Consideremos que se nos ofrecen dos sucesos: “El Real Madrid roba en un partido” y “El Granada desciende a Segunda División”. Para facilitar el trato de ambos sucesos los llamaremos M y G, y serán de un espacio muestral tal que \(P(M \cap G)=0.6\), \(P(M \cup G)=0.85\) y \(P(M)=0.7\).
1. La probabilidad de que el Granada baje a Segunda División.
La formula con la que sacaremos dicha probabilidad es la siguiente: \(P(M \cup G) = P(M) + P(G) - P(M \cap G)\). Ahora, sustituyendo, tenemos: \(0.85 = 0.7 + P(G) - 0.6\). Despejando, obtendríamos el resultado de: \(P(G)=0.75\).
2. La probabilidad de que el Real Madrid no robe y que el Granada no baje de división en la misma temporada (las dos al mismo tiempo).
La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos la podemos sacar desde la probabilidad de que ocurra ambos sucesos y restándole la probabilidad total: \(1-P(M \cap G)\) . Sustituyendo tenemos: \(1-0.6=\) 0.4.
3. La probabilidad de que el Real Madrid no robe.
Para sacar la probabilidad de que no ocurra un suceso, hay que restarle a la probabilidad total la probabilidad de que ocurra ese mismo suceso, es decir: \(1-P(M)\). El resultado de esto será: \(1-0.7=\) 0.3.
4. La probabilidad de que el Granada baje de división sabiendo que el Real Madrid le ha robado en un partido al Granada.
En este caso podemos diferenciar del anterior que los sucesos dependen el uno del otro ya que aquí el robado por el Real Madrid es el Granada, provocando su descenso: \(P(G|M)=P(G \cap M)/P(M)\). Sustituyendo obtendremos que: \(0.6/0.7=\) 0.8571429.
2. En la siguiente tabla tenemos la funcion de probabilidad del número de triples del jugador MrTartaria de la liga de baloncesto YFEPSTEIN elegidos aleatoriamente de 5 partidos
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X) | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.15 | 0.1 | 0.05 |
Calcula la probabilidad de que MrTartaria consiga menos de dos triples en el partido.
En este caso estamos buscando la probabilidad de que anote menos de dos triples en el partido, por lo que tenemos que sumar la probabilidad de que meta uno mas la probabilidad de que meta dos para que asi nos quede la probabilidad total de que meta menos de 2.
\(P(X < 2)\) = \(P(X=1)\) + \(P(X=0) = 0.1+0.2= 0.3\)
Calcula la probabilidad de que MrTartaria consiga 3 o mas triples en el partido
Este caso es parecido al anterior, pero al decirnos 3 o más, tambien tenemos que sumar la probabilidad de que anote 3 triples en el partido a las restantes, tambien lo podiamos hacer con la probabilidad total menos la probabilidad de que anote menos de 3.
\(P(X\geq3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0.15+0.1+0.05=0.3\)
En este caso nos basamos de la formula para calcular la media y sustituimos los valores.
\(Media = 0* P(X=0) + 1* P(X=1) + 2* P(X=2) + 3* P(X=3) + 4* P(X=4) + 5* P(X=5)=\)
\(= [(0*0.1) + (1*0.2) + (2*0.4) + (3*0.15) + (4*0.1) + (5*0.05)]= 2.1\)
Calcula la varianza
Nos basamos de la formula de la varianza en la que tendremos que saber previamente el valor de la media para calcularla.
\(Varianza= [(0-Media)^2 * P(X=0)) + (1-Media)^2 * P(X=1))\) +
\((2-Media) ^2 * P(X=2)) + (3-Media)^2 * P(X=3)) + (4-Media)^2 - P(X=4)) + (5-Media)^2 * P(X=5))]\)
\(Varianza=[ ((0-2.1)^2 * 0.1)) + ((1-2.1)^2 * 0.2)) + ((2-2.1)^2 * 0.4)) + ((3-2.1)^2 * 0.15)) + (4-2.1)^2 * 0.1)) + ((5-2.1)^2 * 0.05))]=1.59\)
Queremos analizar los siguientes 10 partidos en las eliminatorias de Copa del Rey y Champions League del Real Madrid en los que la posibilidad de ganar es 0.7 y de perder 0.3. Son independientes, es decir, que el Madrid gane los partidos no influye en el siguiente.
