Extraemos una carta al azar de una baraja española de 40 cartas.
\(P(O)=\frac 1 4\), donde obtenemos que \(P(O)=0.25\).
\(P(O\cup E) = P(O) + P(E) - P(O \cap E)\),sabemos,por el apartado anterior, que \(P(O) =0.25 = P(E)\) y que \(P(O \cap E)= 1 - P(O^c \cup E^c)=0.06\).De manera que, \(P(O\cup E)=0.25 + 0.25 - 0.06 = 0.44\).
\(P(E / O)=\frac{P(E \cap O)}{P(O)}=0.06/0.25=0.24\).
Para que sean independientes, debe cumplirse que \(P(O \cap E)=0.06\) debe ser igual a \(P(O)P(E)=0.25*0.25 \approx0.06\), también se podía comprobar antes porque \(P(E/O)=0.24 \approx P(E)=0.25\).
1.Define la variable aleatoria X como el resultado del lanzamiento del dado. ¿Cuáles son los posibles valores que puede tomar X?
valores_X <- 1:6
valores_X## [1] 1 2 3 4 5 62.Calcula la probabilidad de cada posible resultado de X y muestra la distribución de probabilidad en una tabla.
prob_X <- rep(1/6, 6)
tabla_prob_X <- data.frame(Valor_X = valores_X, Probabilidad = prob_X)
tabla_prob_X## Valor_X Probabilidad
## 1 1 0.1666667
## 2 2 0.1666667
## 3 3 0.1666667
## 4 4 0.1666667
## 5 5 0.1666667
## 6 6 0.16666673.1Calcula la media (μ) de la variable aleatoria X.
media_X <- mean(valores_X)
media_X## [1] 3.53.2.Calcula la varianza (σ^2) de la variable aleatoria X.
varianza_X <- var(valores_X)
varianza_X## [1] 3.54.Imagina que lanzas el dado dos veces y defines una nueva variable aleatoria Y como la suma de los resultados obtenidos en ambos lanzamientos. Define Y y enumera los posibles valores que puede tomar.
combinaciones <- expand.grid(dado1 = 1:6, dado2 = 1:6)
combinaciones## dado1 dado2
## 1 1 1
## 2 2 1
## 3 3 1
## 4 4 1
## 5 5 1
## 6 6 1
## 7 1 2
## 8 2 2
## 9 3 2
## 10 4 2
## 11 5 2
## 12 6 2
## 13 1 3
## 14 2 3
## 15 3 3
## 16 4 3
## 17 5 3
## 18 6 3
## 19 1 4
## 20 2 4
## 21 3 4
## 22 4 4
## 23 5 4
## 24 6 4
## 25 1 5
## 26 2 5
## 27 3 5
## 28 4 5
## 29 5 5
## 30 6 5
## 31 1 6
## 32 2 6
## 33 3 6
## 34 4 6
## 35 5 6
## 36 6 64.2.Calcula la probabilidad de cada posible resultado de Y y muestra la distribución de probabilidad en una tabla.
# Suma los resultados de cada combinación para obtener Y
sumas <- rowSums(combinaciones)
# Calcula la frecuencia de cada suma
frecuencias <- table(sumas)
# Convierte las frecuencias a probabilidades dividiendo por el número total de combinaciones (36)
prob_Y <- frecuencias / 36
# Crea la tabla de distribución de probabilidad
tabla_prob_Y <- data.frame(Valor_Y = as.numeric(names(prob_Y)), Probabilidad = as.numeric(prob_Y))
tabla_prob_Y## Valor_Y Probabilidad
## 1 2 0.02777778
## 2 3 0.05555556
## 3 4 0.08333333
## 4 5 0.11111111
## 5 6 0.13888889
## 6 7 0.16666667
## 7 8 0.13888889
## 8 9 0.11111111
## 9 10 0.08333333
## 10 11 0.05555556
## 11 12 0.02777778Nos encontramos en un centro de atención al cliente, en el que se recibe un promedio de 10 llamadas por hora. Se considera que el número de llamadas sigue una distribución de Poisson.
