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Trabajo grupal 1

1. Probabilidad

Desde el departamento de marketing de Honda, se quiere analizar los vehículos que poseen los españoles. En este estudio, se quiere analizar estadísticamente el tipo de vehículo que tienen los españoles (coche o moto). Según los datos recogidos, sabemos:

Un 40% de los españoles tiene moto.
Un 80% de los españoles tiene coche o moto.
Teniendo una motocicleta, la probabilidad de que tenga un coche es del 50%.

Calcula la probilidad de que tenga coche.

El enunciado nos da los siguientes datos:

\(P(M)=0.4\)
\(P(C \cup M)=0.8\)
\(P(C/M)=0.5\)

\(P(C/M)=\frac{P(M \cap C)}{P(M)}\), despejando obtenemos \(P(M \cap C)=P(C/M) \cdot P(M)=0.5 \cdot 0.4=\) 0.2
Ahora que tenemos \(P(M \cap C)=0.2\), podemos obtener \(P(C)\):
\(P(M \cup C) = P(M) + P(C) - P(M \cap C)\), por tanto \(P(C) = P(M \cup C) - P(M) + P(M \cap C) = 0.8 - 0.4 + 0.2 =\) 0.6

\(P(C)=\) 0.6

Calcula la probabilidad de que tenga moto y no tenga coche.

Se pide calcular \(P(M \cap \overline{C})\)
\(P(M \cap \overline{C}) = P(M) - P(M \cap C) = 0.4 - 0.2=\) 0.2

\(P(M \cap \overline{C})=\) 0.2

Tenemos un conductor de coche, calcula la probabilidad de que tenga moto.

Se pide calcular \(P(M/C)\)
\(P(M/C)=\frac{P(M \cap C)}{P(C)}=\frac{0.2}{0.6}=\) 0.3333333
\(P(M/C)=\) 0.3333333

Tenemos un conductor que no tiene coche, calcula la probabilidad de que tenga moto.

En este caso tenemos que calcular \(P(M/\overline{C})\) \(P(M/\overline{C})=\frac{P(M \cap \overline{C})}{P(\overline{C})}\)
Para resolverlo necesitamos:
* \(P(M \cap \overline{C})\), que hemos calculado en el apartado 2: \(P(M \cap \overline{C}) = P(M) - P(M \cap C) = 0.4 - 0.2=\) 0.2
* \(P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0.6 =\) 0.4
Ahora podemos resolver:
\(P(M/\overline{C})=\frac{P(M \cap \overline{C})}{P(\overline{C})}=\frac{0.2}{0.4}=\) 0.5

\(P(A/\overline{B})=\) 0.5

2. Variable aleatoria normal

Se quiere hacer un estudio estadístico en el parque Abelardo Sánchez de Albacete. En este estudio, se analizará la altura de los pinos del parque. La altura media de los pinos del parque es de 20 metros, con una desviación típica de 2 metros.

Calcula la probabilidad de uno de los pinos mida menos de 18.5 metros.

\(P(X\leq 18.5)\)=

pnorm(18.5,20,2)

## [1] 0.2266274

Calcula la probabilidad de que la altura de un pino esté entre 22 y 24 metros.

\(P(22\leq X\leq 24)=P(X\leq 24)-P(X\leq22)=\)

pnorm(24,20,2)-pnorm(22,20,2)

## [1] 0.1359051

Teniendo un pino que estamos seguros que mide más de 15 metros, calcula la probabilidad de que su altura no alcance los 19 metros.

\(P(X\leq19 / X\geq 15)=\frac{P(X\leq19) \cap P(X\geq 15)}{P(X\geq 15)}=\frac{P(15\leq X\leq 19)}{P(X\geq 15)}=\frac{P(X\leq 19)-P(X\leq 15)}{P(X\geq 15)}=\frac{pnorm(19,20,2)-pnorm(15,20,2)}{1-pnorm(15,20,2)}=\)

( pnorm(19,20,2) - pnorm(15,20,2) ) / ( 1 - pnorm(15,20,2) )

## [1] 0.304217

Calcula el intervalo de alturas (centrado en la media) que incluya al 60% de los pinos.

