Un creador de contenido tiene una torre con dos PCs, una de streaming y otra de gaming, el funcionamiento de la torre depende de que ambas PCs funcionen correctamente y la probabilidad de que falle el PC de streaming es de 0.6.
Para responder a las preguntas vamos a usar la siguiente notación:
¿Cuál es la probabilidad de que falle el PC de gaming dada la probabilidad de que lo haga el de streaming y sabiendo que la probabilidad de que ambos fallen es de 0.2?
Solución:
Sabemos que la probabilidad de que falle el PC de gaming utilizando el concepto de probabilidad condicionada y nos quedaría:
\(P(gaming / streaming)= \frac{P(gaming \hspace{0.05in} \cap \hspace{0.05in} streaming))}{P(straming)}=\frac{0.2}{0.6}=0.33\)
¿Cuál es la probabilidad de que la torre funcione correctamente?
Solución:
Para saber la probabilidad de que la torre funcione podemos partir de la probabilidad de que falle, en este caso basta con que uno de los PCs no funcione o lo que es lo mismo \(P(gaming \cup streaming)\), y nos queda:
\(P(torre) = P(streaming) + P(gaming) - P(streaming \cap gaming)=0.6 + 0.33 - 0.2 = 0.73\)
\(P(torre funcione) = 1 - P(torre) = 1 - 0.73 = 0.27\)
Si suponemos que los PCs funcionan de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de que ambos fallen?
Solución:
Cuando hablamos de sucesos independientes, sabemos que la probabilidad viene dada por \(P(A \cap B) = P(A) * P(B)\), entoces:
\(P(streaming\hspace{0.05in}\cap\hspace{0.05in}gaming)=P(streaming)*P(gaming)=0.6*0.33=0.198\)
Ahora vamos a suponer que la torre sólo necesita el correcto funcionamiento de uno de los dos PCs para funcionar y que la probabilidad de que falle el PC gaming sabiendo la del PC de streaming es 0.44 . ¿Cuál es la probabilidad de que la torre no funcione?.
Solución:
La probabilidad de que no funcione la torre nos quedaría así:
\(P(streaming\hspace{0.05in}\cap\hspace{0.05in}gaming)=P(gaming/streaming) * P(streaming)\)
\(P(streaming\hspace{0.05in}\cap\hspace{0.05in}gaming)=0.44 * 0.6 = 0.264\)
Supongamos que estamos estudiando el número de hijos que tiene una familia en Japón, donde X es el número de hijos de una familia con posibles valores de 1 a 6. La probabilidad de tener 1 hijo es de \(\frac{4}{15}\), 2 de \(\frac{4}{15}\), 3 de \(\frac{3}{15}\), 4 de \(\frac{2}{15}\), 5 de \(\frac{1}{15}\) y 6 de \(\frac{1}{15}\).
En este caso debemos calcular la probabilidad de tener menos de 3 hijos. Para ello calculamos:
\(P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\) 0.5333333
Calculamos para ello la probabilidad de que X sea mayor o igual que 3.
\(P(X\geq 3)=1-P(X<3)=1-\frac{8}{15}=\) 0.4666667
Calculamos para ello el valor esperado de X.
\(\mu_{x}=1*\frac{4}{15}+2*\frac{4}{15}+3*\frac{3}{15}+4*\frac{2}{15}+5*\frac{1}{15}+6*\frac{1}{15}=\) 2.6666667
Vamos a calcular la varianza.
