Sucede que a pesar de haber tomado medidas de precaución, lastimosamente tu experimento falló y se generaron dos agujeros negros de manera consecutiva en vez de un único agujero negro. Las probabilidades de que se generasen por separado son: \(P(A)=0.4\), \(P(B)=0.1\) y de manera inaudita obsevamos que mantienen un estado de equilibrio central entre ellas: \(P(A \cap B)=0.3\).
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) , tal que sustituyendo tendremos: -> \(P(A \cup B) = (0.4\ + \ 0.1) - 0.3 = 0.2\)
Como bien sabemos del apartado anterior: \(P(A\cup B) = 0.2\), sabemos que solo queda calcular su complementario, por ende: \(P(A^c\cup B^c)= 1- P(A\cup B) = 1-0.2 = 0.8\)
Aunque pueda parecer complicado, en verdad es más sencillo de lo que parece dado que sabemos ambos podemos simplemente aplicar la resolución: \(P(A\cap B)/ P(B) = 0.3\ / \ 0.1 = 0.3*10/1 = 3\)
Si son independientes, debe cumplirse según la fórmula: \(P(A \cap B)=0.3\) debe ser igual a \(P(A)P(B)=0.4*0.1=0.04\) y por ende concluir que al no ser iguales, no son independientes.
Una empresa que fabrica motores de combustión ha creado una nueva gama de motores que para su correcto funcionamiento deben funcionar entre 50 y 150 revoluciones por segundo, los valores distintos no serán válidos. Si \(X\) es la potencia del motor según sus revoluciones y posee la función de densidad siguiente:
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{3x^2}{3250000} & \text{si } 50 < x < 150 \\\\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \]
Calcula la probabilidad de que las revoluciones sean menores a 100.
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{3x^2}{3250000} dx = \int_{50}^{100} \frac{3x^2}{3250000} dx = 0.2692308 \]
f <- function(x) {{3*x^2}/{3250000}}
integrate(f, 50, 100)## 0.2692308 with absolute error < 3e-15Calcula la esperanza de las revoluciones a las que funcionan los motores.
\[ \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx = \int_{50}^{150} x \cdot \left( \frac{3x^2}{3250000} \right) dx = \int_{50}^{150} \left( \frac{3x^3}{3250000} \right) dx = 115.3846 \]
g <- function(x) {x*{{3*x^2}/{3250000}}}
integrate(g, 50, 150)## 115.3846 with absolute error < 1.3e-12Calcula la desviación típica.
\[ \sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot \left( \frac{3x^2}{3250000} \right) dx - \mu^2 = \int_{50}^{150} \left( \frac{3x^4}{3250000} \right) dx - \mu^2 = 647.929 \]
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{647.929} = 25.454 \]
# Definición de la función j(x)
f <- function(x) { 3*x^2 / 3250000 }
# Cálculo de la esperanza matemática
media <- integrate(function(x) x * f(x), lower = 50, upper = 150)$value
# Cálculo de la varianza
varianza <- integrate(function(x) x^2 * f(x), lower = 50, upper = 150)$value - (media^2)
# Cálculo de la desviación típica
sigma <- sqrt(varianza)
sigma## [1] 25.45445Calcula la probabilidad de que las revoluciones se encuentren entre 80 y 120.
\[ \int_{80}^{120} \frac{3x^2}{3250000} dx=0.37415 \]
h <- function(x) {{3*x^2}/{3250000}}
integrate(h,80,120)## 0.3741538 with absolute error < 4.2e-15En una gran empresa de sofware la tasa de que un proyecto sea un fracaso es de un 8%, dada la delicada situación económica quieren conocer las siguientes probabilidades sabiendo que el éxito o fracaso de cada proyecto es independiente, para poder decidir cuantos proyectos pueden tener al mismo tiempo en marcha sin execisivo riesgo.
