Plantilla para los trabajos
Vídeo1: https://youtu.be/WwgGAa8u9a8.
Vídeo2: https://youtu.be/1DW321Wq9tU.
Supongamos que una cafetería tiene la siguiente composición de clientes: El 60% son adultos y el 40% son niños. De los adultos el 25% son mujeres y el 75% son hombres. De los niños el 50% son niñas y el 50% son niños. Pero también sabemos que el 15% de las mujeres adultas y el 10% de los hombre adultos toman café. El 5% de las niñas y el 8% de los niños ordenan algún tipo de bebida en la cafetería. La probabilidad de que un adulto sufra un percance es del 2% mientras que de los niños es del 3%.
Suponemos: Adultos=A, Niños=N, Hombres=H, Mujeres=M, Cafe=C, Bebida=B, Accidente=Acc
Un adulto que no pida cafe: \(P(C^c / A)=\frac{P(C^c \cap A)}{P(A)}=\frac{0.5325}{0.6}=0.8875\) \(P(C^c \cap A)=P(A)-P(A \cap C)=0.6-(0.6*(0.25*0.15+0.75*0.1))=0.5325\)
Mujer ha pedido un café y sufre un accidente: \(P(A \cap M \cap C \cap Acc)=P(A) * P(M / A) * P(C / M) * P(Acc / A)=0.6*0.25*0.15*0.02=0.00045\)
Niño sin bebida y que sufra un accidente: \(P(Niños \cap Niño \cap B^c \cap Acc)=P(Niños)*P(Niño/Niños)*P(B^c / Niño)*P(Acc / Niños)=0.4*0.5*(1-0.08)*0.03=0.00552\)
Hombre que no sufra un accidente: \(P(A \cap H/A \cap Acc^c)=P(A)*P(H / A)*P(C / HA)*P(Acc^c / A)+P(A)*P(H / A)*P(C^c / HA)*P(Acc^c / A)=0.6*0.75*0.1*(1-0.02)+0.6*0.75*(1-0.1)*(1-0.02)=0.441\)
En una fábrica de juguetes se tiene una normativa de que aquellos juguetes destinados a niños deben tener un tamaño entre 5 y 30 centímetros. Sea X el tamaño de los juguetes. Siendo la función de densidad de la probabilidad de X la siguiente:
\(f(X)=(\frac{x^2-x}{10000})\) si
\(5\leq X\leq 30\)
\(f(X)=1\) en otro caso
\(P(5\leq X\leq 30)=\) \(\int_{5}^{30} \frac{x^2-x}{10000}dx=\) \(\frac{1}{10000} \int_{5}^{30} (x^2-x)dx=\) \(\frac{1}{10000} [\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}]_{5}^{30}=\) \(\frac{1}{10000}(8550-29.17)=\) \(\frac{1}{10000}(8520.83)=0.852083\)
\(P(10\leq X\leq 20)=\) \(\int_{10}^{20} \frac{x^2-x}{10000}dx=\)\(\frac{1}{10000} \int_{10}^{20} (x^2-x)dx=\)\(\frac{1}{10000}[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}]_{10}^{20}=\)\(\frac{1}{10000}(2466.67-283.33)=0.218334\)
\[F(X)=\int_{5}^{x} \frac{t^2-t}{10000}dx=\frac{1}{10000} \int_{5}^{x}(t^2-t)dx=\frac{1}{10000}[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}]_{5}^{x}=\frac{1}{10000}[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-29.16]=\frac{x^3}{30000}-\frac{x^2}{20000}-\frac{29.16}{10000}\]
\(F(x)=\frac{x^3}{30000}-\frac{x^2}{20000}-\frac{29.16}{10000}\)
\(P(x>25)=\)\(1-P(X<25)=1-\int_{5}^{25}\frac{x^2-x}{10000}dx=\)\(1-\frac{1}{10000}[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}]_{5}^{25}=\) \(1-\frac{1}{10000}(4895.83-29.16)=1-0.48667=0.51333\)
El tiempo medio de ensamblaje de un automóvil en una empresa determinada sigue una distribución normal, con una media de 15 horas por coche y desviación típica de 4 horas.
Siendo X = “tiempo medio de ensamblaje de un coche”, tenemos que X~(15, 4)
Por lo tanto, \(P(18<X<20)=P(X<20)-P(X<18)=\)pnorm(20,15,4)-pnorm(18,15,4)=0.1209776
En el segundo caso, \(P(X=7)=0\) ya que es una distribución continua.
