\(\qquad\) Un equipo de fútbol, ha hecho un estudio de sus jugadores. El 30% de sus jugadores no han obtenido ninguna tarjeta esta temporada, mientras que el 50% ha recibido tarjetas amarillas y el 20% restante, tarjetas rojas. De los que no han recibido tarjetas, el 95% asiste a los entrenamientos, de los que tienen tarjeta amarilla, el 60% no asiste a los entrenamientos, y de los que han sido sancionados con tarjeta roja, el 6% asiste a los entrenamientos.
Probabilidad de que no haya sido sancionado y no asista a los
entrenamientos.
\(P(N \cap Ã)= P(N)*P(Ã) = 0.3*0.05 =
0.015\)
Probabilidad de que haya obtenido tarjeta amarilla y no asista a
los entrenamientos o con tarjeta roja y si asista a los entrenamientos
\(P(AM \cap Ã) \cup P(R \cap A) = [P(AM)*P(Ã)] +
[P(R)*P(A)] = (0.5*0.6) + (0.2*0.06) = 0.312\)
Probabilidad de que no asista a los entrenamientos.
\(P(Ã) = [P(N)*P(Ã)]
+ [P(AM)*P(Ã)] + [P(R)*P(Ã)] = (0.3*0.05) + (0.5*0.6) + (0.2*0.94) =
0.503\)
Si asiste a los entrenamientos, la probabilidad de que haya sido
sancionado con tarjeta amarilla.
Primero calculamos \(P(A)\):
\(P(A) = 1-P(Ã) = 1-0.503
= 0.497\)
\(P(AM/A) = \frac{P(AM \cap A)}{P(A)} =
\frac{P(AM)*P(A)}{P(A)} = \frac{0.5*0.4}{0.497} = 0.402\)
\(\qquad\) En una fábrica de
bombillas, se eligen al azar paquetes de cinco bombillas para realizar
una inspección de calidad. La variable aleatoria X representa el número
de bombillas que funcionan correctamente en un paquete.
Conociendo
las siguientes probabilidades asociadas:
P(X=0)=0.05
P(X=1)=0.05
P(X=2)=0.1
P(X=3)=0.1
P(X=4)=0.3
P(X=5)=0.4
Halla la media del número de bombillas que funcionan
correctamente.
\(μ = 0*P(X=0) + 1*P(X=1) + 2*P(X=2) + 3*P(X=3) +
4*P(X=4) + 4*P(X=4) + 4*P(X=4) =\)
\((0*0,0.5) + (1*0,05) + (2*0,1) + (3*0,1) + (4*0,3)
+ (5*0,4) = 3,75\)
Halla la probabilidad de que haya al menos una bombilla
funcional.
\(P(X>=1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0.05 = 0.95\)
Sabiendo que al menos una de las bombillas esta defectuosa, halla
la probabilidad de que más de dos funcionen correctamente.
\(P(X>2/X<5)=\frac{P(2<X<5)}{P(X<5)}=\frac{P(X=3)+P(X=4)}{1-
P(X=5)}=\frac{0.1 + 0.3}{1 - 0.4}=
\frac{0.4}{0.6}=0.66666\)
Halla la varianza y desviación típica de X.
\(σ^2 =(0^2*0,05 +
1^2*0,05 + 2^2*0,1 + 3^2*0,1 + 4^2*0,3 + 5^2*0,4) - (3,75)^2=
2,0875\)
\(σ=√σ^2=√2,0875=
1,4448\)
\(\qquad\) En un estudio realizado por la Universidad de Michigan, se comprobó que aproximadamente, solo el 2% de la población tiene el pelo rubio de manera natural, y solo el 1% pelirrojo. Conociendo estos datos, un grupo de estudiantes quiere saber cual será la probabilidad de que se den los siguientes sucesos si miramos el color del pelo de 8 personas seleccionadas de manera aleatoria entre los estudiantes de su universidad:
(Nota: El color de pelo de las personas escogidas en la muestra es independiente en cada uno de ellos.)
Probabilidad de que haya exactamente una persona pelirroja.
\(P(X=1) =
dbinom(1,8,0.01) = 0.07456523\)
Probabilidad de que, como mucho, haya una persona pelirroja.
\(P(X<=1) = P(X=0) + P(X=1) = pbinom(1,8,0.01) =
0.9973099\)
Probabilidad de que al menos una de las personas sea rubia
natural.
