Entrega 1
Problemas de Probabilidad, Variable aleatoria y Distribuciones de probabilidad.

Probabilidad

Tenemos un espacio muestral de 250 estudiantes de la UCLM que se clasifican de acuerdo al sexo y al grado que estudian
Grado Hombre Mujer
RRHH 20 45
Ingeniería Informática 48 19
ADE 41 18
Medicina 22 37

Si seleccionamos aleatoriamente a un estudiante, halla la probabilidad de que:

  1. Sea Mujer, dado que estudia Medicina

La probabilidad es \(P(mujer/medicina)\).

Con la tabla sabemos que, de 250 estudiantes de nuestro espacio muestral, 59 son de medicina, por lo que para sacar la probabilidad de que estudie medicina, hacemos \(59/250\), y nos da que: \(P(Medicina)= 0,236\).

Para saber la probabilidad de que sea mujer y estudie medicina, sabemos que hay 37 mujeres que estudian medicina en nuestro espacio muestral, por lo que habría que hacer \(37/250\) para que de que: \(P(Mujer∩Medicina)=0.148\)

Para hacer la probabilidad, usamos la formula: \(P(A/B)=P(A∩B)/P(B)\)

Es decir, \(P(mujer/medicina)=P(Mujer∩Medicina)/P(Medicina)\)

Con valores, daría que \(P(mujer/medicina)=0.148/0.236\) 

0.148/0.236
## [1] 0.6271186

La probabilidad de que sea mujer dado que estudia medicina es de \(0.6271186\)

  1. Estudie Ingeniería Informática

Según la tabla, hay 67 estudiantes de ingeniería informatica en nuestro espacio muestral, por lo que para saber \(P(Ingeniería Informatica)\) tenemos que hacer 67/250, lo que nos saldría 

67/250
## [1] 0.268

Con este calculo, sabemos que \(P(Ingeniería Informatica)= 0.268\)

  1. No estudie RRHH, dado que es mujer

Queremos calcular \(P(!RRHH/Mujer)\), que se calcula con la formula descrita en el primer apartado Con la tabla, sabemos que:

\(P(Mujer∩RRHH)=45/250=0.18\)

\(P(Mujer∩Ingeniería Informatica)=19/250=0.076\)

\(P(Mujer∩ADE)=18/250=0.072\)

\(P(Mujer∩Medicina)=37/250=0.148\)

Según la formula: \(P(A)=P(A∩B)+P(A∩C). A,B,C ∈ X\)

Tenemos que: \(P(Mujer)=0.18+0.076+0.072+0.148=0.476\)

De aqui, podemos sacar la probabilidad de que sea mujer y no estudie RRHH, que es \(P(!RRHH∩Mujer)=P(Mujer∩Ingeniería Informatica)+P(Mujer∩ADE)+P(Mujer∩Medicina)=0.076+0.072+0.148=0.296\)

O también

\(P(!RRHH∩Mujer)=P(Mujer)-P(Mujer∩RRHH)=0.476-0.18=0.296\)

De aqui, podemos sacar que: \(P(!RRHH/Mujer)=0.296/0.476\) 

0.296/0.476
## [1] 0.6218487

Con el calculo anterior, conseguimos saber que \(P(!RRHH/Mujer)=0.6218487\)

  1. No sea hombre, dado que estudia ADE

Con la tabla, sabemos que \(P(ADE)=59/250=0.236\)

Y que \(P(ADE∩!Hombre)=P(Mujer∩ADE)=0.072\)

Por lo que, con la formula antes establecida, sabemos que l probabilidad de que sea hombre dado que estudia ADE es: 

0.072/0.236
## [1] 0.3050847

\(P(ADE/!Hombre)=0.3050847\)

Variable aleatoria exponencial

Un ordenador es llevado a reparar debido al mal funcionamiento de los módulos de memoria. Siendo X el número de módulos que no funcionan correctamente.

X 0 1 2 3 4
P1(X)| 0.1| 0.3| 0.4| 0.1| 0.1|
P2(X)| 0.3| 0.3| 0.2| 0.1| 0.2|
P3(X)| 0.3| 0.2| 0.1| 0.1| 0.1|
  1. ¿Cuál de las siguientes funciones se trata de una posible función de probabilidad de X? Razona tu respuesta

Se trata de P1(X) debido a que para que sea función de probabilidad la suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1, y P1(X) es la unica que lo cumple.