1. ¿Cuál la probabilidad de que gane 8 partidos?
\(P(X=8)= dbinom(8,10,0.7) =\)
dbinom(8,10,0.7)## [1] 0.23347442. ¿Cuál es la probabilidad de que no gane ninguno?
\(P(X=0)=dbinom(0,10,0.7)=\)
dbinom(0,10,0.7)## [1] 5.9049e-063. ¿Cuántos partidos nos indica la mediana que ganará el Real Madrid?
Mediana de \(P(X)=qbinom(0.5,10,0.7)=\)
qbinom(0.5,10,0.7)## [1] 74. ¿Probabilidad de que pierda, al menos, 2 partidos?
Tomando aqui, en vez de las posibilidades de ganar, las posibilidades de perder: \(P(X\geq2))=1-P(X\leq1)=1 - pbinom(1,10,0.3)=\)
1 - pbinom(1,10,0.3)## [1] 0.8506917Los jugadores del vídeojuego FIFA son bastante agresivos debido a las circunstancias que se pueden dar en el juego, hemos tomado los datos y concluimos que la cantidad de mandos rotos por el FIFA sigue una distribución normal de media 3,5 y de desviación típica de 0,7. Cogemos a un jugador al azar y sabiendo esto
a) Calcula la probabilidad de que la cantidad de mandos rotos sea mayor que 4 mandos
\(P(X>4))=1-P(X<4)=1-pnorm(4,3.5,0.7)=\)
1 - pnorm(4,3.5,0.7)## [1] 0.2375253b) Calcula la probabilidad de que la cantidad de mandos rotos sea menor de 2 mandos
\(P(X<2))=pnorm(2,3.5,0.7)\)
pnorm(2,3.5,0.7)## [1] 0.01606229c) Calcula la probabilidad de que la cantidad de mandos rotos se encuentre entre 4 y 6 mandos
\(P(4<X<6)= pnorm(6,3.5,0.7)-pnorm(4,3.5,0.7)\)
pnorm(6,3.5,0.7)-pnorm(4,3.5,0.7)## [1] 0.2373477d) Calcula el percentil del 80% de la cantidad de mandos rotos
\(qnorm(0.8,3.5,0.7)\)
qnorm(0.8,3.5,0.7)## [1] 4.089135e) sabiendo que ha roto ya mas de un mando, la probabilidad de que hayan sido menos de 4
\(P(X<4/X>1)= pnorm(4,3.5,0.7)-pnorm(1,3.5,0.7)/1-pnorm(1,3.5,0.7)\)
pnorm(4,3.5,0.7)-pnorm(1,3.5,0.7)/1-pnorm(1,3.5,0.7)## [1] 0.7621197Nuestra empresa “Only Informáticos”, buscando las mejores ofertas en dispositivos electrónicos, encontró una que parecía inigualable en diferentes dispositivos, y es que nos ofrecían a mitad de precio la misma calidad que otros fabricantes conocidos. Claro, esto nos extrañó, así que decidimos comprobar la calidad de varios de los dispositivos en algunos aspectos: Nos decían que en los portátiles, la batería se cargaba completamente en una media de 45 minutos. Cuando hicimos las pruebas sobre 30 de ellos elegidos al azar y en las mismas condiciones, registramos las siguientes duraciones: 47, 46.5, 52, 41.5, 43, 44, 49, 42.5, 45, 43.5, 40, 45.5, 47.5, 39, 50, 48.5, 48, 46, 45.5, 44.5, 43.5, 48, 46.5, 45, 43, 42, 40.5, 44.5, 42.5, 48.5. Después, pusimos a prueba la calidad de unos routers que compramos probando la distancia a la que alcanza la señal wifi de cada uno. Nos decían que de media la señal wifi de esos routers alcanzaba los 35 metros. Probando otros 30 de ellos, hemos recogido las siguientes distancias: 40, 37.2, 34.4, 33.5, 35.3, 36.8, 27.2, 28.4, 29, 31.5, 30, 38.3, 41.2, 33.6, 