1.Probabilidad de que recibamos exactamente 8 llamadas en una hora.
lambda <- 10 # Promedio de llamadas por hora
k <- 8 # Número de llamadas de interés
pm <- dpois(k,lambda)
cat(paste("Probabilidad de", k, "llamadas:", pm, "\n"))## Probabilidad de 8 llamadas: 0.112599032149022.Posibilidad de que las llamadas sean menos de 5.
k <- 4 # Llamadas de interes, ya que menos de 5 es igual a probabilidad de 4 o menos
p_menos <- ppois(k,lambda)
cat(paste("Probabilidad de menos de", k + 1, "llamadas:", p_menos, "\n"))## Probabilidad de menos de 5 llamadas: 0.02925268807696113.Probabilidad de que el número de llamadas este entre 4 y 7.
k <- 3 #Llamadas minimas, debido a que 4 esta incluido.
l <- 7 #Tope de llamadas
p_entre <- ppois(l,lambda)-ppois(k,lambda)
cat(paste("Probabilidad entre ", k + 1," y ",l, " llamadas:", p_entre, "\n"))## Probabilidad entre 4 y 7 llamadas: 0.2098845959257734.Posibilidad de recibir mas de 15 llamadas en una hora.
k <- 15 #Numero llamadas que hay que superar.
p_mayor <- (1-ppois(k,lambda))
cat(paste("Probabilidad mayor ", k, "llamadas:",p_mayor,"\n"))## Probabilidad mayor 15 llamadas: 0.0487404033039788las mentiras de los delincuentes. Se sabe que la maquina tiene una probabilidad del 95% de dar resultados positivos si el recluso miente, y una probabilidad del 5% de dar un falso positivo en reclusos que digan la verda. Se realiza la prueba a 100 reclusos, de los cuales se sabe que el 20% mienten siempre. Sea X la variable aleatoria que representa el número de reclusos con resultado positivo en el poligrafo.
1.Define la variable aleatoria.
Los valores a los que puede optar la X van desde 0 (si todos los reclusos dicen la verdad) hasta 100(donde todos los recluson mienten).
2.Probabilidad de que exactamente 80 reclusos nos esten mintiendo
n <- 100 # Total de reclusos
p1 <- 0.2 * 0.95 + 0.8 * 0.05 # Probabilidad de resultado positivo
x <- 80 # Numero que queremos saber su probabilidad
P <- dbinom(x, n, p1) # Uso de del comando para sacar la probabilidad de este ejercici binomial.
cat(paste("Probabilidad exacta de ", x, "reclusos mientan:",P,"\n"))## Probabilidad exacta de 80 reclusos mientan: 2.49570184567195e-333.Cual es la probabilidad de que el poligrafo diga que el recluso miente cuando esta diciendo la verdad(falso positivo)
n_sin_enfermedad <- 0.8 * n # Número de reclusos que no sabemos si mienten.
p_falso_positivo <- 0.05 # Probabilidad de falso positivo
x <- 1:n_sin_enfermedad # Creamos un vector con todas las posibles cantidades de falso positivo.
P_falso_positivo <- sum(dbinom(x,n_sin_enfermedad, p_falso_positivo)) # Calculamos sus posivilidades.
cat(paste("Probabilidad de generar un falso positivo:",P_falso_positivo,"\n"))## Probabilidad de generar un falso positivo: 0.9834846256149864.Calcular la media de resultados positivos
media <- n * p1 #Calculamos la media con los valores antes guardados. cat(paste("Media de resultado positivos:",media,"\n"))Se pretende comparar dos métodos diferentes de estudio en distintos alumnos según las calificaciones obtenidas en “Estadística” con ambos métodos.