Al ser un intervalo centrado en la media, sabemos que la mitad del conjunto (60/2=30%) estará por debajo de la media y la otra mitad estará por encima. Una vez que hemos dibidido en dos el intervalo, sabemos que ocupará un 30% del 50% de los valores, por tanto el 20% quedarán fuera del intervalo. Sabiendo esto, calculamos el cuantil del 20%, ya que esto nos dará el valor primer valor del intervalo, que llamaremos “a”.

a = qnorm(0.2,20,2)
a

## [1] 18.31676

Ahora que tenemos el primer valor del intervalo, sabiendo que está centrado en la media, podemos obtener el último valor del intervalo (que llamaremos “b”):
b=20 + (20 - a)=21.6832425
Podemos comprobar que hemos calculado bien el intervalo comprobando que \(P(a\leq X\leq b)=0.6\)

pnorm(b,20,2)-pnorm(a,20,2)

## [1] 0.6

Por tanto sabemos que los pinos que miden entre 18.3167575 y 21.6832425 representan el 60% del total de los pinos.

3. Variables aleatorias mixtas

He salido a pasear mientras juego a Pokémon, supongamos que mi paseo a durado t horas, y pongamos que capturo 0.5t Pokemon durante el paseo.

Probabilidad de que capture 3 pokemon en un paseo de 2 horas y media

\(\lambda = 0.5t\)
\(P(X = 3)\)

dpois(3,0.5*2.5)

## [1] 0.09326328

Un pokemon tiene de media 150 puntos de vida, con 50 puntos de desviación. Dibuja la gráfica que represente esta distribución y además calcula la vida mínima de un pokemon para estar en el 25% con más vida.

Para que esté en el 25% con más vida, significa que va a ser superior al 75% de la vida del resto de pokemon por lo que tendremos que calcular el cuantil.

qnorm(0.75,150,50)

## [1] 183.7245

Para dibujar la gráfica cogemos valores para el eje X y usamos la funcion ‘plot’.

x<-seq(0,350,0.1)
plot(x,dnorm(x,150,50),type="l")

Teniendo en cuenta los datos del apartado anterior, cual será la mediana de la gráfica que hemos dibujado.

Para este apartado debemos de tener clara la teoría y qué es lo que nos piden.
-La mediana es el valor que queda en el medio cuando todos los datos están ordenados.
Como hemos sacado la gráfica, se ve a simple vista que la media y la mediana conciden, pero aunque no hubieramos sacado la gráfica, también sabríamos la mediana sin necesidad de calcularla, ya que en distribuciones normales,
LA MEDIA Y LA MEDIANA COINCIDEN.

Estás buscando un pokemon muy difícil de conseguir, su aparición la tiene programada el juego de manera que sigue una distribución exponencial con una media de 0.05 encuentros cada 3 horas.
¿Cuál es la probabilidad de que si lo has estado buscando 30min sin suerte, siga sin aparecer en los siguientes 30?

Este problema también tiene un poco de trampa, ya que dice 0.05 encuentros de media cada 3h por lo que la media por hora será 0.05/3 que es con lo que vamos a trabajar. Además esta distribución no tiene memoria, lo que quiere decir que si tienes X intentos fallidos, supongamos que el intento correcto es el X+n, la probabilidad de X+n sera la misma que la de n, o lo que es lo mismo, es igual que empezar a contar de 0, sabiendo esto la probabilidad de que aparezca en los siguientes 30 es como esta. \(P(X>30)\)

1-pexp(0.5,0.05/3)

## [1] 0.9917013

También se puede hacer con el parámetro lower.tail que nos dice si queremos calcular por encima o por debajo del punto dado.

pexp(0.5,0.05/3,FALSE)

## [1] 0.9917013

La probabilidad de no encontrarlo en ese periodo es de casi el 100%.

Trabajo grupal 2

1. Ejercicio exponencial

El tiempo de duración de una pelea pokemon viene determinado por una exponencial de media 45 minutos. Las peleas pokemon se consideran cortas cuando no superan los 10 minutos.

Para un estudio, los ponemos a pelear durante 10 min.

¿Que porcentaje de peleas habrán acabado?

\(\lambda = 1/media\)

Solucion:

pexp(10,1/45)

## [1] 0.1992626

Si en los torneos normalmente hay 10 peleas, ¿como se distribuye la variable “Número de peleas cortas en un torneo”?

Solucion:
Seguirá una Binomial de 10 y probabilidad de éxito pexp(10,1/45)(0.1992626).

