La probabilidad de que a un niño seleccionado al azar le guste la fruta es del 70%. También se sabe que la probabilidad de que a un niño le guste la tarta dado que le gusta la fruta es del 30 %. Si a un 20% les gusta la tarta de los niños que no les gusta la fruta. Calcula :
\[ F \equiv Fruta \ \] \[ T \equiv Tarta \]
P(F)= 0.7
P(T/F) = 0.3
P(T/F’) = 0.2
1. Probabilidad de qué a un niño le guste
la tarta \[P(T)=P(T∩F)+P(T∩F')=P(T/F)*P(F)+
P(T/F')*P(F') = 0.3·0.7+0.2·0.3= 0.27 \]
2. Probabilidad de que a un niño le guste
la fruta y la tarta \[ P(T/F) =
\frac{P(T\cap F)}{P(F)} =>P(T\cap\ F)= P(T/F) * P(F) = 0.7 * 0.3 =
0.21 \]
3. Probabilidad de que a un niño le guste
la fruta sabiendo que le gusta la tarta también \[ P(F/T) = \frac{P(T\cap F)}{P(T)} =\frac {0.7 *
0.3}{0.27} = 0.7777778 \]
4. Además, hay un 15 % de los niños que les gusta la fruta y la tarta y la pizza. Calcula el porcentaje de niños a los que les guste la fruta y la tarta pero no la pizza:
\[ P \equiv Pizza \] \[ P(F\cap \ T \cap P') = P(F\cap \ T \ ) - P(F\cap \ T \cap P)= 0.21 - 0.15 = 0.06 \]
En un partido de futbol se selecciona al azar a un espectador para un espectaculo en el teimpo muestro del partido. Dicho espectador tiene que tirar 10 penaltis a un portero y puede pasar que marque gol, que se la pare el portero o que vaya fuera.
Si se diera el caso que el espectador no ha jugado nunca al futbol y tire todos lo tiros al azar, calcula la probabilidad de los siguientes casos siguientes casos:
El número de penaltis marcados seguirá una distribución Binomial con n= 10 y p=0.33.
1. Probabilidad de que meta la mitad de
goles. \[ P(X=5) \;=\; {10\choose 5}
(0.33)^{5} \, (1-0.33)^{10-5}, \qquad k=0,1,2, \ldots, n \] \[ P(X=5) \;= dbinom(5,10,0.33) = 0.1331509 ≃
13.31 \%\ \]
2. Probabilidad de que meta entre 4 y 7
goles. \[ P(4 \leq X \leq 7) = P(X\leq
7) \, - \, P(X\leq 4) \; = \; \, pbinom(7,10,0.33) - pbinom(4,10,0.33)
\, \] \[= \; 0.9968327 \, - \,
0.7936486 \; = \; 0.2031841 = 20.31\%\ \]
3. Probabilidad de que meta todos los
penaltis. \[ P(X=10) \;=\; {10\choose
10} (0.33)^{10} \, (1-0.33)^{10-10}, \qquad k=0,1,2, \ldots, n \]
\[ P(X=10) \;= dbinom(10,10,0.33) =
1.531579e-05 ≃ 0\%\ \]
4. Probabilidad de que meta menos de 3 goles
\[ P(X\ < 3) = P(X\leq 2) = pbinom(2,10,0.33) = 0.3070034 = 30.70034\%\]
El equipo de RedBull ha lanzado a varios paracaidistas desde unos avion muy altos y se ha calculado que la media de la distancia recorrida por los paracaidista es de 2500 metros y la desviacion típica es de 300 metros. Teniendo esto en cuenta calcula:
1. ¿Qué porcentaje está por debajo de que
recorra 2300m? \[ P(X< 2300)
= P(X\leq 2300) = P(Z\leq\frac{2300-2500}{300}) = P(Z\leq (-0.6666) ) =
pnorm(-0.6666) = 0.2524925 \]
2. ¿Qué porcentaje hay dentro de una distancia recorrida de entre 2300 y 2900 metros ?