\(P(X=5)\)=
dbinom(5,25,0.08)\(P(X\leq 10)\)=
pbinom(10,100,0.08)\(P(5\leq X\leq 10)=P(X\leq 10)-P(X\leq 4)\)=
pbinom(10,25,0.08)-pbinom(4,25,0.08)\(P(X\geq 10)=1-P(X\leq 9)\)=
1-pbinom(9,50,0.08)La Agencia Espacial Europea (ESA) acaba de inicar 3 programas y quiere conocer distintas probabiliades de fracaso sabiendo: la probabilidad de que fracase el programa A y el B es de 0.3 (\(P(A \cap B=0.3\)), la probabilidad de fracaso de B es de 0.6 (P(B)=0.6)), la probabilidad de que el programa C falle dado un fracaso de B es del 0.1 (P(C/B)=0.1), y la probabilidad de fracaso de C es del 0.7 (P(C)=0.7). A continuación calcula las siguientes probabilidades.
\(P(A/B) = P(A \cap B)/P(B)\) , tal que sustituyendo tendremos: \(P(A/B) =0.3/0.6=0.5\)
\(P(B/C) = P(C \cap B)/P(C)\), pero dado que desconocemos la probabilidad de que C y B fallen al mismo tiempo, usaremos Bayes.\(P(B/C) = P(C \cap B)/P(C)=(P(C/B)*P(B))/P(C)= (0.1*0.6)/0.7=0.08571429\)
\(P(B\cap C) = -P(B \cup C )+P(B)+P(C)=-0.8+0.6+0.7=0.5\)
Utilizaremos: \(P(B \cap C)=P(B)*P(C)=0.6*0.7=0.42\)
Aparentemente ante el avance científico sobre una nueva especie dominante en una isla desierta, se ha determinado que aquel organismo se multiplica de manera alarmante y peligrosa para la existencia del ser humano, por suerte, dos grupos de exploradores tomaron diversas muestras, tras organizarlas pudimos determinar el tamaño de muestras de cada grupo, muestra1 = 23, muestra2 = 31, así como obtener algunos datos estadísticos como; las desviaciones estándar: sigma1 = 2, sigma2 = 3, además de las medias muestrales que cada grupo recogió previamente: media1 = 15, media2 = 20
Datos: Tamaño de muestra1: (n1) = 23 Tamaño de muestra2: (n2) = 31 Media muestral1: (xbarra1) = 15 Media muestral2: (xbarra2) = 20 Desviación_estándar1: (sigma1) = 2 Desviación_estándar2: (sigma2) = 3
Como no se menciona en el ejercicio, tomamos por defecto: alpha = 0.01 (100%-99%)
a) Para conseguir el intervalo de confianza bilateral, haremos en R:
\((xbarra1-xbarra2)-qnorm(1-alpha/2)*sqrt(((sigma1^2)/n1)+((sigma2^2)/n2))\) \((xbarra1-xbarra2)+qnorm(1-alpha/2)*sqrt(((sigma1^2)/n1)+((sigma2^2)/n2))\)
-> Resultado: (-6.755037 , -3.244963)
b) Para este segundo apartado haremos dos cosas: Mostrar teóricamente el contraste de hipótesis así como hacer el estadístico-test para corroborarlo.
H0: mu1 - mu2 = 0 (Las medias son iguales) H1: mu1 - mu2 != 0 (Hay diferencia significativa)
Haremos el estadístico-test y el P-valor en formato R: \(ts = ((xbarra1-xbarra2)-mu)/sqrt(((sigma1^2)/n1)+((sigma2^2)/n2))\) \(pValue = 2 * (1-pt(-abs(ts), n1-1)\)
-> Resultado: Estadístico-test: -7.33839 P-valor: 1.429079e-09
Dado que el valor es ínfimo o menor que 0.01 se concluye que se rechaza la Hipótesis nula
c) Para ese intervalo solo cambiamos el valor de alpha a 0.5 y aplicamos lo mismo. Haremos el estadístico-test y el P-valor en formato R: \(ts = ((xbarra1-xbarra2)-mu)/sqrt(((sigma1^2)/n1)+((sigma2^2)/n2))\) \(pValue = 2 * (1-pt(-abs(ts), n1-1)\)
-> Resultado: Intervalo de (-5.459563 , -4.540437)
Con eso podemos afimar que no es igual para el 50% sino menor, solo comparando los intervalos: Inter1:(-6.755037 , -3.244963), Inter2:(-5.459563 , -4.540437)
d) La medias son diferentes, dado que el 0 no está incluida en el intervalo de 99%.