Para la primera técnica de estudio se han obtenido los siguientes datos: metodo1=(9.5,9.1,7.2,8.9,6.4,8.5,9.7,5.5,7.9,8.2).
Por otro lado, para la segunda técnica se han obtenido estos datos: metodo2=(3.2,7.5,6.3,8.6,9.4,8.5,9.2,9.9,8.1,7.4)
metodo1=c(9.5,9.1,7.2,8.9,6.4,8.5,9.7,5.5,7.9,8.2)
metodo2=c(3.2,7.5,6.3,8.6,9.4,8.5,9.2,9.9,8.1,7.4)Us = max{k1,k2}=max{51.5,48.5}=51.5
Uα/2= qwilcox(0.975,10,10) = 76
Cómo Us <= Uα/2, no hay evidencia estadística en contra de H0 y por tanto, no hay evidencia estadística de que son diferentes
#Otra manera de hacerlo
wilcox.test(metodo1,metodo2)## Warning in wilcox.test.default(metodo1, metodo2): cannot compute exact p-value
## with ties##
## Wilcoxon rank sum test with continuity correction
##
## data: metodo1 and metodo2
## W = 51.5, p-value = 0.9397
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0Cómo el p-valor es grande, no existe evidencia estadistíca de que son diferentes
metodo3=c(9.5,9.1,7.2,8.9,6.4,8.5,9.7,5.5,7.9,8.2)
metodo4=c(7.2,6.5,6.3,6.6,7.4,2.5,4.2,5.9,6.1,4.4) Us = max{k3,k4}=max{87.5,12}=87.5
Uα/2= qwilcox(0.975,10,10) = 76
Cómo Us > Uα/2, hay evidencia estadística en contra de H0 y por tanto, hay evidencia estadística de que son diferentes
#Otra manera de hacerlo
wilcox.test(metodo3,metodo4)## Warning in wilcox.test.default(metodo3, metodo4): cannot compute exact p-value
## with ties##
## Wilcoxon rank sum test with continuity correction
##
## data: metodo3 and metodo4
## W = 87.5, p-value = 0.005142
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0Cómo el p-valor es pequeño, existe evidencia estadistíca de que son diferentes
Un consultor financiero está analizando el rendimiento de dos fondos de inversión, Fondo Alpha y Fondo Beta, para recomendar a sus clientes. Se han recopilado los rendimientos mensuales de ambos fondos durante el último año.
Datos:
Rendimientos del Fondo Alpha: 8%, 5%, 7%, 6%, 9%, 5%, 6%, 8%, 7%, 6%, 9%, 5%
Rendimientos del Fondo Beta: 7%, 7%, 6%, 8%, 7%, 7%, 6%, 7%, 8%, 6%, 7%, 8%
Apartados:
1.Analizar si hay diferencias en los rendimientos medios entre los dos fondos.
2.Evaluar si la variabilidad de los rendimientos difiere entre los fondos.
3.Considera si hay evidencia suficiente para afirmar que el rendimiento medio del Fondo Beta es menor que 42%.
Defino las series de datos para los rendimientos de los fondos Alpha y Beta.
rendimientos_alpha <- c(8, 5, 7, 6, 9, 5, 6, 8, 7, 6, 9, 5)
rendimientos_beta <- c(7, 7, 6, 8, 7, 7, 6, 7, 8, 6, 7, 8)1.Analiza si hay diferencias en los rendimientos medios entre los dos fondos. Calcula el estadístico t y el p-valor.
