• Se você fornece data, hora e local de nascimento, um astrólogo monta o seu Mapa Astral.

• De acordo com a astrologia, a posição dos astros no momento em que nascemos influencia nossa maneira de ser. - Wikipedia

• As configurações de um Mapa Astral se repetem apenas a cada 26.000 anos, portanto ele é quase como uma impressão digital - não existe um igual ao outro. - Wikipedia

• Há comprovação científica de que seu mapa astral reflete sua personalidade?

Um teste foi feito da seguinte maneira: 116 pessoas selecionadas aleatoriamente forneceram data, hora e local de nascimento.

Um astrólogo preparou um mapa astral para essas 116 pessoas, usando apenas os dados fornecidos acima.

Cada voluntário também preencheu um questionário: "California Personality Index".

Para um outro astrólogo, foram dados:

• data, hora, local, Mapa Astral de um dos voluntários, por exemplo, voluntário 3.

• questionário de personalidade preenchidos pelo voluntário 3.

• 2 questionários de personalidade, escolhidos ao acaso entre os 115 restantes, preenchidos por outros dois voluntários.

• Ao astrólogo, pediu-se então para identificar qual questionário havia sido preenchido pelo dono daquele Mapa Astral.

• Seja \(p\) a probabilidade de que o astrólogo identifique o questionário correto.

• Se de fato a informação do Mapa Astral não caracteriza a personalidade de uma pessoa e na verdade o astrólogo está apenas escolhendo um dos 3 questionários ao acaso, a probabilidade de acerto é \(p=1/3\).

• Astrólogos confiam em seus estudos e dizem que a probabilidade de acerto é maior do que \(1/3\).

• Como testar se eles estão certos?

• Escolher ao acaso um astrólogo e fazer o teste com ele uma vez, é suficiente?

• 28 astrólogos foram selecionados aleatoriamente a partir de uma lista de astrólogos familiarizados com o "California Personality Index". Esse grupo avaliou os 116 mapas.

• A lista foi preparada pelo "National Council for Geocosmic Research".

• Vimos que podemos estudar fenômenos aleatórios definindo variáveis aleatórias e teoria da probabilidade.

• Um astrólogo pode associar corretamente o questionário ao mapa astral ou não.

• Para cada situação, há uma probabilidade associada. Portanto temos um evento aleatório.

• Como definir a variável aleatória?

• \(X_i\): astrólogo associa corretamente um questionário ao mapa astral \(i\).

• \(X_i\sim b(p)\)

• Podemos pensar em \(p\) como a proporção de acerto na população de astrólogos.

• Se astrólogos não têm a capacidade de predição, \(p= 1/3\).

• Astrólogos alegam que são capazes: \(p>1/3\).

• Como usar dados para testar estes dois cenários?

Teste de Hipótese: procedimento estatístico baseado na análise de uma amostra para avaliar se os dados obtidos podem validar ou não uma hipótese a respeito de um parâmetro populacional

Hipótese Estatística: é uma afirmação ou conjectura sobre a natureza de uma população que será testada. É geralmente escrita em termos dos parâmetros populacionais

Por exemplo: o parâmetro pode ser uma proporção populacional.

Usando o mapa astral de uma pessoa, a probabilidade, \(p\), de um astrólogo predizer corretamente qual dos 3 questionários está associado àquele mapa astral é igual a \(1/3\). Ou seja, os astrólogos apenas selecionam ao acaso um dos questionários.

Nesse caso, para saber se os astrólogos têm a capacidade de predizer a personalidade usando o mapa astral, usaríamos as seguintes hipóteses:

\[ \begin{cases} H_0: p = 1/3 & \mbox{(hipótese nula)} \\ H_a: p > 1/3 & \mbox{(hipótese alternativa)} \end{cases} \]

No experimento com os astrólogos, observar uma proporção alta de acertos pode ser uma evidência contra a hipótese de que \(p=1/3\).

• Passo 1: suposições

O teste é válido sob algumas suposições. A mais importante assume que os dados do experimento foram produzidos através de um processo de aleatorização.

• Passo 2: hipóteses

O teste de hipótese tem sempre duas hipóteses sobre o parâmetro populacional de interesse. As hipóteses devem ser definidas antes de se realizar o experimento e coletar dados.

• Hipótese Nula - \(H_0\): afirma que o parâmetro populacional assume um dado valor.

• Hipótese Alternativa - \(H_a\): afirma que o parâmetro populacional assume outros valores, diferente do valor descrito na \(H_0\).

No experimento com os astrólogos, \(H_0\): \(p=1/3\) representa a hipótese de que não há efeito, no sentido de que os astrólogos não têm uma capacidade maior de predizer a personalidade usando o mapa astral.

A hipótese alternativa, \(H_a\): \(p>1/3\), representa a hipótese de que há efeito, ou seja, os astrólogos têm uma capacidade de predizer a personalidade usando o mapa astral.