Lo mismo ocurre con el Intervalo del 50%.
Tras un evento apolalíptico, una de las últimas organizaciones gubernamentales estableció un gran desarrollo en el avance matemático de los jóvenes con el fin de llevar a la humanidad por un buen camino. Dicho eso, se proponen a revisar el desempeño escolar de los dos grupos, A y B en una de las escuelas más prestigiosas de la nación. El grupo A es de alumnos que han recibido clases adicionales de refuerzo mientras que el B es de alumnos que no recibieron clases adicionales. Se revisaron examenes realizados por ambos grupos:
Grupo A (refuerzo):
Notas examen1: (85,88,92,79,90,86,83,87,91,84)
Notas examen2: (88,90,94,82,92,87,85,89,93,86)
Grupo B (sin refuerzo):
Notas examen1: (78,82,88,75,85,80,77,81,86,79)
Notas examen2: (80,84,90,77,87,82,79,83,88,81)
1.¿Cuáles son las medias de notas para cada equipo?
2.¿Cuál es la hipótesis nula y la hipótesis alternativa para el contraste de medias de los dos grupos?
3.¿Hay evidencia suficiente para afirmar que la media de las notas de uno de los dos grupos es mucho más grande que el otro?
4.Ahora queremos saber si existe suficiente evidencia estadística para afirmar que las notas del grupo A son mayores a 89.
Grupo A:
\(GrupoA_1 = c(78,82,88,75,85,80,77,81,86,79)\)
\(GrupoA_2 = c(88,90,94,82,92,87,85,89,93,86)\)
Grupo B:
\(GrupoB_1 = c(85,88,92,79,90,86,83,87,91,84)\)
\(GrupoB_2 = c(80,84,90,77,87,82,79,83,88,81)\)
Luego sus medias:
GrupoA:
\(media1 = mean(GrupoA_1)\)
\(media2 = mean(GrupoA_2)\)
GrupoB:
\(media3 = mean(GrupoB_1)\)
\(media4 = mean(GrupoB_2)\)
Para este caso es tan simple como identificar y mostrar las hipótesis: Hipótesis nula: H_0 = Las medias de los grupos A y B son iguales \(H_0: muA = muB\). Hipóteis alternativa: H_1 = Las medias de los grupos A y B son diferentes \(H_1: muA != muB\).
Para este caso tendremos realizar la prueba de t-estudent para comparar las medias de los grupos A y B, como no dice un nivel de significancia tomamos por defecto del 95%, es decir, alpha = 0.05
hacemos el t.test ylos comparamos: En R: \(t_test = t.test(GrupoA_1,GrupoB_1,alternative = "two.sided",conf.level = 0.95)\) -> Resultados: \(t = -2.9607, df = 17.958, p-value = 0.008386\) Intervalo de confianza: \((-9.232539 , -1.567461)\).
Resumen: Podemos aclarar que hay una diferencia entre las medias dado que el 0 no esta involucrado en el intervalo de confianza.
En R: \(t.test(GrupoA_1,mu = 89,alternative = "greater",conf.level = 0.95)\) -> Resultados: \(t = -5.9832, df = 9, p-value = 0.9999\) Intervalo de confianza: \((78.67964 , Inf)\)
Resumen: Podemos aclarar que la media del grupo A es mayor que 89, podríamos haberlo estimado comparando las medias pero de este metodo tenemos un resultado mas fiable y con datos que lo respaldan.