Determinar la probabilidad de que en un torneo haya mas de 1 pelea corta.

Solucion:
P(X > 1) = 1−(P(X = 1)+P(X=0))

1-(((1-0.1992626)^10)+10*(0.1992626)*((1-0.1992626)^9))

## [1] 0.6219594

Determinar la probabilidad de que en un torneo no haya peleas cortas.

Solucion:
P(X=0)=(1-0.1992626)^10

(1-0.1992626)^10

## [1] 0.108368

2. Contraste de hipótesis emparejadas.

Seguimos en el mundo pokemon, supongamos el ataque que tienen los pokemon cuando son capturados con 2 tipos de pokeballs diferentes, los puntos de ataque son medidos y las muestra son:

Pkb1: 45, 48, 50, 47, 49, 46, 52
Pkb2: 44, 46, 45, 47, 48, 46, 43

Se asume que siguen una distribucion normal.

¿Existe evidencia suficiente para decir que hay una diferencia significativa en los puntos de ataque al ser capturados con una pokeball u otra?

Solucion:

H0: media pkb2 - media pkb1 = 0

H1: media pkb2 - media pkb1 != 0

Pkb1=c(45, 48, 50, 47, 49, 46, 52, 55, 37)  
Pkb2=c(44, 46, 45, 47, 48, 46, 43, 42, 32)

t.test(Pkb1,Pkb2,paired=TRUE)

## 
##  Paired t-test
## 
## data:  Pkb1 and Pkb2
## t = 2.6667, df = 8, p-value = 0.02851
## alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.5409938 7.4590062
## sample estimates:
## mean difference 
##               4

Como el p-valor es menor que alfa con alfa=0’05, hay evidencia de que la diferencia no será 0, por lo que hay diferencia significativa

Calcular un intervalo de confianza del 99 % para la diferencia en los puntos de ataque de los pokemon.

Solucion:

t.test(Pkb1,Pkb2,conf.level = 0.99)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  Pkb1 and Pkb2
## t = 1.7276, df = 15.948, p-value = 0.1034
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 99 percent confidence interval:
##  -2.765703 10.765703
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  47.66667  43.66667

El intervalo es [-2.765703,10.765703]

¿Existe suficiente evidencia estadística para decir que los puntos de ataque de la pokeball 1 son mayores de 45?

Solucion:

t.test(Pkb1,mu = 45, alternative = "greater")

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  Pkb1
## t = 1.5842, df = 8, p-value = 0.0759
## alternative hypothesis: true mean is greater than 45
## 95 percent confidence interval:
##  44.53658      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##  47.66667

Como el p-valor es mayor de 0’05, no hay suficiente evidencia para afirmar esto último.

De 100 pokemons capturados, 15 son hermafroditas, da un intervalo de confiaza del 95% para la proporción de hermafroditas.

Solucion:
Simplemente tendremos que usar un prop.test con los siguientes valores.

prop.test(15,100,correct=F)

## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  15 out of 100, null probability 0.5
## X-squared = 49, df = 1, p-value = 2.56e-12
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.09305985 0.23283560
## sample estimates:
##    p 
## 0.15

El resultado del intervalo da [0.09305985, 0.23283560], por lo que el ejercicio concluye de forma que hay un 95% de confianza de que la proporción real de hermafroditas esté entre esos valores.

3. Contraste de Hipótesis

En un estudio destinado a determinar los efectos de dos tipos de fertilizante (A y B) sobre el crecimiento de las plantas de tomate, planeamos evaluar si existe una diferencia significativa en la altura media de las plantas un mes después de la aplicación del fertilizante. Por esa razón, tanto A como B se aplican de forma independiente a dos grupos de plantas en condiciones de crecimiento similares. Para realizar el estudio, se han medido 7 plantas de cada grupo:

Grupo A: 45, 48, 50, 47, 49, 46 y 52.
Grupo B: 44, 46, 45, 47, 48, 46 y 43.

Se supone que las alturas de las plantas están distribuidas normalmente.

