1 Probabilidad
2 Variable aleatoria binomial
3 Estadística descriptiva
- 3.1 Variable aleatoria continua
4 Contraste de hipótesis
5 Contraste de hipótesis no paramétrico

1 Probabilidad

Sean dos sucesos de un espacio muestral tales que la probabilidad de aprobar estadistica es \(P(B)=0.2\), la probabilidad de aprobar estadistica o ser hombre es \(P(A \cup B)=0.4\) y la probabilidad de ser aprobar estadistica y ser hombre es \(P(A \cap B)=0.7\).

Calcula la probabilidad de ser mujer

Sabiendo que SOLO hay DOS generos, la probabilidad de ser mujer es \(P(A^c)=1-P(A)\)

Por lo que primero deberemos saber la probabilidad de ser hombre, la cual obtenemos:

\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\) al despejar conseguimos \(P(A)=P(A \cup B)-P(B)+P(A \cap B)\), sustituyendo sacamos: \(P(A)=0.4 -0.2 + 0.7 = 0.9\)

Con esto ya podemos calcular:

\(P(A^c)= 1-P(A) = 1-0.9 = 0.1\)

Calcula la probabilidad de ser mujer y aprobar estadistica \(P(A^c \cap B)\), sabiendo que la probabilidad de ser hombre y suspender es de \(P(A \cap B^c) = 0.8\).

Para calcularlo:

\(P(A^c \cup B)=P(A^c)+P(B)-P(A^c \cap B)\), que despejando nos quedaria \(P(A^c \cap B)=P(A^c)+P(B)-P(A^c \cup B)\), pero antes tenemos que obtener \(P(A^c \cup B)\)

Sabiendo que:

\(P(A^c \cup B) = 1-P(A \cap B^c)\)

Sabiendo la probabilidad de ser hombre y suspender, al sustituir obtenemos:

\(P(A^c \cup B) = 1-0.8 = 0.2\)

Con esto, podemos sustituir en lo anteriormente despejado, obteniendo:

\(P(A^c \cap B)=P(A^c)+P(B)-P(A^c \cup B)=0.1 + 0.2 - 0.2 = 0.1\)

Calcula \(P(A^c/B)\).

Para calcularlo: \(P(A^c / B)=\frac{P(A^c \cap B)}{P(B)}\) Tenemos todos los datos, por lo que podemos sacarlo. \(P(A^c / B)=\frac{P(A^c \cap B)}{P(B)}=0.1/0.2=0.5\)

¿Son independientes los sucesos A y B?.

No son independientes, ya que deberia cumplirse que \(P(A \cap B)=0.7\) sea igual a \(P(A)P(B)=0.1*0.2=0.02\). Al no cumplirse, se comprueba que no son independientes.

2 Variable aleatoria binomial

En una unidad de desactivación de bombas del ejercito tienen un proveedor el cual modifica las bombas para que no puedan explotar, pero en este caso el ejercito ha decidido prescindir del proveedor y modificarlas ellos mismos, los cuales al no tanta experiencia han inutilizado el 0,4 de las bombas.

En este caso es una binomial ya que o es defectuosa o esta desarmada

1.Calcula la probabilidad que de 10 bombas, 8 esten activas aún.

\(P(X = 8) =\)

dbinom(8,10,0.4)

## [1] 0.01061683

2.Calcular la probabilidad que de 10 bombas haya entre 4 y 8 bombas activas(4 y 8 incluido)

\(P(4\leq X\leq 8) =\)

pbinom(8,10,0.4) - pbinom(4,10,0.4)

## [1] 0.365219

3.La probabilidad de que solo haya una bomba defectuosa de entre una muestra de 10, sabiendo que hay menos de 4

\(P(X = 1|X\leq 4)=\)

dbinom(1,10,0.4)/pbinom(4,10,0.4)

## [1] 0.06367174

4.Calcular la media de bombas defectuosas en una muestra de 14 Sacamos una muestra de 1000 numeros aleatorios

mean(rbinom(1000,14,0.4))