Em teste de hipóteses, mantém-se a favor de \(H_0\) a menos que os dados tragam grande evidência contra.

A hipótese nula é conservadora: "o réu é inocente até que se prove o contrário".

• Passo 3: estatística do teste

Vimos que podemos usar uma estatística para estimar um parâmetro populacional. A estatística do teste descreve quão longe do parâmetro populacional usado na \(H_0\) a estimativa está.

Por exemplo, se \(H_0:\) \(p=1/3\), e se \(\hat{p}=40/116=0.345\), queremos uma estatística que quantifique quão longe está \(\hat{p}=0.345\) de \(p=1/3\).

• Passo 4: valor-de-p

Para interpretar uma estatística do teste, vamos usar uma probabilidade para resumir a evidência contra \(H_0\). Esta probabilidade é chamada de valor-de-p.

• Passo 5: conclusão

Baseado no valor-de-p, decidir se rejeita ou não a hipótese nula. Note que a conclusão é sempre em termos da hipótese nula: rejeitar ou não \(H_0\).

Mas quão pequeno deve ser o valor-de-p para ser considerado forte evidência contra \(H_0\)?

Geralmente, fixamos o nível de significância do teste (\(\alpha\)), e usamos a seguinte regra. É comum usarmos \(\alpha=0.05\).

• Se valor-de-p \(\leq \alpha\): rejeitamos \(H_0\), ou seja, os dados trazem forte evidência contra a hipóstese nula

• Se valor-de-p > \(\alpha\): não rejeitamos \(H_0\), ou seja, não temos evidência nos dados contra a hipótese nula

Assumimos primeiro que \(H_0\) é verdadeira.

Consideramos então todos os valores possíveis para a estatística do teste, de acordo com sua distribuição amostral.

Calculamos a estatística do teste observada para o experimento realizado e verificamos onde, na distribuição amostral, ela se posiciona.

Calculamos a probabilidade de um valor igual ou mais extremo ao da estatística do teste observada (valor-de-p). Mais extremo: mais evidência contra \(H_0\).

Se o valor-de-p obtido é bem pequeno, por exemplo, \(0.01\), isto quer dizer que se \(H_0\) é verdadeira, então seria incomum obter uma amostra com os resultados como o observado. Um valor-de-p muito baixo traz fortes evidências contra \(H_0\).

Passo 1: suposições

• A variável de interesse é binária.

• \(X_i\): astrólogo \(i\) associa corretamente um questionário ao mapa astral.

• \(X_i \sim b(p)\)

• Os dados foram obtidos usando processo de aleatorização: uma amostra aleatória de voluntários e astrólogos foi feita.

• Temos uma a.a. de tamanho \(116\). Portanto, a distribuição amostral da estimativa para \(p\), \(\hat{p}\), tem distribuição aproximadamente normal, pelo TCL.

Passo 2: hipóteses

• \(H_0\): \(p=p_0=1/3\). Astrólogos chutam qual o questionário está associado ao mapa astral.

• \(H_a\): \(p>p_0=1/3\). Astrólogos predizem melhor do que um chute qual o questionário está associado ao mapa astral.

Passo 3: estatística do teste

• Estatística do teste mede quão longe está a proporção amostral, \(\hat{p}\), da proporção populacional, \(p\), assumindo que \(H_0\) seja verdadeira?

• \(\hat{p}\sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)\)

• Se \(H_0\) é verdadeira: \(\hat{p}\sim N\left(p_0,\frac{p_0(1-p_0)}{n}\right)\)

Passo 3: estatística do teste

• A estatística do teste é: \[Z=\frac{\hat{p}-p_0}{EP_0(\hat{p})}\] onde \(EP_0(\hat{p})\) é o erro padrão de \(\hat{p}\) sob \(H_0\): \(\sqrt{p_0(1-p_0)/n}\).

\[Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \overset{H_0}{\sim} N(0,1)\]

• A estatística do teste mede quão distante está \(\hat{p}\) de \(p\) em unidades de "erro-padrão".

Passo 3: estatística do teste

• No experimento dos astrólogos, dentre 116 mapas, 40 foram corretamente associados ao questionário de personalidade. \(\hat{p}= 40/116=0.345\).

\[z_{obs}=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}= \frac{0.345-1/3}{\sqrt{\frac{1/3(1-1/3)}{116}}}=0.27\]

• A proporção amostral está a 0.27 erro-padrão de distância da proporção populacional segundo \(H_0\).

Passo 4: valor-de-p

• \(z_{obs}=0.27\) traz evidência contra \(H_0\) a favor de \(H_a\)?

• Quão improvável é \(z_{obs}=0.27\) se a proporção de acertos dos astrólogos é de fato \(p=p_0=1/3\)?

• Valor-de-p: probabilidade de que uma estatística do teste assuma um valor igual ou mais extremo, assumindo que \(p=p_0=1/3\).