\[ P(2300 \leq X \leq 2900) = P(X\leq
2900) \, - \, P(X\leq 2300) \; = P(Z<\frac{2900-2500}{300}) -
P(Z<\frac{2300-2500}{300}) = \] \[
P(Z<1.\overline{3}) - P(Z<(-0.\overline{6})) =\; \,
pnorm(1.\overline{3}) - pnorm(-0.\overline{6}) \, = 0.6562962\ \]
3. ¿Qué porcentaje es mayor de que recorra 2800m?
\[ P(X > 2800) = 1- P(X\leq 2800) = 1-
pnorm(1) = 1 -0.8413447= 0.1586553\]
4. ¿Qué porcentaje está entre 2400 y 2600?
\[ P(2400 \leq X \leq 2600) = P(X\leq
2600) \, - \, P(X\leq 2400) \ = P(Z<\frac{2600-2500}{300}) -
P(Z<\frac{2400-2500}{300}) = \] \[P(Z<0.33) - P(Z<(-0.33)) = \;\, pnorm(0.33)
- pnorm(-0.33) \, = 0.2586\ \]
Enlace explicativo sobre lo tres primero ejercicios:
https://www.youtube.com/watch?v=m2HcCCWGmNc
El tiempo que un novio pasa esperando a
que su novia llegue al altar es una variable aleatoria con media de 7,2
minutos y desviación estándar de 1,25 minutos. Supón que se observa una
muestra aleatoria de n = 36 bodas. Calcula la probabilidad de que el
tiempo de espera promedio en el altar para estos novios sea:
\[ \mu= 7.2, \ \sigma=1.25, \ n =36 \]
a) Menor de 8 minutos. \[ P ( \overline{X} < 8) = pnorm(8,7.2,\frac{1.25}{\sqrt {36}}) = 0.99999 \approx 1\] La solucion es aproximadamente 1
b) Mayor que 7 minutos
\[ P (\overline{X} > 7) = P(\overline{X} \geq 7 )= 1 - pnorm(7,7.2,\frac{1.25}{\sqrt {36}}) = 0.8314 \] La solucion es 0.8314
c) Entre 7 y 7.5 minutos.
\[ P (7 < \overline{X} < 7.75) = P(7 \leq \overline{X} \leq 7.5) = pnorm(7.5,7.2,\frac{1.25}{\sqrt {36}})-pnorm(7,7.2,\frac{1.25}{\sqrt {36}})=0.7565 \]
La solucion es 0.7565
d) Calcular n para que esté entre 7 y 7.5 minutos y la probabilidad sea mayor que 0,8.
\[ \overline{X}\thicksim N(7.2,\frac{1.25}{\sqrt n})\]
Despejamos para conseguir n
\[P(\overline{X} \leq 7.5)-(1-P(\overline{X} \leq 7.5))=2P(\overline{X} \leq 7.5)-1=0.8 \\ P(\overline{X} \leq 7.5)=\frac{0.8+1}{2}=0.9\] \[P(\overline{X} \leq 7.5)=0.9 \rightarrow tipificamos \rightarrow P(Z \leq \frac{7.5-7.2}{1.25/\sqrt n})=0.9 \rightarrow \\ qnorm(0.9)= 1.28 \rightarrow \frac{0.3*\sqrt n}{1.25}=1.28 \rightarrow\sqrt n=\frac{1.28*1.25}{0.3}=5.3^2=28.4 \]
La solucion es n = 29
En un criadero de pollos tiene un
departamento encargado del control de salud de sus pollos. Se hacen
pruebas cada semana y en una de ellas, se hizo un control de 500 pollos.
Los resultados del control fueron que había 38 pollos enfernos.