Teniendo la hipótestis nula H0: μA=μB y la alternativa H1: μA≠μB, aplica contraste de hipótesis

Para hacer contraste de hipótesis, necesitamos el Pvalor y así poder aceptar una de las hipótesis. Para obtener el Pvalor tenemos que ejecutar los siguientes comandos:

grupo_A <- c(45, 48, 50, 47, 49, 46, 52)
grupo_B <- c(44, 46, 45, 47, 48, 46, 43)
t.test(grupo_A,grupo_B)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  grupo_A and grupo_B
## t = 2.2984, df = 10.847, p-value = 0.04246
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.1047246 5.0381325
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  48.14286  45.57143

Al ejecutar t.test(), vemos que el Pvalor=0.04246; como el Pvalor es menor que α (0.05), rechazamos la H0 y aceptamos la H1. Por tanto, podemos afirmar que la media del grupo A es distintia a la del grupo B.

Encuentra un intervalo de confianza al 95% para la diferencia entre las medias de las alturas, suponiendo que ambas varianzas son iguales.

Para obtener ese intervalo empleamos el siguiente comando:

t.test(grupo_A,grupo_B,conf.level = 0.95)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  grupo_A and grupo_B
## t = 2.2984, df = 10.847, p-value = 0.04246
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.1047246 5.0381325
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  48.14286  45.57143

Según los resultados, el intervalo de confianza al 95% es: (0.1047246, 5.0381325)

Queremos comprobar si hay evidencia estadística para decir que la media de altura de las plantas del grupo B tienen una altura superior a 48.

Usamos el siguiente comando:

t.test(grupo_B, alternative="greater", mu=48)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  grupo_B
## t = -3.7395, df = 6, p-value = 0.9952
## alternative hypothesis: true mean is greater than 48
## 95 percent confidence interval:
##  44.30945      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##  45.57143

Según la información mostrada por t.test(), vemos que el Pvalor=0.9952, por tanto (como es mayor que α), podemos afirmar que la media es superior a 48.

¿Se puede afirmar que el fertilizante A es mejor que el fertilizante B?

Planteamos las siguientes hipótesis:

h0: μA=μB
h1: μA>μB

Obtenemos el Pvalor para compararlo con α:

t.test(grupo_A, grupo_B, alternative = "greater")

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  grupo_A and grupo_B
## t = 2.2984, df = 10.847, p-value = 0.02123
## alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.5596002       Inf
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  48.14286  45.57143

El pvalor es igual a 0.02123, como es menor que α, rechazamos la hipotesis nula y no rechazamos la hipótesis alternativa. Por tanto, podemos afirmar que le fertilizante A es mejor que el fertilizante B

Trabajo grupal 3

1. Contraste de Hipótesis

En un estudio de seguridad vial, se están comparando dos tipos de neumáticos para automóviles. Se recolectaron datos de doce vehículos equipados con neumáticos de la marca A, que tuvieron un promedio de distancia de frenado de 40 metros con una desviación estándar muestral de 3 metros. Quince vehículos equipados con neumáticos de la marca B registraron un promedio de distancia de frenado de 35 metros con una desviación estándar de 2 metros. Se asume que las distancias de frenado están aproximadamente distribuidas de manera normal y que las varianzas de los grupos son iguales.

Para el rendimiento medio de los dos tipos de neumáticas, calcula un intervalo de confianza bilateral al 99%.

Estos son los datos que podemos obtener del enunciado:

Neumatico 1: n1 = 12; x1 = 40; S1 = 3
Neumatico 1: n2 = 15; x2 = 35; S2 = 2

Según el enunciado, consideramos que las varianzas de los dos grupos son iguales, por tanto obtenemos \(S^2\) de la siguiente forma:

#Primero almacenamos los datos
n1=12
n2=15
X1=40
X2=35
S1=3
S2=2

#Calculamos S^2
sCuadrado =  ((n1-1)*S1**2+(n2-1)*S2**2)/(n1+n2-2)
sCuadrado

## [1] 6.2

Ahora calculamos \(t_{α/2,n1+n2-2}\), como el intervalo es del 99%, α=0.01:

t=qt(1-0.01/2, n1+n2-2)
t

## [1] 2.787436

Con esos datos ya podemos calcular el intervalo

#Valor inicial del intervalo
(X1-X2) - t * sqrt(sCuadrado) * sqrt(1/n1 + 1/n2)

## [1] 2.311894

#Valor final del intervalo
(X1-X2) + t * sqrt(sCuadrado) * sqrt(1/n1 + 1/n2)