• Mais extremo: neste caso, é um maior valor de \(z_{obs}\), pois equivale a um maior \(\hat{p}\), maior proporção amostral de acertos (astrólogos alegam que \(p>1/3\)).

• Valor-de-p: \(P(Z>z_{obs})=P(Z>0.27)=0.3936\), onde \(Z\sim N(0,1)\).

Passo 5: conclusão

• O valor-de-p obtido no experimento foi 0.3936.

• O valor não é tão pequeno.

• Não encontramos evidências contra \(H_0\).

• Não podemos concluir que astrólogos têm poderes preditivos especiais usando mapa-astral.

Detalhes da pesquisa podem ser encontrados no artigo da revista Nature: A double-blind test of Astrology.

Suponha que temos uma população e uma hipótese sobre a proporção \(p\) de indíviduos com certa característica

Hipóteses:
\[ \begin{aligned} H_0: p = p_0 \quad \mbox{vs} \quad H_a: & p \neq p_0 \mbox{ (bilateral)} \\ & p < p_0 \mbox{ (unilateral à esquerda)} \\ & p > p_0 \mbox{ (unilateral à direita)} \end{aligned} \]

Estatística do teste: Baseada na distribuição amostral de \(\hat p\) \[Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \overset{H_0}{\sim} N(0,1)\]

Condição: \(np_0 ≥ 10\) e \(n(1−p_0) ≥ 10\) para aproximação normal

valor-de-p

• \(H_a: p \neq p_0\) (bilateral): valor-de-p=\(P(|Z| ≥|z_{obs}|)\)

• \(H_a: p < p_0\) (unilateral à esquerda): valor-de-p=\(P(Z \leq z_{obs})\)

• \(H_a: p > p_0\) (unilateral à direita): valor-de-p=\(P(Z \geq z_{obs})\)

Conclusão

Para um nível de significância \(\alpha\):

• Se valor-de-p \(\leq \alpha\): rejeitamos \(H_0\)

• Se valor-de-p > \(\alpha\): não rejeitamos \(H_0\)

Uma indústria farmacêutica diz que menos de 20% dos pacientes que estão usando um certo medicamento terão efeitos colaterais.

Realizou-se então um ensaio clínico com 400 pacientes e verificou-se que 68 pacientes apresentaram efeitos colaterais

Hipóteses: \(H_0: p = 0.20 \quad \mbox{vs} \quad H_a: p < 0.20\)

Estatística do teste: Da amostra temos que \(\hat p = 68/400 = 0.17\) \[z_{obs} = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0.17 - 0.20}{\sqrt{\frac{0.20(1-0.20)}{400}}} = -1.5\]

\[\mbox{valor-de-p} =P(Z \leq- 1.5) = 0.067\]

Conclusão: Para \(\alpha=0.05\), como o valor-de-p é maior que 0.05, não temos evidências nos dados para rejeitar a hipótese de que \(p=0.20\). Na verdade, a evidência está na direção que a indústria farmacêutica queria, mas não é o suficiente para rejeitar \(H_0\).

E se tivéssemos testando: \(H_0: p = 0.20 \quad \mbox{vs} \quad H_a: p \neq 0.20\)

\[\begin{aligned} \mbox{valor-de-p} &=P(|Z| \geq 1.5) = P(Z \leq -1.5) + P(Z \geq 1.5) \\ &= 2P(Z \leq -1.5) = 2 \times 0.067=0.134 \end{aligned} \]

Conclusão: Para \(\alpha=0.05\), como o valor-de-p é maior que 0.05, não temos evidências nos dados para rejeitar a hipótese de que \(p=0.20\).

Em sala de aula, vários alunos disseram que conseguem distinguir entre Coca-Cola normal e Coca-Cola Zero.

Fizemos então o teste para comprovar se a afirmação é verdadeira.

Um dos alunos experimentou, em ordem aleatória, 10 amostras de Coca-Cola normal e 10 amostras de Coca-Cola Zero e anotamos a quantidade de acertos.

Veja que \(X \sim Bin(20, p)\), onde \(X\) é o número de acertos.

Do total de 20 testes, o aluno acerto 18! Temos então uma proporção amostral de acertos \(\hat p = 18/20=0.9\). Isso mostra que o aluno realmente sabe a diferença?

Vamos testar o seguinte: \[H_0: p = 0.50 \quad \mbox{vs} \quad H_a: p > 0.50\]

Hipóteses: \(H_0: p = 0.50 \quad \mbox{vs} \quad H_a: p > 0.50\)

Estatística do teste: \[z_{obs} = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0.9 - 0.5}{\sqrt{\frac{(0.50)(0.50)}{20}}} = 3.57\]

valor-de-p = \(P(Z \geq 3.57) = 0.0001\)

Conclusão: Fixando \(\alpha=0.05\), rejeitamos a hipótese de que \(p=0.5\) e, portanto, acreditamos que a probabilidade de acertos é maior que 50%.