\(P(X<17/X>14)=\frac{P(14<X<17)}{P(X>14)}=\frac{P(X<17)-P(X<14)}{1-P(X\leq14)}=\)(pnorm(17,15,4)-pnorm(14,15,4))/(1-pnorm(14,15,4))=0.4846596
Para el percentil 40 estamos buscando un valor \(t\) tal que \(P(X\leq t)=0.40\)
Por lo tanto, \(t=\)qnorm(0.40,15,4)=13.9866116
Tenemos que la media de nuestra distribución es 15, por lo tanto buscamos un intervalo tal que \(P(15-k\leq X\leq 15+k)=0.8\)
Esa expresión es equivalente a \(P(X\leq15+k)-P(X\leq15-k)\), y sabemos que \(P(X\leq15-k)=P(X\ge15+k)=1-P(X\leq15+k)\), así que sustituyendo: \(P(X\leq15+k)-P(X\leq15-k)=P(X\leq15+k)-1+P(X\leq15+k)=2*P(X\leq15+k)-1\)
\(2*P(X\leq15+k)-1=0.8\)
\(P(X\leq15+k)=\frac{0.8+1}{2}=0.9\)
Igual que hemos hecho en el
apartado anterior, tenemos que \(15+k=\)qnorm(0.9,15,4) =
20.1262063, por lo que \(k\) =
20.1262063 - 15 = 5.1262063
Para sacar nuestro intervalo solo tendremos que sumarle y restarle a la media el valor de \(k\): intervalo = (9.8737937, 20.1262063)
´
Tenemos un tiempo de espera en una cola de supermercado sigue una distribución exponencial con una tasa media de 5 minutos por persona.
Tenemos de tiempo medio por persona en el supermercado 5 minutos, media = 5.
Por lo tanto y sabiendo que es de
distribución exponencial, lambda =1/5.
\(P(7<X<11)=P(X<11)-P(X<7)=\)pexp(11,1/5)-pexp(7,1/5)=0.1357938
Sabiendo que lambda sigue siendo 1/5
podemos decir: \(P(X<t)=0.8\) y
\(t=\)qexp(0.8,1/5)=8.04719
Probabilidad menor a 2 sabiendo que la
tasa media es menor a 3. \(P(X<2 /
X<3)=\frac{P(X<3 \ y\
X<2)}{P(X<3)}=\frac{P(X<2)}{P(X<3)}\)pexp(2,1/5)/pexp(3,1/5)=0.7306925
Para \(P(X>12)={1-P(X<12)}=\)1-pexp(12,1/5)=0.09071795
En una empresa de estufas y calderas, se tienen dos tipos de pellets (se utilizan de combustible): pellet de clase A1 y pellet de clase A2. Se desea saber cuál de los dos tipos es más eficiente, es decir, con cual duran más tiempo las estufas encendidas. Se sabe que la desviación poblacional es de 2 minutos sin importar el tipo de pellet utilizado y también que siguen distribuciones normales. Para ello se han tomado 8 mediciones en la misma estufa y con la misma cantidad de pellets pero con distinto tipo, los tiempos (en minutos) de cada una han sido:
Pellets de clase A1:{17,35,20,46,13,28,51,43}
Pellets de clase A2:{12,42,26,40,16,30,45,55}
Los datos por lo tanto son:
\(\bar{x_1}=31.625\)
\(\bar{x_2}=33.25\)
\(\sigma_1=\sigma_2=2\)
\(\alpha = 1-0.9 = 0.1\)
\(n1=n2=8\)
\(s_1=14.30\)
\(s_2=14.86\)
El intervalo de confianza viene dado por: \(((\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})- Z_{\alpha /2}*\sqrt{\frac{\sigma^2}{n_1}+\frac{\sigma^2}{n_2}},(\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})+ Z_{\alpha /2}*\sqrt{\frac{\sigma^2}{n_1}+\frac{\sigma^2}{n_2}})\) \[P(Z < Z_{\alpha/2})=1-\frac{0.1}{2}=0.95\] \[Z_{\alpha /2}=qnorm(1-\frac{0.1}{2})=1.644854\] \[31.625-33.25- 1.644854 * \sqrt{\frac{2^2}{8}+\frac{2^2}{8}})=-3.27\] \[31.625-33.25+ 1.644854 * \sqrt{\frac{2^2}{8}+\frac{2^2}{8}})=0.0198\] Intervalo de confianza = \((-3.27,0.0198)\)
El intervalo de confianza viene dado por: \[(\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}}- t_{\alpha /2}*S_p*\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, \bar{x_{1}}-\bar{x_{2}}+ t_{\alpha /2}*S_p*\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}})\] \[S_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}=\sqrt{\frac{(8-1)*(14.30)^2+(8-1)*(14.86)^2}{8+8-2}}=\sqrt{212.67}=14.58\] \[t_\alpha/2=qt(1-\frac{0.1}{2},14)=1.76131\] \[(31.625-33.25)-1.76131*14.58*\sqrt{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}=-14.46\] \[(31.625-33.25)+1.76131*14.58*\sqrt{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}=11.21\] Intervalo de confianza = \((-14.46,11.21)\)
El contraste de hipótesis que planteamos es: \[H_0:\mu_1 = \mu_2\] \[H_1:\mu_1<\mu_2\] Se trata de un contraste unilateral y en este caso se cumple direccionalidad porque \(\bar{x_1}=31.625<\bar{x_2}=33.25\). Como se cumple, se hace el contraste completo.
\[S_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)*s_1^2+(n_2-1)*s_2^2}{n1+n2-2}}=\sqrt{\frac{(8-1)*(14.30)^2+(8-1)*(14.86)^2}{14}}=\sqrt{212.65}=14.58\] \[t_s=\frac{(\bar{x_1}-\bar{x_2})}{S_p\sqrt{\frac{1}{n1}+\frac{1}{n2}}}=\frac{31.625-33.25}{14.58*\sqrt{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}}=-0.223\] \[t_\alpha=qt(1-0.1,14)=1.35\] Dado que \(t_s=-0.22366 ≯t_\alpha=1.34503\). Por lo tanto, no rechazamos la hipótesis nula.
