Un modelo de bicicleta de la marca Berria se envía a China en contenedores que contienen 12 de estas bicicletas. Siendo “x” el número de bicicletas en correcto estado en unos de los contenedores cogidos de forma aleatoria. Suponemos que la probabilidad de “x” bicicletas estén en buen estado es proporcional a “x”, es decir, la función de probabilidad es:
Si x = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12: p(x) = cx
Siendo c una constante
En otro caso: p(x) = 0
Tenemos que despejar:
\(C1+c2+c3+c4+c5+c6+c7+c8+c9+c10+c11+c12 => 78c = 1\)
La constante c debe valer \(c = 1/78\)
Para calcular la probabilidad de x cuando vale 2, debemos sustituir la constante por el valor 2.
\(P(X=2) = 2*c = 2/78 = 0.0256\)
Por lo que hay una probabilidad de 2.56%
# Definir la constante c
c <- 1/78
# Definir los posibles valores de x
x <- 1:12
# Calcular la esperanza (media) E(x) y la esperanza del cuadrado E(x^2)
E_x <- sum(x^2) * c
E_x2 <- sum(x^3) * c
# Calcular la varianza Var(x) y la desviación estándar (desviación típica) σ(x)
Var_x <- E_x2 - E_x^2
sigma_x <- sqrt(Var_x)
# Imprimir los resultados
print(paste("Varianza: ", Var_x))## [1] "Varianza: 8.55555555555554"print(paste("Desviación estándar: ", sigma_x))## [1] "Desviación estándar: 2.9249881291307"\(mu = 1 * 1/78 + 2 * 2/78 + 3 * 3/78 + 4 * 4/78 + 5 * 5/78 + 6 * 6/78 + 7 * 7/78 + 8 * 8/78 + 9 * 9/78 +10 * 10/78 + 11 * 11/78 + 12 * 12/78 = 25/3 = 8.33333\)
Siendo así la media de \(8.3333\) bicicletas
La duración de la batería de un iPad con 7680 mAh tiene una desviación estándar de 4h de uso diario. Tomando una muestra aleatoria de 5 iPads, obtenemos las muestras siguientes:
(4.08, 5.12, 3.79, 4.86, 3.97)
s=5
m=7680
x=c(4.08, 5.12, 3.79, 4.86, 3.97)
alpha=0.05
t_alpha=qnorm(1-0.05)
n=length(x)
#Lado derecho
mean(x)+t_alpha*s/sqrt(n)## [1] 8.042005#Lado izquierdo
mean(x)-t_alpha*s/sqrt(n)## [1] 0.6859955x=c(4.08, 5.12, 3.79, 4.86, 3.97)
n=length(x)
s=sd(x)
alpha=0.05
t=qt(1-alpha/2, n-1)
mean(x)-t*s/sqrt(n)## [1] 3.633916mean(x)+t*s/sqrt(n)## [1] 5.094084p=5/9
alpha=0.05
z_alpha2=qnorm(1-alpha/2)
p-z_alpha2*sqrt(p*(1-p))/sqrt(n);## [1] 0.120008p+z_alpha2*sqrt(p*(1-p))/sqrt(n);## [1] 0.9911031Hemos realizado otra muestra recogiendo los siguientes datos y siendo la misma confianza que en el apartado anterior:
(5.16, 4.32, 3.49, 5.01, 4.23)
Halla el intervalo de confianza para la diferencia de dos poblaciones emparejadas. ¿Hay diferencia sistemática?
alpha=0.05
x1=c(4.08,5.12,3.79,4.86,3.97)
x2=c(5.16,4.32,3.49,5.01,4.23)
bar_d=mean(x1-x2)
s_d=sd(x1-x2)
n=length(x1)
t=qt(1-alpha/2, n-1)
bar_d-t*s_d/sqrt(n)## [1] -0.9462952El tiempo de respuesta de dos ordenadores de dos casas diferentes se distribuyen independientemente según las siguientes leyes de probabilidad:
Tiempo de respuesta de la casa 1: X-N(130, 75)
Tiempo de respuesta de la casa 2: Y-N(130, 50)
Para muestras independientes de tamaño 80 de la casa 1 y de tamaño 100 de la casa 2, halla:
Y es la media de muestras de tamaño 100 y que la nueva desviación típica es esta divida entre la raíz cuadrada de n (n-> tamaño).
Desviación típica de y: \(50/sqrt(100) = 5\)
La distribución de probabilidad de y es y -N(130,5) o y-N(130,50/10)
Distribución de probabilidad de x.
x es la media de muestras de tamaño 80 y que la nueva desviación típica es esta dividida entre la raíz cuadrada de n (n-> tamaño).
Desviación típica de x:
75/sqrt(80) ## [1] 8.385255La distribución de probabilidad de x es x-N(130, 8.385255) o x-N(130, 75/8.944)
\(P(x̄ ≥ 170) = 1−P(Z < ((170−130)/5)\)
Z es una distribución de probabilidad (0,1).
1-pnorm((170-130)/5)## [1] 6.661338e-16Así pues, \(P(x̄ ≥ 170) = 0\)
Distribución de probabilidad de x - ȳ.
x̄ −ȳ ∼N(130−130,sqrt((75^2/80) + (50^2/100))
130-130; sqrt((75^2/80)+(50^2/100))## [1] 0## [1] 9.762812Así pues, la distribución de probabilidad de x - ȳ es N(0,9.762812)