39.4, 31.7, 30.3, 32.5, 32, 34.2, 29.7, 31.3, 37.6, 36.4, 32.4, 30.7, 28.2, 33.3, 32.5, 35. Por último decidimos probar cuántos decibelios eran capaces de aislar del exterior los auriculares. Se nos aseguraba que estos aislaban de media hasta 30 decibelios. En nuestras pruebas con 30 de ellos conseguimos los siguientes resultados: 29, 29.1, 30.3, 28.8, 29.3, 28.3, 29.6, 30, 28.4, 30.5, 29.9, 29.4, 30.2, 30.4, 30.8, 28.1, 30.8, 29.8, 30.1, 30.3, 29.5, 29.7, 30, 30.1, 30.2, 29.8, 29.9, 30, 27.7, 30.6. Como nos han costado un pastizal, queremos asegurarnos de que no hemos sido estafados. Para ello vamos a realizar algunos análisis:
1. Nos han engañado en alguna de las informaciones que se nos han ofrecido? Como también los precios de los productos han sido diferentes, utilizaremos un diferente intervalo de confianza para cada uno: Para los portátiles un 50%, para los routers un 80% y para los auriculares un 70%
Primero vamos a proponer dos teorías: H0: mu1=mu2, H1: mu1!=mu2, que serán las mismas en los 3 casos. Para responder a la pregunta vamos a usar la función que tenemos disponible: t.test. Para ello, introduciremos los valores que nos pide la función:
Primer test: Portátiles: \(p=c(47, 46.5, 52, 41.5, 43, 44, 49, 42.5, 45, 43.5, 40, 45.5, 47.5, 39, 50, 48.5, 48, 46, 45.5, 44.5, 43.5, 48, 46.5, 45, 43, 42, 40.5, 44.5, 42.5, 48.5)\) \(t.test(p,mu=45,conf.level=0.5)\)
p=c(47, 46.5, 52, 41.5, 43, 44, 49, 42.5, 45, 43.5, 40, 45.5, 47.5, 39, 50, 48.5, 48, 46, 45.5, 44.5, 43.5, 48, 46.5, 45, 43, 42, 40.5, 44.5, 42.5, 48.5)
t.test(p,mu=45,conf.level=0.5)##
## One Sample t-test
##
## data: p
## t = 0.14754, df = 29, p-value = 0.8837
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 45
## 50 percent confidence interval:
## 44.69754 45.46913
## sample estimates:
## mean of x
## 45.08333Como nosotros tomamos un alpha=0.5 y tenemos que p.value=0.8837, podemos decir que no rechazaremos la teoría H0 que dice que la media de las muestras y la media indicada son iguales, ya que el p.value>alpha.
Segundo test: routers: \(r=c(40, 37.2, 34.4, 33.5, 35.3, 36.8, 27.2, 28.4, 29, 31.5, 30, 38.3, 41.2, 33.6, 39.4, 31.7, 30.3, 32.5, 32, 34.2, 29.7, 31.3, 37.6, 36.4, 32.4, 30.7, 28.2, 33.3, 32.5, 35)\) \(t.test(r,mu=35,conf.level=0.8)\)
r=c(40, 37.2, 34.4, 33.5, 35.3, 36.8, 27.2, 28.4, 29, 31.5, 30, 38.3, 41.2, 33.6, 39.4, 31.7, 30.3, 32.5, 32, 34.2, 29.7, 31.3, 37.6, 36.4, 32.4, 30.7, 28.2, 33.3, 32.5, 35)
t.test(r,mu=35,conf.level=0.8) ##
## One Sample t-test
##
## data: r
## t = -2.3032, df = 29, p-value = 0.02863
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 35
## 80 percent confidence interval:
## 32.57268 34.33398
## sample estimates:
## mean of x
## 33.45333Como nosotros tomamos un alpha =0.2 y vemos que el valor de p-value=0.02, podemos afirmar que rechazaremos la teoría H0, ya que el p.value<alpha.