\(\sigma_{x}^2=1^2*\frac{4}{15}+2^2*\frac{4}{15}+3^2*\frac{3}{15}+4^2*\frac{2}{15}+5^2*\frac{1}{15}+6^2*\frac{1}{15}-\) 2.6666667\(^2=\) 2.2222222
***
En un casino hay una ruleta donde se realizan apuestas, esta tiene los números del 0 al 36. A su vez, la tabla de apuestas tiene diferentes apartados para apostar como la mitad de los numeros, a la docena, pares e impares, etc…
Todos los calculos los haremos aplicando esta binomial: \(X\sim Bi(n,\frac{i}{37})\)
\(X\sim Bi(100,\frac{1}{37})\) Para un número
\(P(X=2)=\binom{100}{2}*(\frac{1}{37})^{2}*(\frac{36}{37})^{98}\)
\(dbinom(2,100,(1/37))=0.2466482\)
2.Probabilidad de que salga tres veces seguidas el número 7
\(X\sim Bi(3,\frac{1}{37})\) Para un número
\(P(X =
3)=\binom{3}{3}*(\frac{1}{37})^{3}*(\frac{36}{37})^{0}\)
\(dbinom(3,3,(1/37))=0.00001974217\)
\(X\sim
Bi(25,\frac{18}{37})\) Para la mitad
\(X\sim Bi(25,\frac{12}{37})\) Para una
docena
\(X\sim Bi(25,\frac{31}{37})\)
\(P(X\geq
23)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\)
\(1-P(X\leq
23)=1-(P(X=0)+P(X=1)+ ... +P(X=23))\)
\(P(X=0)=\binom{25}{0}*(\frac{31}{37})^{0}*(\frac{6}{37})^{25}\)
\(P(X=1)=\binom{25}{1}*(\frac{31}{37})^{1}*(\frac{6}{37})^{24}\)
\(P(X=23)=\binom{25}{23}*(\frac{31}{37})^{23}*(\frac{6}{37})^{2}\)
\(1-pbinom(23,25,(31/37))=0.07003516\)
\(X\sim
Bi(25,\frac{12}{37})\) Para una docena
\(X\sim Bi(25,\frac{24}{37})\) Union
entre pares y la docena
\(P(X =
30)=\binom{50}{30}*(\frac{24}{37})^{30}*(\frac{13}{37})^{20}\)
\(dbinom(30,50,(24/37))=0.08879904\)
Un equipo de baloncesto nos ha pedido que les saquemos una serie de estadisticas sobre su juego. Para ello hemos tomado la cantidad de canastas que hacen por partido. Después de tomar las suficientes muestras, ha salido una media de 97 puntos por partido. Y una desviación típica de 16.
En este caso debemos calcular la probabilidad de anotar más de 104 puntos. Para ello calculamos:
\(P(X>104)=1-P(x<104)=1-dnorm(104,97,16)= 0.9773417\)
Calculamos para ello la probabilidad de que X sea menor que 110 y mayor o igual que 80.
\(P(80\leq X<110)=P(X\leq 110)-P(X\leq 80)=pnorm(110,97,16)-pnorm(80,97,16)=0.6477432\)
Para ello calculamos.
\(P(x \leq 93 / x \geq 85 ) = \frac{P(85 \leq x \leq 93)}{P(x \geq 85)}=\frac{P(x \leq 93)-P(x \leq 85)}{1-P(x \leq 85)}\) \((pnorm(93,97,16)-pnorm(85,97,16))/(1-pnorm(85,97,16)) = 0.2258501\)
\(P(97-k \leq x \leq 97+k) = 0.8 \hspace{9cm}\) \(P(x \leq 97+k) - P(x \leq 97-k)= 0.8 \hspace{8cm}\) \(P(x \leq 97+k) - (1- P(x \leq 97+k)= 0.8 \hspace{8cm}\) \(2(P(x \leq 97+k)) - 1 = 0.8 \hspace{9cm}\) \(P(x \leq 97+k)=\frac{1.8}{2} \hspace{9cm}\) \(qnorm(0.9,97,16)=117.5048 \hspace{9cm}\) \(97+k=117.5048 \hspace{10cm}\) \(k=20.50483 \hspace{12cm}\) \((117.5,76.4) \hspace{11cm}\)
En los últimos meses hemos podido observar diversas huelgas de agricultores por nuestras calles. Queremos comprobar, si su sueldo es realmente inferior al del resto de la población española. Para ello, se ha obtenido de una muestra de 100 agricultores la media del salario durante el año pasado, siendo esta de 24.086 euros, con una desviación de 6000 euros. También se ha obtenido otra muestra de 100 trabajadores de diferentes oficios en España, y se ha obtenido una media de 25.540 euros, con una desviación de 8000 euros.