## [1] 5.624

3 Estadística descriptiva

La base de datos BODYFAT del paquete PASWR2 la cantidad de grasa en el cuerpo de las personas en relacion a la edad de estas personas, en una encuesta de 14 mujeres y 4 hombres

Proporciona con R resumen de los datos.

library(PASWR2)

## Warning: package 'PASWR2' was built under R version 4.3.3

## Loading required package: lattice

## Loading required package: ggplot2

summary(BODYFAT)

##       age             fat        sex   
##  Min.   :23.00   Min.   : 7.80   F:14  
##  1st Qu.:39.50   1st Qu.:26.27   M: 4  
##  Median :51.50   Median :30.70         
##  Mean   :46.33   Mean   :28.61         
##  3rd Qu.:56.75   3rd Qu.:33.60         
##  Max.   :61.00   Max.   :42.00

Utiliza la función eda del paquete PASWR2 para realizar un análisis exploratorio de la variable age

Ahora vamos a utilizar la función eda del paquete PASWR2 para realizar un análisis exploratorio de la variable age

eda(BODYFAT$age)

## Size (n)  Missing  Minimum   1st Qu     Mean   Median   TrMean   3rd Qu 
##   18.000    0.000   23.000   39.500   46.333   51.500   46.333   56.750 
##      Max    Stdev      Var  SE Mean   I.Q.R.    Range Kurtosis Skewness 
##   61.000   13.218  174.706    3.116   17.250   38.000   -1.137   -0.681 
## SW p-val 
##    0.011

Cuantiles

Calcula el cuantil del 75 de la variable ‘age’

quantile(BODYFAT$age)

##    0%   25%   50%   75%  100% 
## 23.00 39.50 51.50 56.75 61.00

Como se puede ver, el tercer cuantil esta en aproximadamente 57 años de edad Diagrama de cajas

boxplot(BODYFAT$age)

3.1 Variable aleatoria continua

A Fernando le chiflan las rubias, por ello ha hecho un estudio para intentar saber cuantas rubias hay en Noruega para irse a vivir alli. De media, de cada 1000 mujeres en Noruega, 650 son rubias, con una desviacion tipica de 350.5, como no quiere arriesgarse manda a su amigo Mario que le debe bastante dinero a que haga reconocimiento de la zona, avisandole cuando encuentre un pueblo con 1000 rubias

¿Cuál es la probabilidad de que haya 1000 rubias en el pueblo?

X~N(650,350.5)

 pnorm(1000,650,350.5) = 0.1590007

¿Cuál es la probabilidad de que haya mas de 900 rubias?

pnorm(900,650,350.5) = 0.2378404
Fernando se ha dado cuenta de que es una locura irse a Noruega y abandonar a toda su familia, asi que ha decidido que el estudio lo hara en España. En Albacete solo un 20% son rubias, sabiendo que tiene __10 amiga__s en Albacete, ¿cual es la probabilidad de que 1 sea rubia?

Y~Bi(10,0.2), P(Y=1)

 dbinom(1,10,0.2) = 0.2684355

Viendo la tan baja probabilidad en Albacete, decide despedirse de todos sus seres queridos y volver a Noruega, conformandose con que haya entre 600 y 800 rubias en el pueblo donde se aloje ¿Cuál es la probabilidad?

X~N(650,350.5) P(600<X<800)

 pnorm(800,650,350.5)-pnorm(600,650,350.5) = 0.2223779

4 Contraste de hipótesis

La famosa redaccion sobre deportes MARCA a publicado un estudio.En el cual estipulan que para que un delantero promedio de la liga española pueda llegar a los 80 goles actualmente en 105 partidos.

Para realizar dicha comprobación, toma una muestra de 70 futbolistas y anota en un Excel los partidos y aprovecha para calcular la media muestral que es de 90 días. El diario marca sabe que la desviación de la población es de 15 partidos y el nivel de confianza es del 90% y se pregunta si pueden publicar que los goles son marcados en una de media 100 partidos.

