INGENIERÍA INFORMÁTICA - ESTADÍSTICA

Probabilidad

Se han dado a probar 3 videojuegos a un grupo de personas. El 43% de las personas ha querido probar el primer videojuego(V1), el 31% ha querido probar el segundo videojuego(V2) y el 26% ha querido probar el tercer videojuego(V3). Si se sabe que a un 90% les ha gustado el primer videojuego, a un 53% el segundo y a un 15% el tercero, halla la probabilidad de:

a)Que haya probado el primer videojuego V1 y le haya gustado.

\(P(V1 \cap G)=0.43*0.90=0.387\)

b)Que no le haya gustado el videojuego.

\(P(G^c)=P(V1 \cap G^c) + P(V2 \cap G^c) + P(V3 \cap G^c)\)

\(P(G^c)=0.43*0.10 + 0.31*0.47 + 0.26*0.85=0.4097\)

c)Que haya probado el segundo videojuego V2 y le haya gustado o que haya probado el tercer videojuego V3 y no le haya gustado

\(P(V2 \cap G) + P(V3 \cap G^c)=0.31*0.53 + 0.26*0.85 = 0.3853\)

d)Si le ha gustado el videojuego, que haya probado el tercer videojuego V3.

\(P(V3 / G)=\frac{P(V3\cap G)}{P(G)}\)

\(P(V3\cap G)=P(G / V3)*P(V3)=0.15*0.26 = 0.039\)

\(P(V3 / G)=\frac{P(V3\cap G)}{P(G)}=0.039/0.5903 = 0.066\)

Variable aleatoria normal

El tiempo de espera de atención al cliente en Yoigo sigue una distribución normal con media de 8 minutos y desviación estándar de 1.5 minutos.

Calcula la probabilidad de que el tiempo de espera sea menor de 6 minutos

\(P(X<6)\)=

pnorm(6,8,1.5)

## [1] 0.09121122

Calcula la probabilidad de que el tiempo de espera de un cliente esté entre 4 y 7 minutos.

\(P(4 \leq X\leq 7)\)=

pnorm(7,8,1.5) - pnorm(4,8,1.5)

## [1] 0.2486622

Calcula la probabilidad de que X sea igual a 8.

\(P(X=8)\)= 0

Es 0, porque al ser variable continua su área va a ser 0.

Calcula el cuartil del 10 %.

qnorm(0.1,8,1.5)

## [1] 6.077673

***

Estadística descriptiva

En la Universidad de Castilla - La Mancha, se realiza un estudio sobre el rendimiento de los estudiantes de segundo curso en tres asignaturas (Metodología, Concurrente y Estadística), se registraron las calificaciones obtenidas por un grupo de estudiantes. Los datos son los siguientes:

  Metodología = c(0.21, 8.91, 1.61, 2.73, 7.38, 7.15, 6.91, 9.73, 3.02, 9.87, 4.33, 1.87, 0.37, 0.62, 8.69, 6.02, 5.4, 7.91, 3.29, 1.94)
  Estadística = c(7.85, 8.35, 6.93, 0.27, 1.12, 3.98, 1.44, 0.42, 7.95, 2.61, 3.59, 3.55, 7.98, 5.86, 8.69, 0.52, 9.07, 5.0, 2.01, 7.09)
  Concurrente = c(3.91, 1.34, 9.17, 5.23, 7.36, 7.12, 7.48, 4.35, 6.27, 4.92, 3.24, 7.23, 0.47, 3.61, 0.16, 1.52, 6.13, 1.95, 6.35, 5.33)

Ordenar las notas de Metodología, Concurrente y Estadística.

sort(Metodología)

##  [1] 0.21 0.37 0.62 1.61 1.87 1.94 2.73 3.02 3.29 4.33 5.40 6.02 6.91 7.15 7.38
## [16] 7.91 8.69 8.91 9.73 9.87

sort(Estadística)

##  [1] 0.27 0.42 0.52 1.12 1.44 2.01 2.61 3.55 3.59 3.98 5.00 5.86 6.93 7.09 7.85
## [16] 7.95 7.98 8.35 8.69 9.07

sort(Concurrente)

##  [1] 0.16 0.47 1.34 1.52 1.95 3.24 3.61 3.91 4.35 4.92 5.23 5.33 6.13 6.27 6.35
## [16] 7.12 7.23 7.36 7.48 9.17

Calcular la mediana de las notas de Metodología, Concurrente y Estadística.

median(Metodología)

## [1] 4.865

median(Concurrente)

## [1] 5.075

median(Estadística)

## [1] 4.49

Hallar el 1º, 2º, 3º cuartil de las notas de Metodología y el percentil de 45 de las notas de Concurrente.

quantile(Metodología,0.25)

##    25% 
## 1.9225

quantile(Metodología,0.50)

##   50% 
## 4.865

quantile(Metodología,0.75)

##    75% 
## 7.5125

quantile(Concurrente,45/100)

##    45% 
## 4.6635

Construir un histograma para las asignaturas Metodología, Concurrente y Estadística.

hist(Metodología)

hist(Concurrente)

hist(Estadística)

Calcular el rango, la varianza y la desviación estándar para la asignatura Estadística.

