Dos sucesos cumplen que \(P(A^c)=0.2\), \(P(B)=0.6\), \(P(A \cup B)=0.92\).
Sabiendo que \(P(A^c)=0.2\), \(P(A)=0.8\) al haber hecho la operación 1-0.2.
Para poder calcular la intersección debemos tener en cuenta que: \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\), conocemos \(P(A)=0.8\), \(P(B)=0.6\), y \(P(A\cup B)=0.92\), calculamos y obtenemos: \(P(A\cap B)=0.8+0.6-0.92=0.48\)
\(P(A / B^c)=\frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}\). Sabemos que \(P(A\cap B^c)= P(A)-P(A\cap B)\), esto es: 0.8-0.48= 0.32. Ahora sí podemos calcular: \(P(A / B^c)=\frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}=0.32 / (1-0.6) = 0.32 /0.4 = 0.8\)
\(P(B^c / A^c)=\frac{P(B^c \cap A^c)}{P(A^c)}\). Sabemos que \(P(B^c\cap A^c)= 1-P(A\cup B)\), esto es: 1-0.92= 0.08 Ahora sí podemos calcular: \(P(B^c / A^c)=\frac{P(B^c \cap A^c)}{P(A^c)}= 0.08 / 0.2 = 0.4\)
En una clase de programación varios alumnos han desarrollado un programa y lo han ejecutado muchas veces. Los alumnos han escogido 5 de estas ejecuciones para comprobar si el programa falla en la ejecución o no.
Siendo X una variable aleatoria discreta que es el número de ejecuciones fallidas con los valores posibles x = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Sabiendo que:
\(P(X=0)=0.8\) , \(P(X=1)=0.1\) , \(P(X=2)=0.04\) , \(P(X=3)=0.03\) , \(P(X=4)=0.02\) , \(P(X=5)=0.01\)
Cuestiones:
MEDIA: \(0 *P(X = 0) + 1 * P( X = 1 ) + 2* P(X = 2)+3* P(X=3)+4*P(X=4)+5*P(X=5)\)
sum(0*0.8,1*0.1,2*0.04,3*0.03,4*0.02,5*0.01)## [1] 0.4VARIANZA: \((0^2 *P(X = 0) + 1^2 * P( X = 1 ) + 2^2 * P(X = 2)+3^2 * P(X=3)+4^2 *P(X=4)+5^2 *P(X=5))* 0.4^2\)
sum(0^2*0.8,1^2*0.1,2^2*0.04,3^2*0.03,4^2*0.02,5^2*0.01)*sum(0*0.8,1*0.1,2*0.04,3*0.03,4*0.02,5*0.01)^2## [1] 0.176\(P(X\geq 2)=1 - (P(X=0) + P(X=1))\)
1-sum(0.8,0.1)## [1] 0.1Otra opción es sumar todas las probabilidades mayores o iguales que X=2.
\(P(X\geq 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)\)
sum(0.04,0.03,0.02,0.01)## [1] 0.1\(P(X\leq 2)= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\)
sum(0.8,0.1, 0.04)## [1] 0.94\(P(X\geq 4/X>1)=\frac{P(X\geq4)}{P(X>1)}\)
sum(0.02,0.01) / sum(0.04,0.03,0.02,0.01)## [1] 0.3Jorge acaba de abrir una cafetería cerca del parque Abelardo de Albacete y ofrece, aparte de cafés, tés e infusiones, unas hamburguesas especiales llamadas “Brutal Burguers”.La probabilidad de que exactamente a un cliente nuevo le guste la Brutal Burguer es de 0.8. Si vienen 3 nuevos clientes a su cafetería, queremos calcular las siguientes probaibilidades:
¿P(x=2)?
Como dbninom(a,b,c) devuelve la probabilidad P(x=a), es decir, que una variable aleatoria X con distribución binomial(b=3, c=0.8) tome el valor a(en este caso 2)
dbinom(2,3,0.8) ## [1] 0.384¿P(x>1)? Como pbinom(a,b,c) devuelve la probabilidad P(x<=a) y nos interesa saber la probabilidad de los valores que son mayores que 1, pues le restamos a 1(100% de probabilidad) la probabilidad de los valores sean menores o iguales a 1:
1 - pbinom(1,3,0.8)## [1] 0.896¿P(x<3)?
