Sean tres sucesos incompatibles e independientes de un espacio muestral tales que \(P(A)=0.5\), \(P(B)=0.3\), \(P(C)=0.2\)
a) ¿Qué significa que los sucesos sean incompatibles?
Significa que no pueden ocurrir a la vez
b) Calcula \(P(A \cup B)\)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
Como los procesos son incompatibles, \(P(A \cap B )= \emptyset\)
Por tanto \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.5+0.3=0.8\)
c) Calcula \(P(A \cap C')\)
Puesto que los sucesos son incompatibles y el espacio muestral está únicamente conformado por \(A\), \(B\) y \(C\), \(P(C') = P(A \cup B)\). Por tanto \(P(A \cap C') = P(A \cap (A \cup B)) = P(A) = 0.5\)
d) Calcula \(P(C \cup A)\) sabiendo que ha ocurrido \(B\)
Al ser los sucesos independientes, \(P((C \cup A)/B)=P(C \cup A)=P(C)+P(A)=0.2+0.5=0.7\)
Rocío ha comprado un pack con 4 vasos, pero se ha tropezado y se le ha caído al suelo. La siguiente tabla muestra la función de probabilidad del número vasos \(X\) que se le han podido romper.
| \(X\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P(x)\) | 0.1 | 0.3 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
a) Determina \(P(X<3)\)
\(P(X < 3) = 0.1 + 0.3 + 0.3 = 0.7\)
b) Determina \(P(X≥2)\)
\(P(X ≥ 2) = 0.3 + 0.2 + 0.1 = 0.6\)
c) Calcula \(\mu\)
\(\mu = 0 * 0.1 + 1 * 0.3 + 2 * 0.3 + 3 * 0.2 + 4 * 0.1 = 0.4\)
d) Calcula \(\sigma^2\)
\(\sigma^2 = 0^2 * 0.1 + 1^2 * 0.3 + 2^2 * 0.3 + 3^2 * 0.2 + 4^2 * 0.1 - 0.4^2 = 4.74\)
Armando juega mucho a un videojuego en el que para conseguir a los personajes tienes que tirar una ruleta aleatoria gastando gcoins -la moneda virtual del videojuego- en el proceso. Hay un nuevo personaje que Armando quiere conseguir y, mirando la información que proporciona el propio videojuego, sabe que las tiradas son independientes entre sí y que tiene una probabilidad de 0.01 de que el personaje deseado salga en la ruleta. Armando quiere asegurarse de que su esfuerzo consiguiendo gcoins merezca la pena:
a) Si Armando ha conseguido suficientes gcoins para tirar 23 veces a la ruleta, ¿cuál sería la probabilidad de que salga exactamente una vez el personaje que quiere?
Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el número de personajes deseados que salen, sigue una distribución binomial con \(p=0.01\). En este caso \(n=23\), por lo que \(X\sim Bi(23, 0.01)\). \(P(X=1)= dbinom(1, 23, 0.01)\).
dbinom(1, 23, 0.01)## [1] 0.184375b) Armando ha visto que si consigue dos o más veces el personaje que quiere, recibe recompensas extra. Si ahora tiene suficientes gcoins para realizar 50 tiradas a la ruleta, ¿cómo de probable sería que consiga dos o más veces al personaje?
Aquí \(n=50\), por lo que \(X\sim Bi(50, 0.01)\). Nos preguntan por \(P(X>=2)\) o, lo que es lo mismo en una distribución binomial, \(P(X>1)\).
pbinom(1,50,0.01,lower.tail=FALSE)## [1] 0.08943531c) Ahora a Armando le gustaría saber cuántos personajes podría llegar a conseguir con una probabilidad de al menos 0.95 si realizase 137 tiradas
\(X\sim Bi(137, 0.01)\). Para saber el número de personajes que podrían salir como máximo con esa probabilidad, podemos calcular el percentil 95%.
qbinom(0.95, 137, 0.01)## [1] 3d) Al final, Armando junto a unos amigos ha conseguido suficientes gcoins para tirar 2000 veces a la ruleta. Ha obtenido solo una vez al personaje en esas 2000 tiradas. ¿Es posible que la probabilidad del 0.01 proporcionada por el videojuego sea errónea y estén timando a Armando?
En este caso \(X\sim Bi(2000, 0.01)\) y nos dicen que \(X=1\). Para saber si están timando a Armando, vamos a calcular la probabilidad de que eso sea así, \(P(X=1)= dbinom(1, 2000, 0.01)\).
dbinom(1, 2000, 0.01)## [1] 3.765165e-08Podemos ver que es una probabilidad extremadamente baja, por lo que es casi seguro que están timando a Armando y la probabilidad de éxito real sea más baja que 0.01.
En el diseño de dispositivos de realidad virtual, es crucial que el tiempo de respuesta de los sensores de movimiento tenga una media de 10 milisegundos para una experiencia de usuario óptima. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el tiempo de respuesta de los sensores. La función de densidad de probabilidad de \(X\) se establece de la siguiente manera:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un sensor de movimiento tenga un tiempo de respuesta inferior a 5 milisegundos?
pexp(5, rate = 1/10)## [1] 0.3934693b) ¿Cuál es la probabilidad de que un sensor de movimiento tenga un tiempo de respuesta superior a 15 milisegundos?