Calcula:
a) Un IC para la proporcion de pollos sanos al 99%
\[p = \frac{38}{500},\ \alpha = 0.01 ,\
n=500\]
\[{\frac{38}{500}} \,-\, Z_{\ 0.01/2} \sqrt{\frac{{\frac{38}{500}}*(1-{\frac{38}{500}})}{500}}\; < \;p \; <\; {\frac{38}{500}} \,+\, Z_{\ 0.01/2} \sqrt{\frac{{\frac{38}{500}}*(1-{\frac{38}{500}})}{500}} \]
Según los comandos de r, seria: \[\frac{38}{500}-qnorm(1-0.01/2)*sqrt((\frac{38}{500}*(1-\frac{38}{500}))/500);\] \[\frac{38}{500}+qnorm(1-0.01/2)*sqrt((\frac{38}{500}*(1-\frac{38}{500}))/500);\] La solucion es: (0.04547,0.10652)
b)Un IC para la proporcion de pollos sanos
al 95%
\[p = \frac{38}{500} , \ \alpha = 0.05 , \ n=500\]
\[{\frac{38}{500}} \,-\, Z_{\ 0.05/2} \sqrt{\frac{{\frac{38}{500}}(1-{\frac{38}{500}})}{n}}\; < \;p \; <\; {\frac{38}{500}} \,+\, Z_{\ 0.05/2} \sqrt{\frac{{\frac{38}{500}}(1-{\frac{38}{500}})}{n}} \]
Según los comandos de r, seria: \[\frac{38}{500}-qnorm(1-0.05/2)*sqrt((\frac{38}{500}*(1-\frac{38}{500}))/500);\] \[\frac{38}{500}+qnorm(1-0.05/2)*sqrt((\frac{38}{500}*(1-\frac{38}{500}))/500);\]
La solucion es: (0.05277,0.09922)
c) Para la proporción del 95% y una desviacion de 10 ¿cuál es el margen de error de dicha estimación?
\[ E= qnorm(1-0.05/2)*(\frac{10}{\sqrt500}) = 0.8765225\] La solucion es: E = 0.8765225
d) Si la desv. Tipica= 10. Calcula el tamaño muestral de pollos (n) es necesario para estimar la media con un error de 5 y un intervalo de confianza del 95%
La fórmula es:
\[ n=( Z_{\alpha/2} * \frac{\sigma}{Error} ) ^2\]
Según los comandos de r, seria:
\[ n=( qnorm(1-(0.05/2) )* \frac{10}{5} ) ^2 = 15.36584\]
La solucion es: n = 16
Se hace un seguimiento de los auriculares inalámbricos Samsung GalaxyBuds. El fabricante asegura un uso medio de 30h y se hizo una prueba a 7 de estos auriculares obteniendo estos resultados : 30.7, 22.7, 35.4, 30.6, 38.6, 31.9, 27.1
a) ¿Que tipo de prueba podemos usar?
Como conocemos la desviacion y sigue una
distribucion normal utilizamos la formula:
\[\frac{\overline{x}-µ_{0}}{\frac{\sigma}{\sqrt(n)}}\]
b) Indica cual seria la hipotesis nula y
cual la alternativa
La hipotesis nula es la afirmacion que quiere ser contrastada y la hipotesis alternaniva lo contrario, por lo que:
\[ H_{0} = 30\] \[ H_{1} ≠ 30\]
c) ¿Cual es el valor de p-valor?
Dado que x es el vector de los valores de las pruebas de duracion de los auriculares
El p-valor se puede obtener con la instruccion:
\[ t.test(x, mu=30)\]
Pero lo vamos a obtener de la siguiente forma,siendo
\[\overline{x}= 31, \quad µ_{0} = 30, \quad \sigma = 5.2, \quad n = 7\]
\[ Z = \frac{\overline{x}-µ_{0}}{\frac{\sigma}{\sqrt(n)}} = \frac{31-30}{\frac{5.2}{\sqrt(7)}} = 0.5087 \]
\[ pnorm (Z) = 0.6945 \]
d) ¿Podemos afirmar que los auriculares inalambricos tiene una duracion media de 30h?
Como el p-valor es mayor que 0.05 podemos aceptar la hipotesis nula y decir que existe evidencia estadistica de que el uso medio de los auriculares es de 30h
Enlace del video: https://www.youtube.com/watch?v=d5JxempJrG4