## [1] 7.688106

Comprueba si los dos tipos de neumáticos tienen la misma eficiencia

Para comprobar eso, planteamos el siguiente contraste de hipótesis

h0: μ1=μ2
h1: μ1≠μ2

Para hacer el contraste usamos el siguiente estadistico:
\(t_{s}=\frac{\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}-(μ_{1}-μ_{2})}{\sqrt{S^2(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}})}}\).
Para calcularlo, necesitamos el valor de \(S^2\), que tenemos guardado del apartado anterior.

ts=(X1-X2)/(sqrt(sCuadrado*((1/n1) + (1/n2))))
ts

## [1] 5.184758

Al comparar \(t_{s}\) con \(t_{α/2,n1+n2-2}=qt((1-0.05/2),n1+n2-2)=\) 2.0595386, vemos que \(t_{s}\) es mayor; por tanto, rechazamos la hipótesis nula (h0: μ1=μ2) y afirmamos que la eficiencia de los neumáticos es distinta dependiendo de su marca.

Se cree que el tipo de abono utilizado puede influir en la tasa de crecimiento de unas plantas. Se tomaron 10 mediciones para cada tipo de abono:

Abono A: 12.5, 14.2, 13.8, 13.6, 13.9, 13.2, 14.6, 13.7, 14.3, 15.1
Abono B: 14.6, 15.9, 15.3, 15.1, 14.2, 15.0, 14.7, 15.5, 14.3, 15.2

Utilizando la prueba de Mann-Whitney, determine si hay una diferencia significativa en el crecimiento entre los dos tipos de abono, con un nivel de confianza del 95%.

Solucion apartado:

x<-c(12.5, 14.2, 13.8, 13.6, 13.9, 13.2, 14.6, 13.7, 14.3, 15.1)
y<-c(14.6, 15.9, 15.3, 15.1, 14.2, 15.0, 14.7, 15.5, 14.3, 15.2)
wilcox.test(x,y)

## Warning in wilcox.test.default(x, y): cannot compute exact p-value with ties

## 
##  Wilcoxon rank sum test with continuity correction
## 
## data:  x and y
## W = 10, p-value = 0.002786
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Contrasta si la mediana de el tipo de abono A es 12 mediante la prueba de los signos.

Solucion apartado:

x<-c(12.5, 14.2, 13.8, 13.6, 13.9, 13.2, 14.6, 13.7, 14.3, 15.1)
y<-x-12
positivos=length(y[y>0])
nonulos=length(y[y!=0])
binom.test(positivos,nonulos,p=0.5)

## 
##  Exact binomial test
## 
## data:  positivos and nonulos
## number of successes = 10, number of trials = 10, p-value = 0.001953
## alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.6915029 1.0000000
## sample estimates:
## probability of success 
##                      1

wilcox.test(x,mu=12)

## 
##  Wilcoxon signed rank exact test
## 
## data:  x
## V = 55, p-value = 0.001953
## alternative hypothesis: true location is not equal to 12

2. Ejercicio análisis de varianza

En un taller de guitarras eléctricas se quiere comprabar la calidad de 4 marcas diferentes de cuerdas. Para realizar esta comparación, se tomará de referencia la primera cuerda de la guitarra (para que todas tengan el mismo grosor). Teniendo esto en cuenta, se seleccionan 10 cuerdas de cada marca. A continuación se registra la fuerza máxima de tracción (En Newtons) que soportaron las cuerdas. En la siguiente tabla se muestran los resultados:

Marca de cuerdas	Fuerza máxima de tracción (en Newtons)
Marca A	56.85, 47.18, 51.82, 53.16, 52.02, 49.47, 57.56, 49.53, 60.09, 49.69
Marca B	56.52, 61.43, 43.06, 48.61, 49.33, 53.18, 48.58, 36.72, 37.8, 56.6
Marca C	48.47, 41.09, 49.14, 56.07, 59.48, 47.85, 48.71, 41.18, 52.3, 46.8
Marca D	52.28, 53.52, 55.18, 46.96, 52.52, 41.41, 46.08, 45.75, 37.93, 50.18

Comprueba si los datos cumplen la primera condición para aplicar ANOVA (normalidad de los datos)

Para comprobar si los datos siguen una distribución normal, primero mostraremos el histograma de los datos, para comprobar aproximadamente si se cumple la condición.