1 - pexp(15, rate = 1/10)## [1] 0.2231302c) Si deseamos que al menos el 80% de los sensores de movimiento tengan un tiempo de respuesta inferior a cierto valor, ¿cuál es ese valor?
qexp(0.8, rate = 1/10)## [1] 16.09438d) ¿Cuál es el percentil 90 del tiempo de respuesta de los sensores de movimiento? Es decir, ¿cuál es el tiempo de respuesta por encima del cual solo el 10% de los sensores de movimiento tendrían tiempos de respuesta más largos?
qexp(0.9, rate = 1/10)## [1] 23.02585En un laboratorio de investigación, se están estudiando los tiempos de reacción de un nuevo medicamento para tratar la fatiga crónica. Se sabe que los tiempos de reacción siguen una distribución aproximadamente normal, con una varianza de σ^2=900 milisegundos. Después de administrar el medicamento a una muestra aleatoria de 15 pacientes, se encontró que el tiempo de reacción medio es de 500 milisegundos.
a) Calcula un intervalo de confianza del 95% para el tiempo de reacción medio después de administrar el medicamento
n <- 15
varianza <- 900
media_muestral <- 500
nivel_confianza <- 0.95
Z <- qnorm((1 + nivel_confianza) / 2)
error <- sqrt(varianza / n)
intervalo_confianza <- Z * error
cat("(",media_muestral-intervalo_confianza,",", media_muestral+intervalo_confianza,")")## ( 484.8182 , 515.1818 )b) Calcula un intervalo de confianza del 90% para el tiempo de reacción medio tras administrar el fármaco
n <- 15
varianza <- 900
media_muestral <- 500
nivel_confianza <- 0.90
Z <- qnorm((1 + nivel_confianza) / 2)
error <- sqrt(varianza / n)
intervalo_confianza <- Z * error
cat("(",media_muestral-intervalo_confianza,",", media_muestral+intervalo_confianza,")")## ( 487.259 , 512.741 )c) Para continuar con la investigación sobre los tiempos de reacción del nuevo medicamento para tratar la fatiga crónica, se desea determinar el tamaño de muestra necesario para estimar el tiempo de reacción medio con un error estándar menor que 50 milisegundos para un nivel de confianza del 95%.¿Cuál sería el tamaño de muestra necesario para lograr este objetivo?
sigma <- 30
E <- 50
nivel_confianza <- 0.95
Z <- qnorm((1 + nivel_confianza) / 2)
n <- ((Z * sigma) / E)^2
cat("Tamaño de la muestra:", ceiling(n))## Tamaño de la muestra: 2d) Determinar aproximadamente cuántas muestras se deben tomar para que un intervalo de confianza del 99% especifique la media dentro de 10 milisegundos.
sigma <- 30
E <- 10
nivel_confianza <- 0.99
Z <- qnorm((1 + nivel_confianza) / 2)
n <- ((Z * sigma) / E)^2
cat("Se deben tomar", ceiling(n), "muestras.")## Se deben tomar 60 muestras.Un equipo de investigadores sostiene que un programa de entrenamiento cerebral mejora la capacidad de atención en niños de primaria en un 30% como mínimo en situaciones típicas. Para poner a prueba esta afirmación de forma estadística, se seleccionan de manera aleatoria 40 niños y se evalúa su atención antes y después del programa. Los resultados muestran un aumento promedio del 25% en la capacidad de atención, con una desviación estándar de 0.05. Se pide:
a) Comprueba la afirmación del equipo de investigación con un nivel de significancia de α = 0.05
H0: el programa funciona y la media de lo que aumenta la atención es mayor o iguala 30% H1: el programa no funciona y la media de lo que aumenta la atención es menor a 30%
x_barra = 25
n = 40
mu0 = 30
s = 8
alpha=0.05
zs = (x_barra-mu0)/(s/sqrt(n))
z_alpha2 = -qt(1-alpha, n-1)
zs > z_alpha2## [1] FALSESe concluye que la hipótesis nula es FALSA
b) ¿Qué tipo de error estadístico podría cometerse al concluir que el programa de entrenamiento cerebral no tiene un efecto significativo en la capacidad de atención de los niños cuando en realidad sí lo tiene?
Estamos rechazando la hipótesis nula cuando es verdadera. Es un error de tipo I
c) ¿Qué se podría modificar del estudio para aumentar la potencia de dicho estudio y así mejorar la capacidad de detectar diferencias significativas en la capacidad de atención de los niños?
Podríamos aumentar las muestras del estudio, ya que, a mayor cantidad de muestras, mayor precisión tendrá el estudio.
d) Otro grupo de investigadores independiente ha decidido poner a prueba también el programa. Han evaluado de forma aleatoria a 56 niños y han obtenido los siguientes resultados: mu=28%, s=0.04. Asumiendo un nivel de significancia de α = 0.05, ¿son las medias de ambos estudios significativamente diferentes entre sí?
x_barra = 25
n = 40
mu0 = 30
s = 8
alpha=0.05
x_barra2 = 28
n2 = 56
s2 = 7
sp = sqrt((((n-1)*s^2)+((n2-1)*s2^2))/(n+n2-2))
ic = c((x_barra-x_barra2) + qt(1-alpha/2,n+n2-1)*sp*sqrt((1/n)+(1/n2)), (x_barra-x_barra2) - qt(1-alpha/2,n+n2-1)*sp*sqrt((1/n)+(1/n2)))
ic## [1] 0.05413774 -6.05413774Como el 0 está en el intervalo de confianza, podemos afirmar que las medias no son significativamente diferentes