Tercer test: Auriculares: \(a=c(29, 29.1, 30.3, 28.8, 29.3, 28.3, 29.6, 30, 28.4, 30.5, 29.9, 29.4, 30.2, 30.4, 30.8, 28.1, 30.8, 29.8, 30.1, 30.3, 29.5, 29.7, 30, 30.1, 30.2, 29.8, 29.9, 30, 27.7, 30.6)\) \(t.test(a,mu=30, conf.level=0.7)\)
a=c(29, 29.1, 30.3, 28.8, 29.3, 28.3, 29.6, 30, 28.4, 30.5, 29.9, 29.4, 30.2, 30.4, 30.8, 28.1, 30.8, 29.8, 30.1, 30.3, 29.5, 29.7, 30, 30.1, 30.2, 29.8, 29.9, 30, 27.7, 30.6)
t.test(a,mu=30, conf.level=0.7)##
## One Sample t-test
##
## data: a
## t = -2.1525, df = 29, p-value = 0.03981
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 30
## 70 percent confidence interval:
## 29.53305 29.84028
## sample estimates:
## mean of x
## 29.68667Como podemos observar, aquí tomamos un alpha=0.3, y tenemos que p.value=0.03981. Dados estos valores podemos afirmar que rechazaremos la teoría H0, ya que el p.value<alpha.
2. Hasta que porcentaje podríamos disminuir cada uno de los intervalos de confianza para poder afirmar que las diferencias entre medias de productos se deben al azar?
Para responder esta pregunta tengamos en cuenta que siempre buscamos ver si p.value>alpha, y que alpha=1-intervalo de confianza. En ese caso, sustituyendo tendríamos que, lo que buscamos es que p.value>1-intervalo de confianza. Despejando el intervalo de confianza que es lo que buscaremos, tenemos que: intervalo de confianza>1-p.value. Para eso tomamos los valores de p.value obtenidos en el ejercicio anterior:
p.value de los portátiles:
t.test(p,mu=45)$p.value## [1] 0.8837256Observamos que en este caso sería: Intervalo de confianza>1-0.8837256=Intervalo de confianza>0.1162744. Comprobamos:
t.test(p,mu=45,conf.level=0.1162744)##
## One Sample t-test
##
## data: p
## t = 0.14754, df = 29, p-value = 0.8837
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 45
## 11.62744 percent confidence interval:
## 45.00000 45.16667
## sample estimates:
## mean of x
## 45.08333p.value de los routers:
t.test(r,mu=35)$p.value## [1] 0.02863036Observamos que en este caso sería: Intervalo de confianza>1-0.02863036=Intervalo de confianza>0.97136964. Comprobamos:
t.test(r,mu=35,conf.level=0.97136964)##
## One Sample t-test
##
## data: r
## t = -2.3032, df = 29, p-value = 0.02863
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 35
## 97.13696 percent confidence interval:
## 31.90667 35.00000
## sample estimates:
## mean of x
## 33.45333
p.value de los auriculares:
t.test(a,mu=30)$p.value## [1] 0.03981107Observamos que en este caso sería: Intervalo de confianza>1-0.03981107=Intervalo de confianza>0.96018893. Comprobamos:
t.test(a,mu=30,conf.level=0.96018893)##
## One Sample t-test
##
## data: a
## t = -2.1525, df = 29, p-value = 0.03981
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 30
## 96.01889 percent confidence interval:
## 29.37333 30.00000
## sample estimates:
## mean of x
## 29.686673. Como lo más costoso han sido los portátiles centrémonos en ellos. Cual es el valor del estadístico test para estos en las pruebas que hemos realizado?
Para sacar el estadístico test tenemos a disposición dos formas de sacarlo:
t.test(p,mu=45)$statistic## t
## 0.1475415o
(mean(p)-45)/(sd(p)/sqrt(length(p)))## [1] 0.1475415Podemos comprobar por nosotros mismos que los resultados de ambos cálculos son iguales.
4. Al igual que en el apartado anterior, centrémonos en los portatiles. De qué otra forma podríamos sacar el p.value para asegurarnos de que el anterior resultado era correcto?