#Almacenamos los datos de cada marca en variables separadas
a=c(56.85, 47.18, 51.82, 53.16, 52.02, 49.47, 57.56, 49.53, 60.09, 49.69);
b=c(56.52, 61.43, 43.06, 48.61, 49.33, 53.18, 48.58, 36.72, 37.8, 56.6);
c=c(48.47, 41.09, 49.14, 56.07, 59.48, 47.85, 48.71, 41.18, 52.3, 46.8);
d=c(52.28, 53.52, 55.18, 46.96, 52.52, 41.41, 46.08, 45.75, 37.93, 50.18);

datos=c(a,b,c,d)

#Mostramos histograma del total de los datos
hist(datos, xlab="Fuerza Máxima de Tracción (Newtons)",col="lightblue",breaks=5)
curve(dnorm(x, mean = mean(datos), sd = sd(datos)), col="blue", lwd=2, add=TRUE)

Viendo el histrograma, podemos ver que aproximadamente sigue una normal, pero si queremos comprobar esta condición de una forma más precisa, tenemos que usar algún test estadístico como shapiro.test(), ks.test() o ad.test(). El test que usaremos será el shapiro.test(), que define como hipótesis nula que los datos siguen una distribución normal; y como hipótesis alternativa, plantea que los datos no siguen una normal.

H0: los datos siguen una normal
H1: los datos no siguen una normal

#Aplicamos el test con el total de los datos
shapiro.test(datos)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  datos
## W = 0.97307, p-value = 0.4477

Al ejecutar este test, vemos que el p-valor=0.4477, y como es mayor que α (0.05) no rechazamos la hipótesis nula, afirmando por tanto que los datos siguen una distribución normal

Comprueba si los datos cumplen la segunda condición para aplicar ANOVA (homceasticidad de los datos)

Para comprobar si los datos tienen la misma varianza (homoceasticidad), podemos hacer una aproximacion con un diagrama de cajas (al igual que para la normalidad hemos usado un histograma) y posteriormente comprobar con exactitud esta propiedad usando algún test estadístico, como bartlett.test().

#Guardamos las marcas
marcas = factor(c(rep("A",10),rep("B",10),rep("C",10),rep("D",10)))

#Mostramos el diagrama de cajas
boxplot(datos~marcas)

#Ejecutamos el test estadístico
bartlett.test(datos~marcas)

## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  datos by marcas
## Bartlett's K-squared = 3.8981, df = 3, p-value = 0.2727

En el resultado del test podemos ver que el p-valor es mayor que α, por tanto no rechazamos la hipótesis nula y afirmamos que los datos cumplen la homoceasticidad

Comprueba si la marca de las cuerdas influye en su calidad

Para resolver este apartado, debemos comprobar la siguiente hipótesis: “La media de resistencia de las cuatro marcas es igual”. Si comprobamos que esa hipótesis se cumple, podemos afirmar que la marca no influye en la calidad de las cuerdas; por tanto debemos hacer el siguiente contraste de hipótesis:

H0: μA=μB=μC=μD
H1: No todas las medias son iguales

Como hemos comprobado que se cumple la normalidad y homceasticidad de los datos, podemos aplicar ANOVA para hacer el contraste de hipótesis. Para hacer eso, usamos el siguiente comando:

summary(aov(datos~marcas))

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## marcas       3  121.1   40.35   1.088  0.367
## Residuals   36 1335.5   37.10

Con los datos del test, podemos formar la tabla de ANOVA:

Variación	Grados de libertad	Suma de cuadrados	Media de cuadrados	F
Entre grupos	b-1 = 3	SSE = 121.1	MSE = 40.35	Fs = 1.088
Dentro de los grupos	n-b = 36	SSD = 1335.5	MSD = 37.10
Total	n-1 = 39	SST = 1456.6

Teniendo los datos recogidos en la tabla, podemos hacer el contraste de hipótesis comparando los valores de \(F_{s}\) y \(F_{α;(b-1);(n-1)}\)

\(F_{s} = 1.088\)
\(F_{α;(b-1);(n-1)}=qf(0.95,3,36)=\) 2.8662656

Podemos ver que \(F_{s} <= F_{α;(b-1);(n-1)}\), por tanto no rechazamos la hipótesis nula y afirmamos (con un 95% de significancia) que las 4 marcas tienen la misma media de resistencia a la tracción. Otra forma de hacer el contraste de hipótesis es usando el comando (usado anteriormente) summary(aov(datos~marcas)), del que se puede obtener el p-valor directamente de la forma:

summary(aov(datos~marcas))

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## marcas       3  121.1   40.35   1.088  0.367
## Residuals   36 1335.5   37.10

summary(aov(datos~marcas))[[1]]$'Pr(>F)'[1]

## [1] 0.3667157

Podemos ver que el P-valor=0.3667157 y es mayor que α=0.05, por lo que no rechazamos la hipótesis nula.
En conclusión, podemos afirmar que la marca de las cuerdas no afecta a su calidad.