PASOS A SEGUIR EN EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS

PASO 1: Enunciado y determinación de la hipótesis nula y la alternativa, H0 y H1

H0 : µ = 100
H1 : µ ≠ 100

PASO 2: Elegimos el nivel de significación

alpha = 1 - 0.9 = 0.1

PASO 3: Especificamos el tamaño muestral

n = 70 datos

PASO 4: Seleccionamos el estadístico

Utilizamos la siguiente fórmula puesto que la Desviación es conocida
- Zs = (X̅ - µ) / (σ / √n)

PASO 5: Determinación de la región crítica

Zalphamedios = qnorm(1-(0.1/2))

Zalphamedios

## [1] 1.644854

Esto quiere decir que la región de aceptación se encuentra entre (-1.645, + 1.645).
Y por tanto las regiones de rechazo se encuentran entre (-∞,-1.645) U (+1.645,∞)

PASO 6: Calculamos el valor del estadístico para la muestra extraída por el diario para el estudio .

Zs = (90-100)/ 15/sqrt(70)

Zs

## [1] -0.07968191

5 Contraste de hipótesis no paramétrico

Mario siempre se queja de que no le dan el MVP al jugar en Valorant, por ello ha pedido a su amigo JJ haga un estudio de los para que encuentre el porque de esta injusticia.

Y nos a proporcionado los siguientes datos referidos a el daño por ronda, que Mario hace:

54, 57 , 64 , 50 , 70 , 80 , 110 , 92 , 96 , 60 , 83 , 60 , 77 , 42

JJ quiere, usando la prueba de los signos y con un nivel de significacion de 0.05, confirmar que la mediana de daño por ronda de Mario es superior a 60

Prueba de los signos. Pasos

Probamos la hipotesis nula H0 : µ=µ0 frente a otra alternativa

1. Se pone un signo positivo si el valor excede a la mediana y un signo negativo si es inferior.

datos <- c(54,57,64,50,70,80,110,92,96,60,83,60,77,42)
signos <- c("-","-","+","-","+","+","+","+","+","","+","","+","-")
tabla <- data.frame(cbind(datos,signos))
tabla

##    datos signos
## 1     54      -
## 2     57      -
## 3     64      +
## 4     50      -
## 5     70      +
## 6     80      +
## 7    110      +
## 8     92      +
## 9     96      +
## 10    60       
## 11    83      +
## 12    60       
## 13    77      +
## 14    42      -

Gracias a la tabla, podemos decir que el tamaño muestral (n) es 12 dado que hay 2 empates

2. Se calcula el número de signos positivos N+ y negativos N-

N+ = 8
N- = 4

3. Calculamos el estadístico Bs = max{N+,N-}

Nmas = 8
Nmenos = 4
Bs = max(Nmas,Nmenos)
Bs

## [1] 8

Al ser unilateral del tipo “>” solamente +.

Balpha,n = 8

4. Calculamos Balpha/2,n

alpha = 0.05
n = 12
Balphamedios= qbinom(1-(alpha/2),n,0.5)
Balphamedios

## [1] 9

5. Conclusiones

Puesto que Balphamedios es mayor que Bs, no existe suficiente estadística para decir que el daño por ronda que hace Mario sea menor al 60. Y por tanto aceptamos la H0 y podemos afirmar que la mediana de daño por ronda es 60.

Además, podemos calcular el P-valor exacto, y suponiendo que no hay diferencias, el número de positivos sigue una Bi(12,0.5). En este caso será:

1-pbinom(6,12,0.5)

## [1] 0.387207

P(Bs>=8) = 1-P(Bs<7) = 0.387207

Por tanto, al ser el P-valor superior a el nivel de significación dado por JJ, aceptamos la H0.

Estadistica. Trabajo 1

Fernando Lozano Catalán y Mario Navarro de la Cruz

02/03/2024