Como pbinom(a,b,c) devuelve la probabilidad P(x<=a) y nos interesa saber la probabilidad de los valores que son menores que 3, pues cogemos la probabilidad de que los valores sean menores o iguales a 2:
pbinom(2,3,0.8)## [1] 0.488¿P(x=1)?
Como dbninom(a,b,c) devuelve la probabilidad P(x=a), es decir, que una variable aleatoria X con distribución binomial(b=3, c=0.8) tome el valor a(en este caso 1)
dbinom(1,3,0.8)## [1] 0.096Enlace al video explicando y resolviendo los ejercicios del trabajo 1: Video Trabajo 1 ———————————————————————— #Inicio del trabajo 2:
Se ha creado una base de datos que recoge información acerca de las
ventas de teléfonos inteligentes o smartphones llamada
Smartphones, en ella vienen reflejadas algunas marcas y sus
distintos dispositivos vendidos, el tamaño de cada dispositivo, su
batería en mAH, su tiempo de carga, la calificación del usuario sobre 5
estrellas tras su uso y su precio de venta al público.
Aquí tenemos un resumen con los datos para que la realización del ejercicio sea lo más visual y gráfica posible, también se ha añadido una vista de toda la base de datos:
library(readxl)## Warning: package 'readxl' was built under R version 4.3.3Smartphones <- read_excel("Smartphones.xlsx")
View(Smartphones)
summary(Smartphones)## Marca Batería TiempodeCarga Calificación
## Min. :1.00 Min. :3700 Min. : 85.0 Min. :1.00
## 1st Qu.:2.00 1st Qu.:4025 1st Qu.:100.0 1st Qu.:3.00
## Median :3.00 Median :4300 Median :110.0 Median :4.00
## Mean :2.84 Mean :4338 Mean :112.8 Mean :3.72
## 3rd Qu.:4.00 3rd Qu.:4600 3rd Qu.:123.8 3rd Qu.:5.00
## Max. :5.00 Max. :5000 Max. :150.0 Max. :5.00
## Pulgadas Precio
## Length:50 Min. : 690.0
## Class :character 1st Qu.: 842.5
## Mode :character Median : 915.0
## Mean : 914.4
## 3rd Qu.: 980.0
## Max. :1150.0t.test(Smartphones$TiempodeCarga[(Smartphones$Marca==1)],Smartphones$TiempodeCarga[(Smartphones$Marca==3)],var.equal = FALSE, conf.level = .97)##
## Welch Two Sample t-test
##
## data: Smartphones$TiempodeCarga[(Smartphones$Marca == 1)] and Smartphones$TiempodeCarga[(Smartphones$Marca == 3)]
## t = -0.087437, df = 17.866, p-value = 0.9313
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 97 percent confidence interval:
## -12.71105 11.80196
## sample estimates:
## mean of x mean of y
## 115.0000 115.4545t.test(Smartphones$Precio[(Smartphones$Marca==4)],var.equal = FALSE, conf.level = .90)##
## One Sample t-test
##
## data: Smartphones$Precio[(Smartphones$Marca == 4)]
## t = 17.234, df = 8, p-value = 1.308e-07
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 90 percent confidence interval:
## 789.0143 979.8746
## sample estimates:
## mean of x
## 884.44443.Halla la media de la capacidad de la batería (mAH) de los smartphones correspondientes a la marca “2” con un nivel de confianza del 98%.
t.test(Smartphones$Batería[(Smartphones$Marca==2)],var.equal = FALSE, conf.level = .98)##
## One Sample t-test
##
## data: Smartphones$Batería[(Smartphones$Marca == 2)]
## t = 35.897, df = 10, p-value = 6.686e-12
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 98 percent confidence interval:
## 4027.672 4699.600
## sample estimates:
## mean of x
## 4363.6364.Halla el intervalo de confianza al 85% para las diferencias de calificacion (máximo 5 estrellas) de las marcas “3” y “5”.
t.test(Smartphones$Calificación[(Smartphones$Marca==3)],Smartphones$Calificación[(Smartphones$Marca==5)],var.equal = FALSE, conf.level = .85)##
## Welch Two Sample t-test
##
## data: Smartphones$Calificación[(Smartphones$Marca == 3)] and Smartphones$Calificación[(Smartphones$Marca == 5)]
## t = -0.94841, df = 15.837, p-value = 0.3572
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 85 percent confidence interval:
## -1.3270957 0.3043684
## sample estimates:
## mean of x mean of y
## 3.363636 3.875000Dos empresas producen un tipo de fibra óptica para la industria de las telecomunicaciones. Este material se someterá a condiciones extremas de transmisión de datos, por lo que es crucial comparar la capacidad de transmisión de datos del material producido por cada empresa.