#Rango
range(Estadística);

## [1] 0.27 9.07

max(Estadística)-min(Estadística)

## [1] 8.8

#varianza
var(Estadística)

## [1] 9.749288

#Desviación estandar
var(Estadística)^0.5

## [1] 3.122385

sd(Estadística)

## [1] 3.122385

Construir un diagrama de cajas para las asignaturas Metodología, Concurrente y Estadística.

boxplot(Metodología)

boxplot(Concurrente)

boxplot(Estadística)

Distribuciones de probabilidad

En una encuesta realizada a un grupo de 20 personas, se encontró que la probabilidad de que una persona prefiera el café sobre el té es de 0.8, y la probabilidad de que prefiera el té sobre el café es de 0.2. Supongamos que las preferencias son independientes.

¿Cuál es la probabilidad de que todas las personas prefieran el café?

P(X=20)=(20 20)*(0.8)^20*(0.2)^0=(20!/(20!*0!))*0.8^20= 0.0115292

dbinom(20,20,0.8)

## [1] 0.01152922

¿Cuál es la probabilidad de que todas las personas prefieran el té?

P(X=0)=(20 0)*(0.8)^0*(0.2)^20=0.2^20= 0.0000001048576

dbinom(0,20,0.8)

## [1] 1.048576e-14

¿Cuál es la probabilidad de que exactamente doce personas prefieran el café, y las otras ocho, el té?

P(X=12)=(20 12)*(0.8)^12*(0.2)^8=(20!/(12!*8!))*0.8^12*0.2^8= 0.02216088

dbinom(12,20,0.8)

## [1] 0.02216088

Intervalos de confianza

Tenemos una muestra aleatoria de 600 iPads nuevos que ha sacado Apple. El tiempo medio de vida es de 35 y la desviación típica es de 3 horas.

a)Halla un intervalo de confianza del 90% para el tiempo de vida medio de los IPads nuevos producidos por Apple.

\(35±t0.05*(3/√600)\)

\(35±1.645*(3/√600)\)

\((34.798,35.201)\)

b)Halla un intervalo de confianza del 99% para el tiempo de vida medio de los IPads nuevos producidos por Apple.

\(35±t0.005*(3/√600)\)

\(35±2.576*(3/√600)\)

\((34.684,35.315)\)

c)Apple afirma que el tiempo medio de vida está entre 31 y 39 horas. ¿Con qué nivel de confianza se puede hacer esta afirmación?

\(35+tα/2*(3/√600)=39\)

\(tα/2*(3/24.49)=4\)

\(tα/2*3=97.96\)

\(tα/2=97.96/3=32.6\)

\(P(-32.6<Z<32.6)=pnorm(32.6)-pnorm(-32.6)=1\)

Nivel de confianza del 100%

d)Aproximadamente, cuantos iPads se deben muestrear con el propósito de que un intervalo de confianza del 90% especifique la media dentro de ± 1 hora?

\(1.645*(3/√s)\)

\(s=4.935^2=24.35\)

Tomaríamos una muestra de 25 iPads

Contraste de hipótesis

Existe una población normal con los siguientes datos: 19,19.4,19.8,20.2,20.3,20.5,20.6,20.8,21.3,21.5

a)¿Cómo sería el contraste de hipótesis para saber si la media de la población es 20?

\(H0: mu=20\)

\(H1: mu != 20\)

b)¿Cuánto vale p-valor en el contraste de hipótesis planteado?

datos=c(19,19.4,19.8,20.2,20.3,20.5,20.6,20.8,21.3,21.5)
datos

##  [1] 19.0 19.4 19.8 20.2 20.3 20.5 20.6 20.8 21.3 21.5

t.test(datos, mu=20)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  datos
## t = 1.3674, df = 9, p-value = 0.2047
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 20
## 95 percent confidence interval:
##  19.77754 20.90246
## sample estimates:
## mean of x 
##     20.34

c)¿Crees que la media de la población es 20?¿Por qué?

Dado que p-valor > alpha, no existe evidencia estadística en contra de H0.

d)¿Crees que existe evidencia estadística de que la varianza de la población es mayor de 0.6?

var(datos)

## [1] 0.6182222

library(EnvStats)

## Warning: package 'EnvStats' was built under R version 4.3.3

## 
## Attaching package: 'EnvStats'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     predict, predict.lm

varTest(datos, sigma.squared = 0.6, alternative = "greater")

## 
## Results of Hypothesis Test
## --------------------------
## 
## Null Hypothesis:                 variance = 0.6
## 
## Alternative Hypothesis:          True variance is greater than 0.6
## 
## Test Name:                       Chi-Squared Test on Variance
## 
## Estimated Parameter(s):          variance = 0.6182222
## 
## Data:                            datos
## 
## Test Statistic:                  Chi-Squared = 9.273333
## 
## Test Statistic Parameter:        df = 9
## 
## P-value:                         0.4124354
## 
## 95% Confidence Interval:         LCL = 0.3288615
##                                  UCL =       Inf