El contraste de hipótesis que se plantea
es: \[H_0:\mu_1 = \mu_2\] \[H_1:\mu_1 ≠ \mu_2\] En este caso, \(\alpha = 0.1\) y el estadístico de
contraste es: \[Z_s=\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}=\frac{31.625-33.25}{\sqrt{\frac{2^2}{8}+\frac{2^2}{8}}}=-1.625\]
Se puede resolver de dos maneras:
- Estadístico de contraste:
\[Z_\alpha /2 = 1.644854\] No se
cumple que \(Z_s<-Z_{\alpha/2}\),
por lo que no existe evidencia estadística en contra de \(H_0\).
- P-valor:\[P(Z \ge Z_s)+P(Z ≤
Z_s)=2*(1-P(Z<-1.625))=2*(1-pnorm(1.625))=0.1041626\] Como
P-valor > \(\alpha\) no existe
evidencia estadistica en contra de \(H_0\), lo que significa que las diferencias
no son azar.
Se está estudiando el tiempo que dura la batería de dos móviles distintos, m1 y m2. Para ello, se toman muestras independientes del tiempo que cada modelo de móvil tarda en gastar la batería, obteniendo una desviación típica de 3 horas y una media de 20 horas al tomar 10 muestras de m1, y una desviación de 1 hora y media de 24 horas al tomar otras 10 muestras de m2. Suponiendo ambas poblaciones normales:
Tenemos que: \(\bar{x_1} = 20\), \(n_1 = 10\), \(s_1 = 3\), \(\bar{x_2} = 24\), \(n_2 = 10\), \(s_2 = 1\), \(\alpha = 0.05\)
Como sabemos que las varianzas son
distintas y además desconocidas, nuestro intervalo de confianza será:
\[((\bar{x_1}-\bar{x_2})-t_{\alpha/2;v}*\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}},(\bar{x_1}-\bar{x_2})+t_{\alpha/2;v}*\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}})\]
donde \[v =
\frac{(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2})^2}{\frac{(\frac{s_1^2}{n_1})^2}{n_1-1}+\frac{(\frac{s_2^2}{n_2})^2}{n_2-1}}\]
Sustituyendo los valores dichos anteriormente obtenemos que v = 10.9756098 \(\approx 10\)
Por lo tanto, nuestro intervalo quedaría
como:
((x_1-x_2)-qt(1-alpha/2, v)*sqrt(((s_1^2)/n_1)+((s_2^2)/n_2)),
(x_1-x_2)+qt(1-alpha/2, v)*sqrt(((s_1^2)/n_1)+((s_2^2)/n_2)))
= \((-6.228139, -1.771861)\)
Como en ese intervalo de confianza no está incluido el 0, podemos decir que las medias son significativamente diferentes entre sí. Pasaría lo mismo si el intervalo fuera al 97%, ya que esto solo cerraría más el intervalo.
Por lo que calculamos el estadístico test:
fs \(=\frac{s_1^2}{s_2^2}=\)
(s_1^2)/(s_2^2) = 9
Una vez tenemos el estadístico test
calculamos el p-valor: p-valor \(=\)
2*(1-pf(fs,n_1-1,n_2-1))\(=
0.003110428\)
Como p-valor<\(\alpha = 0.05\), entonces rechazamos la hipótesis nula, es decir, existe evidencia estadística en contra de que las varianzas sean iguales, por lo que podemos afirmar en un 95% que las varianzas van a ser distintas.
El intervalo de confianza sería: \((\bar{x}-z_{\alpha/2}*\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x}+z_{\alpha/2}*\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)
Como debe tener como ancho menos de 0.5, entonces: \[2*z_{\alpha/2}*\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < 0.5\] \[z_{\alpha/2}*\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < 0.25\] \[\frac{1}{\sqrt{n}}<\frac{0.25}{z_{\alpha/2}*\sigma}\] \[\frac{z_{\alpha/2}*\sigma}{0.25}<\sqrt{n}\] \[n>(\frac{z_{\alpha/2}*\sigma}{0.25})^2\]
Por lo que al final tenemos que \(n\geq\)((qnorm(1-alpha/2)*sigma)/0.25)^2
\(= 245.8534 \approx 246\)
Así que necesitaremos una muestra de al menos 246 tiempos para poder tener ese intervalo de confianza.
Una vez tenemos el estadístico test,
calculamos el p-valor sabiendo que \(v=n_1-1\): p-valor\(=\)1-pt(5.270463, 9)\(= 0.0002567772\)
Como p-valor < \(\alpha=0.05\) rechazamos la hipótesis nula, es decir, sabemos al 95% que no existe evidencia estadística de que la media sea menor de 15.