\(P(X>=1) = P(X=1) + P(X=2) + ... + P(X=8) = 1 -
P(X=0) = 1 - dbinom(0,8,0.02) = 1 - 0.850763 = 0.149237\)
Probabilidad de que haya a lo sumo dos personas rubias.
\(P(X<=2) =
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = pbinom(2,8,0.02) = 0.9995845\)
\(\qquad\) Una empresa de mensajería y paquetería dispone de una máquina automatizada que se encarga de clasificar los paquetes según la dirección del destinatario. El número de paquetes que clasifica dicha máquina sigue una distribución de Poisson, con una media de 850 paquetes cada hora.
¿Cuál es la probabilidad de que la máquina clasifique más de 790
paquetes por hora?
\(P(X>790)=1-ppois(790,850)=0.9802806\)
Cuantil del 80 % del número de paquetes clasificados en una hora.
\(P(X<P_{80}) = qpois(0.8,850) = 874\)
Se han tomado 600 paquetes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de
que la media sea menor que 848?
\(P(\bar{X}<848)=
pnorm(848,850,(sqrt(850)/sqrt(600)))=0.04644597\)
Si sabemos que en una hora la máquina ha clasificado al menos 820
paquetes, ¿cuál es la probabilidad de que clasifique 860?
\(P(X=860/X>=820)=\frac{P(X>=820) \cup
P(X=860)}{(X>=820)}=\frac{P(X=860)}{1-
P(X>=820)}=\frac{dpois(860,850)}{1 - ppois(819,850)}\)
\(=(dpois(860,850))/(1 -
ppois(819,850))=0.01504988\)
\(\qquad\) En un canal de experimentos, se hicieron la siguiente pregunta : ¿Puede una persona promedio aguantar un minuto bajo el agua? Para averiguarlo, llamaron a 50 personas al azar y se les pidió que se sumergieran en agua para medir cuanto tiempo resistían. Los resultados mostraron que, en promedio, las personas lograron aguantar durante 52 segundos, con una desviación típica muestral de 15 segundos.
¿Cuál es la hipótesis nula y la hipótesis alternativa en este
estudio?
\(H_0:\mu\ = 60\)
\(H1 : \mu\ \neq
60\)
Calcula el p-valor del contraste anterior.
\(\quad\)Para
calcular el p-valor, hallaremos primero el valor estadístico de
contraste \(Z_s\):
\(Z_s =
\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt n}= \frac{60-52}{15/\sqrt{50}} =
-3.771236\)
\(\quad\)Tras calcular el \(Z_s\) , podemos hallar:
\(P valor =
2\times( 1-pnorm(abs(Z_s))) = 2*(
1-pnorm(abs(-3.771236)))=0.0001624408\)
Conociendo los datos anterior ¿Podemos afirmar la hipótesis?
Como \(P
valor < \alpha\) (Sabiendo que \(\alpha\) por defecto es
0.05)
Podemos afirmar que
existe evidencia estadística en contra de \(H_0\)
¿Crees que existe evidencia estadística de que la varianza de la
población es mayor de 225?
\(H_0:\sigma_0^2\le225\)
\(H_1:\sigma_0^2>225\)
\(\qquad\)En este caso, necesitamos
calcular:
\(\quad\)\(X_s=\frac{\left(n-1\right)s^2}{\sigma_0^2} =
\frac{\left(50-1\right){15}^2}{225}= 49\)
\(\qquad\)Después
hallaremos:
\(\quad\)\(P valor
= 1 -pchisq(X_s,n-1)= 1 -pchisq(49,49)=
0.4731283\)
\(\qquad\)Como el
\(Pvalor\) obtenido es mayor a \(\alpha\), no existe evidencia estadística
que rechace \(H_0\).
\(\quad\)Y por tanto no podemos afirmar que
la varianza es mayor de 225.
\(\qquad\)En un hospital se ha llevado a cabo un estudio sobre el desarrollo de los bebes prematuros. Para ello, se ha registrado el aumento de peso de 65 bebes prematuros en los 3 primeros meses de vida y el de 65 bebes que han completado su gestación completa. Las medias obtenidas en cada una de las muestras fueron: \(μ_1\)=2.8 kg en lo bebés prematuros, y \(μ_2\)=3.9 kg en los bebes normales. Las desviaciones típicas de cada una de estas muestras fueron de 0,3 kg y 0,5 kg para las respectivas muestras.