Para la marca de cuerdas B, da un intervalo de confianza al 98% de confianza de su media de resistencia.

Para construir el intervalo de confianza, necesitamos los siguientes datos:

N (tamaño muestral del grupo B) = 10
mean (media del grupo B) = 49.183
sd (desviacion poblacional del grupo B) = sd(B) = 8.1507478
alpha (1 - nivel de confianza) = 1 - (98/100) = 0.02
Z = qnorm(1 - alpha/2) = 2.3263479

Teniendo esos datos, podemos hallar el valor inicial y el valor final del intervalo:

#Valor inicial
mean - z * (sd/sqrt(n))

## [1] 43.18686

#Valor final
mean + z * (sd/sqrt(n))

## [1] 55.17914

En conclusión, podemos afirmar (al 98% de significancia) que la media de resistencia de la marca B se encuentra entre 43.1868552 y 55.1791448

3. Regresión lineal

Consideremos un estudio sobre la relación entre la cantidad de horas dedicadas a copiar y el puntaje obtenido en un examen. Los datos se recolectaron de estudiantes universitarios y se encuentran en las siguientes variables:

Horas de creación de chuletas: c(5.2, 6.5, 4.8, 7.3, 6.1, 5.9, 7.8, 6.4, 5.7, 6.9, 7.5, 5.6, 6.3, 6.8, 5.4, 7.1, 6.7, 5.5)
Puntaje del examen: c(65, 72, 60, 78, 68, 70, 82, 71, 67, 75, 80, 66, 73, 76, 64, 79, 74, 63)

¿Como será la pendiente?
¿Existe evidencia estadística para afirmar que el modelo de regresión lineal entre las horas de copia y el puntaje del examen necesita la constante?
¿Cuál es el valor de la constante?

x<-c(5.2, 6.5, 4.8, 7.3, 6.1, 5.9, 7.8, 6.4, 5.7, 6.9, 7.5, 5.6, 6.3, 6.8, 5.4, 7.1, 6.7, 5.5)
y<-c(65, 72, 60, 78, 68, 70, 82, 71, 67, 75, 80, 66, 73, 76, 64, 79, 74, 63)
plot(x,y)

summary(lm(y~x))

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.3125 -0.6702 -0.1638  0.8472  1.9090 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  24.5842     2.3102   10.64 1.15e-08 ***
## x             7.4051     0.3633   20.38 7.15e-13 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.264 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9629, Adjusted R-squared:  0.9606 
## F-statistic: 415.4 on 1 and 16 DF,  p-value: 7.146e-13

Calcula el coeficiente de correlación entre las horas de copia y el puntaje del examen.

cor(x,y)

## [1] 0.9812817

Trabajo Final

1. Selección del banco de datos

Para hacer este trabajo, hemos buscado bancos de datos en la pagina de OpenIntro.
De entre todos los disponibles, hemos seleccionado un dataset donde se ve información sobre los tiroteos policiales mortales en EEUU. En este banco de datos, están recogidos los incidentes policiales mortales desde 2015 hasta 2021. Las variables de este banco de datos, para cada incidente, indican:

str(datos)

## 'data.frame':    6421 obs. of  12 variables:
##  $ date                   : chr  "2015-01-02" "2015-01-02" "2015-01-03" "2015-01-04" ...
##  $ manner_of_death        : chr  "shot" "shot" "shot and Tasered" "shot" ...
##  $ armed                  : chr  "gun" "gun" "unarmed" "toy weapon" ...
##  $ age                    : int  53 47 23 32 39 18 22 35 34 47 ...
##  $ gender                 : chr  "M" "M" "M" "M" ...
##  $ race                   : chr  "A" "W" "H" "W" ...
##  $ city                   : chr  "Shelton" "Aloha" "Wichita" "San Francisco" ...
##  $ state                  : chr  "WA" "OR" "KS" "CA" ...
##  $ signs_of_mental_illness: chr  "True" "False" "False" "True" ...
##  $ threat_level           : chr  "attack" "attack" "other" "attack" ...
##  $ flee                   : chr  "Not fleeing" "Not fleeing" "Not fleeing" "Not fleeing" ...
##  $ body_camera            : chr  "False" "False" "False" "False" ...