Primero veamos el valor a obtener del p.value:
t.test(p,mu=45)$p.value## [1] 0.8837256Ahora, para sacar el mismo valor, haremos uso del valor estadístico test:
ts=(mean(p)-45)/(sd(p)/sqrt(length(p)))
2*(1-pt(ts,29))## [1] 0.8837256Como H1 comprueba que mu1!=mu2, es bilateral, por lo cual se multiplica por 2. Como podemos comprobar, los resultados del p.value son iguales con ambas formulas.
Un asesino en serie de la UCLM trabaja para una empresa que le exige una serie de asesinatos por año en la universidad a base de exámenes, la media de lo que tardan en morirse son de 4000 segundos tras realizar tremendo exámen. Para ello se toma una muestra de 33 estudiantes y se mide cuanto van a tardar en morir por los exámenes, cuya media es 3750 segundos. Sabemos que la desviación es 250 segundos.
a) ¿Puede afirmar el asesino que duran una media de 4000 segundos?
Hipótesis nula H0 : μ = 4000 Hipótesis alternativa H1 : μ ≠ 4000
Nivel de significación α = 0.05 (95%) Tamaño muestral n = 33
Zα/2 = 0.05/2 = 0.025 qnorm(1-α/2) = qnorm(1-0.025) = 1.96 Determinamos una región crítica entre -1.96 y 1.96 (es bilateral)
Calculamos el valor estadistico para la muestra
Zs = x_barra - mean(x) / sd(x)/sqrt(n)
Zs = (3750 - 4000)/(250/sqrt(33))
(3750 - 4000)/(250/sqrt(33))## [1] -5.744563Conclusiones -> Como Zs < -Zα/2 se rechaza la hipótesis nula.
-> Por lo tanto no podemos asegurar que la media es de 4000 segundos.
b) ¿Cuánto vale el p-valor? ¿Qué pasaría si quisieramos asegurar que la media sea mayor de 4000?
x_barra = 3750
mu = 4000
sd = 250
n = 33
t = (x_barra-mu)/(sd/sqrt(n))
2*(1-pt(abs(t), n-1))## [1] 2.276714e-06t = (3750-4000)/(250/sqrt(33))
pvalor= (1-pt(abs(t),32))
(1-pt(abs(t),32))## [1] 1.138357e-06H0: μ <= 4000
H1: μ > 4000
1.138357e-06 < α
-> En este caso se rechazaría la hipótesis nula. No podemos asegurar que las medias sean mayores de 4000.
c) Ahora nos dan diferentes tiempos de muestras tomadas por dos profesores que matan con sus exámenes, se desea saber si hay evidencia suficiente para afirmar que la variabilidad en los tiempos de muerte de los alumnos es significativamente diferente de la del otro.
Calculamos las desviaciones, calculamos var.test y comprobamos con la fórmula
PA= c(3990.20, 4000.10, 3995.30, 3985.25, 4000.15)
PB= c(4000.35, 4001.40, 4003.60, 4004.70, 4005.80)
sd(PA)## [1] 6.471572sd(PB)## [1] 2.265392var.test(PA,PB)##
## F test to compare two variances
##
## data: PA and PB
## F = 8.1608, num df = 4, denom df = 4, p-value = 0.06629
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
## 0.8496829 78.3806931
## sample estimates:
## ratio of variances
## 8.160805(sd(PA)^2)/(sd(PB)^2)## [1] 8.160805fs=(sd(PA)^2)/(sd(PB)^2)
pf(fs,4,4)## [1] 0.9668533p_valor = 2*(1-pf(fs,4,4))
2*(1-pf(fs,4,4))## [1] 0.06629331-> Al 95% no existe evidencia estadistica en contra de que sean iguales las varianzas.
d) Si queremos estudiar si los dos profesores tienen tiempos similares hasta que asesinan a los alumnos:
PA= c(3990.20, 4000.10, 3995.30, 3985.25, 4000.15)
PB= c(4000.35, 4001.40, 4003.60, 4004.70, 4005.80)
wilcox.test(PA,PB)##
## Wilcoxon rank sum exact test
##
## data: PA and PB
## W = 0, p-value = 0.007937
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0Existe evidencia estadistica de que las medianas no son iguales
Enlace a video con la explicación de la segunda parte del trabajo: Video con explicaciones