\(\qquad\) (NOTA: Para todos los apartados tomaremos \(α=0.05\) como nivel de significación por defecto)
Plantea un contraste para saber si la media del aumento de peso
de los bebes prematuros es de 3 kilogramos.
\(H_0: μ_0=3 kg\)
\(H_1: μ_0≠3 kg\)
Indica el p-valor del contraste anterior y razona si esa puede
ser la media de la muestra.
\(\quad\) Primero, como la muestra es mayor
que 30, calculamos \(Z_s\):
\(Z_s=\frac{μ_1-μ_0}{s_1/\sqrt{n_1}}=
\frac{2.8-3}{0.3/\sqrt{65}} = -5.374838\)
\(\quad\) Una
vez tenemos \(Z_s\) podemos calcular el
P-valor:
\(P valor=2\times(1-pnorm(abs(Z_s))=
2\times(1-pnorm(abs(-5.374838))=2\times(1-pnorm(5.374838)) =
0.00000007665\)
\(\quad\) Como el
P-valor obtenido es 0.00000007665, que es inferior a \(α=0.05\), rechazamos \(H_0\) y podemos afirmar que existe
evidencia estadística de que la media del aumento de peso de los bebes
prematuros no es de 3kg.
Los datos obtenidos, ¿nos permiten saber si las medias del
aumento de peso de los bebes prematuros y de los bebes normales es la
misma?
\(\quad\) Lo primero de todo es plantear el
contraste para saber si la medias son iguales:
\(H_0: μ_1 = μ_2\)
\(H_1: μ_1 \ne μ_2\)
\(\quad\) Como
ambas muestras son consideradas grandes ya que son mayores que 30,
siguen una distribución normal, asi que lo primero que haremos sera
calcular \(Z_s\):
\(Z_s=\frac{μ_1-μ_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}
+\frac{s_2^2}{n_2}}}= \frac{2.8-3.9}{\sqrt{\frac{0.3^2}{65}
+\frac{0.5^2}{65}}}= -15.20932\)
\(\quad\) Una vez
tenemos \(Z_s\) podemos calcular el
P-valor:
\(P valor=2\times(1-pnorm(abs(Z_s)) =
2\times(1-pnorm(abs(-15.20932)) = 2\times(1-pnorm(15.20932)) \approx
0\)
\(\quad\) Como el P-valor obtenido es 0
aproximadamente, que es inferior a \(α=0.05\), rechazamos \(H_0\), lo que nos lleva a la conclusión de
que existe evidencia estadística de que las medias no son iguales.
¿Podríamos saber si la media de aumento de peso de los bebes
prematuros es menor que la de los bebes normales?
\(\quad\) Vamos a
plantear el contraste para saber si la media del aumento de peso de los
bebes prematuros es menor que la de los bebes normales:
\(H_0: μ_1 \ge
μ_2\)
\(H_1: μ_1 < μ_2\)
\(\quad\)
Como tenemos los mismos datos que en el apartado anterior, ya podemos
adelantar que nuestro \(Z_s\) es el
mismo que antes, es decir:
\(Z_s= -15.20932\)
\(\quad\) Sin embargo, ahora estamos mirando
si una media es menor que la otra, por lo tanto, la distribucion ahora
es unilateral y, en consecuencia, el P-valor se calcula:
\(Pvalor
=pnorm(Z_s) =pnorm(-15.20932) \approx 1.533474e-52 \approx 0\)
\(\quad\) Como el P-valor obtenido es
aproximadamente 0, que es menor que \(α=0.05\), podemos afirmar que existe
evidencia estadística que rechaza \(H_0\) y por lo tanto, que la media de la
primera muestra sea menor que la segunda no es debido al azar.
\(\quad\) Además, sabemos que la región
crítica son todos los valores a la izquierda de:
\(qnorm(α)=qnorm(0.05)= -1.644854\)
\(\quad\) Por lo que, sabiendo que \(Z_s\) es menor, se encuentra en la región
crítica, lo que nos permite volver a comprobar la validez de nuestra
afirmación.
\(\qquad\) Si da error al
hacer click, copia y pega en el buscador y funciona:
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