Se trata de un estudio con dos muestras independientes, ya que las variables no están relacionadas con un mismo sujeto. En este caso tenemos una muestra mayor a 30, por lo que se puede suponer normal y estudiarse con \(z_s\).
La hipótesis nula(\(H_0\)) es la afirmación que quiere ser comprobada, mientras que la hipótesis alternativa(\(H_1\)) es la opuesta a la hipótesis nula.
Nuestra \(H_0\) sería que el sueldo anual de un agricultor fuese menor o igual al de la media de la población española. La \(H_1\) sería que el sueldo anual de un agricultor fuese mayor a 25540.
\(H_0:\mu<=25540\) \(H_1:\mu>25540\)
Vamos a calcular el valor de estadístico test con \(z_s\).
\(z_s=\frac{\overline{x}_1-\overline{x}_2}{\sqrt{(\sigma_1^2/n_1)+(\sigma_2^2/n_2)}}=\frac{24086-25540}{\sqrt{(6000^2/100)+(8000^2/100)}}=\) -1.454
Ahora calcularemos el p-valor. En este caso es un test unilateral con p-valor a la derecha (debido al contraste del estudio), por lo que usaremos fórmula:
1-pnorm(abs(\(z_s\)), n-1) = 1-pnorm(abs(-1.454), 100-1) = 1
Como el p-valor>\(\alpha\) (por defecto se toma \(\alpha\)=0,5) podemos concluir que las diferencias son debidas al azar. No podemos rechazar \(H_0\), por lo que concluimos que un agricultor de media gana menos que la media de la población española, estando sus huelgas más que justificadas.
Tenemos a un desarrollador de software intentando decidir qué lenguaje de programación utilizar en su proyecto,se plantea elegir entre Java o Python, elegirá el que tenga menos tiempo de ejecución y para ello va probar una función en ambos lenguajes. Considerando que las poblaciones tienen distribución normal y sabiendo que son emparejadas(los datos están datos en milisegundos) se plantea lo siguiente:
1.Tomando muestras n=40 en cada población, hay alguna forma de probar la hipótesis de que ambos tienen el mismo tiempo medio de ejecución sabiendo que \(S_{d}\) es 0.0268, \(\overline{d}\) vale 0.1956?.
La hipótesis a probar es \(H_{0}:\mu_{d}=0\) frente a \(H_{1}:\mu_{d}\neq 0\)
El valor del estadístico de contraste es:
\(z_{s} = \frac{\overline{d}-d_{0}}{S_{d}/\sqrt{n}}\)
\(z_{s} = \frac{0.1956 - 0}{0.0268 * \sqrt(40)}\)
\(z\_{s} = 1.1539\)
\(z_{\alpha/2} = 1.96\)
\(P-Valor = 2*(1-pnorm(1-0.05/2)) = 0.3297\)
Como \(z_{s} < z_{\alpha/2}\)
entonces con un nivel de confianza del 95% aceptamos \(H_{0}\), por lo tanto no tenemos evidencia
de que un lenguaje sea mejor que el otro pues las diferencias que puedan
haber entre sus medias serían debidas al azar.
2. Si tenemos en cuenta un nivel de confianza del 99%,y esta vez tomamos mustras n=20, la media de éstas poblaciones podría ser mayor a 0.15?
La hipótesis a probar es \(H_{0}:\mu \leq 0.15\) frente a \(H_{1}:\mu > 0.15\)
El estadístico de contraste es:
\(t_{s} = \frac{\overline{d}-d_{0}}{S_{d}/\sqrt{n}}\)
\(t_{s} = \frac{0.1956 - 0.15}{0.0268 *\sqrt(20)}\)
\(t_{s} = 0.3805\)
\(P-Valor = 1-pt(0.3805,19) = 0.3539\)
Como \(P-Valor > \alpha\) entonces no rechazamos \(H_{0}\) y concluimos que no hay evidencia estadística en contra de \(H_{0}\), la media de éstas poblaciones puede ser mayor que 0.15 y las diferencias entre ellas serían debidas al azar.
Bibliografía