# Cálculo de medias
media_alpha <- mean(rendimientos_alpha)
media_beta <- mean(rendimientos_beta)
# Cálculo de desviaciones estándar
sd_alpha <- sd(rendimientos_alpha)
sd_beta <- sd(rendimientos_beta)
# Número de observaciones en cada grupo
n_alpha <- length(rendimientos_alpha)
n_beta <- length(rendimientos_beta)
# t-test para muestras independientes (sin suponer varianzas iguales)
t_estadistico <- (media_alpha - media_beta) / sqrt((sd_alpha^2 / n_alpha) + (sd_beta^2 / n_beta))
grados_libertad <- ((sd_alpha^2 / n_alpha + sd_beta^2 / n_beta)^2) /
((sd_alpha^2 / n_alpha)^2 / (n_alpha - 1) + (sd_beta^2 / n_beta)^2 / (n_beta - 1))
p_valor_t <- 2 * pt(-abs(t_estadistico), df = grados_libertad)
t_estadistico## [1] -0.522233p_valor_t## [1] 0.6086066t.test(rendimientos_alpha,rendimientos_beta)##
## Welch Two Sample t-test
##
## data: rendimientos_alpha and rendimientos_beta
## t = -0.52223, df = 16.129, p-value = 0.6086
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## -1.2641667 0.7641667
## sample estimates:
## mean of x mean of y
## 6.75 7.00Un p-valor superior a alpha(0.05) sugiere que no hay evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis nula de igualdad de medias entre los dos fondos. Esto significa que, basado en los datos de rendimiento recolectados, no hay diferencias significativas en el rendimiento medio entre los fondos Alpha y Beta.
2.Evalúa si la variabilidad de los rendimientos difiere entre los fondos usando el test F. Calcula el estadístico F y el p-valor.
# Test F para comparar varianzas
f_estadistico <- (sd_alpha^2) / (sd_beta^2)
# Ajustar los grados de libertad
df1 <- n_alpha - 1
df2 <- n_beta - 1
# Calcula el p-valor de dos colas
p_valor_derecha <- pf(f_estadistico, df1, df2, lower.tail = FALSE)
p_valor_izquierda <- pf(1 / f_estadistico, df2, df1, lower.tail = FALSE)
f_p_valor <- 2 * min(p_valor_derecha, p_valor_izquierda)
# Muestra los resultados ajustados
f_estadistico## [1] 4.041667f_p_valor## [1] 0.02903892var.test(rendimientos_alpha, rendimientos_beta)##
## F test to compare two variances
##
## data: rendimientos_alpha and rendimientos_beta
## F = 4.0417, num df = 11, denom df = 11, p-value = 0.02904
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
## 1.163505 14.039534
## sample estimates:
## ratio of variances
## 4.041667Un p-valor menor que 0.05 (como el obtenido, 0.02903892) confirma que las diferencias en la variabilidad de los rendimientos entre los dos fondos son significativas a un nivel de confianza del 95%.
3.Considera si hay evidencia suficiente para afirmar que el rendimiento medio del Fondo Beta es menor que 42%. Realiza el test t de una muestra.
# Valor de referencia para la hipótesis
mu_referencia <- 42
# Cálculo de la media y desviación estándar del Fondo Y
media_beta <- mean(rendimientos_beta)
sd_beta <- sd(rendimientos_beta)
# Número de observaciones
n_beta <- length(rendimientos_beta)
# Cálculo del estadístico t
t_estadistico <- (media_beta - mu_referencia) / (sd_beta / sqrt(n_beta))
# Grados de libertad
df <- n_beta - 1
# Cálculo del p-valor para un test de una cola (hacia la izquierda, ya que queremos saber si es menor)
p_valor_una_cola <- pt(t_estadistico, df)
# Muestra los resultados
t_estadistico## [1] -164.1646p_valor_una_cola## [1] 2.685614e-20# Usando t.test para hacer lo mismo de forma automática
t.test(rendimientos_beta, mu = 42)##
## One Sample t-test
##
## data: rendimientos_beta
## t = -164.16, df = 11, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 42
## 95 percent confidence interval:
## 6.530748 7.469252
## sample estimates:
## mean of x
## 7Este p-valor tan bajo sugiere que es altamente improbable que el rendimiento medio del Fondo Beta sea igual o superior a 42%, lo cual podría ser de preocupación si el objetivo es alcanzar o superar este umbral.