Se toman 45 muestras de material de cada empresa y se someten a una prueba de transmisión de datos, donde se mide la tasa de transmisión en Gigabits por segundo (Gbps) después de transmitir datos durante 24 horas.
Para la Empresa I, la media y la desviación estándar muestral de la tasa de transmisión son x1= 40 Gbps y s1= 5 Gbps, mientras que para la Empresa J, son x2= 45 Gbps y s2= 6 Gbps. Se sabe por estudios anteriores que la distribución de la tasa de transmisión sigue una distribución aproximadamente normal.
1.¿Existe una diferencia significativa en las medias de las tasas de transmisión de las dos empresas?
2.¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las medias de las tasas de transmisión de las dos empresas?
3.¿Cuál es el intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre las medias de las tasas de transmisión de las dos empresas, asumiendo que las desviaciones estándar son iguales?
4.¿Las dos empresas producen material con la misma tasa promedio de transmisión de datos? Utiliza un nivel de significancia de 0.05.
x1 <- 40; #media Empresa I s1 <- 5; #desviacion estandar Empresa I n1 <- 45 #muestras Empresa I x2 <- 45; #media Empresa J s2 <- 6; #desviacion estandar Empresa J n2 <- 45 #muestras Empresa J
t.test(x = rnorm(n1, mean = x1, sd = s1), y = rnorm(n2, mean = x2, sd = s2), alternative = “two.sided”) # Ejercicio 2 t.test(x = rnorm(n1, mean = x1, sd = s1), y = rnorm(n2, mean = x2, sd = s2), conf.level = 0.95)\(conf.int # Ejercicio 3 t.test(x = rnorm(n1, mean = x1, sd = s1), y = rnorm(n2, mean = x2, sd = s2), var.equal = TRUE, conf.level = 0.99)\)conf.int # Ejercicio 4 t.test(x = rnorm(n1, mean = x1, sd = s1), y = rnorm(n2, mean = x2, sd = s2), alternativ-e = “two.sided”, conf.level = 0.95)
El departamento de programación de la ESII afirma que el tiempo promedio que sus alumnos tardan en completar un trabajo de la asignatura de programación es de 20 horas. Para verificar esta afirmación, se selecciona una muestra aleatoria de 28 trabajos y se registra el tiempo que tardan los alumnos en completarlos. La media de tiempo de la muestra es de 22 horas, con una desviación estándar de 4 horas.
Para determinar si la afirmación del departamento de programación sigue siendo válida, planteamos el siguiente contraste:
H0: μ = 20 (el tiempo promedio es de 20 horas)
H1: μ ≠ 20 (el tiempo promedio no es de 20 horas)
Tomamos α = 0.05
# Datos para hacer el contraste
mediaMuestra = 22 #Tenemos que la media de horas de la muestra es 22
n = 28 # Número de elementos de la muestra
desviacionEstandar = 4
mediaHipotesis = 20
#Conocida la desviación estándar y sabiendo que n(muestra) < 30 usamos la siguiente expresión:
zs = (mediaMuestra-mediaHipotesis)/(desviacionEstandar/sqrt(n))
zs## [1] 2.645751# Estamos ante un test bilateral, siendo así que p-valor se calcula como tal y como sigue:
t=abs(zs)
p_valor = 2*(1-pnorm(t))
p_valor## [1] 0.008150972Como p-valor es menor que 0.05 (nivel de significación) podemos decir que se rechaza la hipótesis nula (H0). Por tanto, la afirmación del departamento de programación no sigue siendo válida, ya que no se puede asegurar que la media de horas empleadas para hacer el trabajo sea de 20 horas.
Enlace al video explicando y resolviendo los ejercicios del trabajo 2: Video Trabajo 2 ————————————————————————