summary(datos)

##      date           manner_of_death       armed                age       
##  Length:6421        Length:6421        Length:6421        Min.   : 6.00  
##  Class :character   Class :character   Class :character   1st Qu.:27.00  
##  Mode  :character   Mode  :character   Mode  :character   Median :35.00  
##                                                           Mean   :37.09  
##                                                           3rd Qu.:45.00  
##                                                           Max.   :91.00  
##                                                           NA's   :285    
##     gender              race               city              state          
##  Length:6421        Length:6421        Length:6421        Length:6421       
##  Class :character   Class :character   Class :character   Class :character  
##  Mode  :character   Mode  :character   Mode  :character   Mode  :character  
##                                                                             
##                                                                             
##                                                                             
##                                                                             
##  signs_of_mental_illness threat_level           flee          
##  Length:6421             Length:6421        Length:6421       
##  Class :character        Class :character   Class :character  
##  Mode  :character        Mode  :character   Mode  :character  
##                                                               
##                                                               
##                                                               
##                                                               
##  body_camera       
##  Length:6421       
##  Class :character  
##  Mode  :character  
##                    
##                    
##                    
##

Con este banco de datos, podemos ver gráficas muy interesantes para ver información sobre la edad de los afectados, su género, su raza, etc.

Vemos la distribución de la edad.
Vemos los incidentes producidos según el género.
Vemos los incidentes según la raza.

2. Objetivo del estudio

En este estudio, queremos ver si la riqueza del estado (medido según su PIB per cápita, usando esta fuente), influye en la edad media de las víctimas de los incidentes producidos. Hemos usado el PIB per cápita, ya que si usamos el PIB general, los estados con mayor población serían más ricos según esta variable. Para hacer este estudio, hemos seleccionado los estados con mayor PIB per cápita (Distrito de columbia -DC-) y el menor (Estado de Misisipi -MS-).

edadesDC = datos$age[datos$state=='DC']
edadesMS = datos$age[datos$state=='MS']

#Representamos graficamente los datos de cada estado
boxplot(edadesDC, edadesMS, names=c("Columbia","Misisipi"), xlab="Estado", ylab="Edad")

3. Contraste de hipótesis

Una vez que tenemos los datos, planteamos las hipótesis.

Hipótesis nula: H0: \(μ_{DC}=μ_{MS}\)
Hipóteis alternativa: H1: \(μ_{DC}≠μ_{MS}\)

Para hacer este contraste de hipótesis, usamos el comando t.test():

t.test(edadesDC, edadesMS)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  edadesDC and edadesMS
## t = -0.77717, df = 24.157, p-value = 0.4446
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -9.896824  4.480951
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  35.27778  37.98571

4. Conclusiones

Con los resultados del test, vemos que el P-value=0.4446, por tanto no tenemos evidencia significativa para rechazar la hipótesis nula. En conclusión, podemos afirmar que la riqueza de un estado, no afecta a la edad media de las víctimas de tiroteos policiales. Estos resultados, nos dan una pequeña idea de que el índice de criminalidade en EEUU es bastante homogéneo, y no tiene que ver con el nivel de vida de sus habitantes.

Trabajo grupal

Alejo Arenas Moreira y Hugo Hernández Gualda

7/05/2024

Enlace a videos de explicación

Trabajo grupal 1

1. Probabilidad

2. Variable aleatoria normal

3. Variables aleatorias mixtas

Trabajo grupal 2

1. Ejercicio exponencial

2. Contraste de hipótesis emparejadas.

3. Contraste de Hipótesis

Trabajo grupal 3

1. Contraste de Hipótesis

2. Ejercicio análisis de varianza

3. Regresión lineal

Trabajo Final

1. Selección del banco de datos

2. Objetivo del estudio

3. Contraste de hipótesis

4. Conclusiones