.48807 34.71193