  1. ¿Cual es la probabilidad de que haya un mal funcionamiento de máximo de 2 módulos de memoria?

La probabilidad es \(P(X<=2)\) 

0.1+0.3+0.4
## [1] 0.8

\(P(X<=2)=0.8\)

  1. Calcula µ

La media se calcula con la formula: µ=Σ(X*xi)

Por lo que los calculos son: 

0*0.1+1*0.3+2*0.4+3*0.1+4*0.1
## [1] 1.8

Y el resultado es: \(µ=1.8\)

  1. Calcula σ

La varianza se calcula con la formula: σ2=(Σ(X2-xi))-µ2

Que con los datos sería:

((0^2)*0.1+(1^2)*0.3+(2^2)*0.4+(3^2)*0.1+(4^2)*0.1)-1.8^2
## [1] 1.16

Para hallar la desviación típica tenemos que usar la raiz cuadrada del resultado anterior \(σ=√(σ^2)\) 

sqrt(1.16)
## [1] 1.077033

Por lo que el resultado es: \(σ=1.077033\)

Distribuciones de probabilidad

Un videojuego tiene 50 objetos especiales cuyo ratio de aparición es de 0.15 y los objetos son independientes entre si.

Sabemos que X sigue una distribución binomial con una muestra de 50 y una probabilidad del 0.15 X~Bi(50,0.15)

  1. ¿Cual es la probabilidad de obtener a lo sumo 10 objetos especiales?

La probabilidad de encontrar hasta 10 objetos especiales es \(P(X<=10)\),que es: 

pbinom(10,50,0.15)
## [1] 0.8800827

\(P(X<=10)=0.8800827\)

  1. ¿Cual es la probabilidad de no obtener ningún objeto especial?

La probabilidad de no encontrar ningún objeto especial es: \(P(X=0)\), que es: 

dbinom(0,50,0.15)
## [1] 0.0002957647

\(P(X=0)=0.0002957647\)

  1. ¿Cual es la probabilidad de obtener más de 7 objetos especiales?

La probabilidad de encontrar mas de 7 objetos especiales es: \(P(X>7)\), que también es:\(1-P(x<=7)\) 

1-pbinom(7,50,0.15)
## [1] 0.4812479

\(P(X>7)=0.4812479\)

  1. ¿Cual es la probabilidad de obtener todos los objetos especiales?

La probabilidad de obtenerlos todos es:\(P(X=50)\), por lo que: 

dbinom(50,50,0.15)
## [1] 6.376215e-42

P(X=50)=6.376215*10-42

Tema 2

El tiempo de vida de una placa de Arduino sigue una distribución exponencial con media de 5 años

  1. Halla la probabilidad de que la placa dure más de 7 años.

Como la µ = 5 el parámetro de la exponencial es λ = 0.2.

X sigue un distribución exponencial Exp(0.2)

La probabilidad será P(X>7), que se calcula con la formula: 

exp(-0.2*7)
## [1] 0.246597

O bien

1-pexp(0.2*7)
## [1] 0.246597

La probabilidad de que una placa dure mas de 7 años es de 0.246597

  1. Calcula la varianza

Para ello necesitaremos la formula: \(σ^2=1/λ^2\)

1/(0.2^2)
## [1] 25

La varianza es de 25

  1. Halla el percentil 30 El percentil 30 hcee referencia al vlor que deja por debajo suyo al 30% de los datos. Para calcularlo necesitaremos el comando de R: 
qexp(0.3,0.2)
## [1] 1.783375

O bien:

0.3=1-e^(-0.2*P30)

0.7=e^(-0.2*P30)

ln(0.7)=-0.2*P30

P30=ln(0.7)/-0.2

\(P30=1,78337\)

El percentil 30 de la muestra es de 1.78337

  1. Cual es el segundo cuartil

el segundo cuartil hace referencia al dato que deja por debajo a la mitad de los datos de la muestra, es decir, al 50% o la mediana

Para calcularla necesitaremos la formula de R: 

qexp(0.5,0.2)
## [1] 3.465736

O bien:

0.5=1-e^(-0.2*Q2)

0.5=e^(-0.2*Q2)

ln(0.5)=-0.2*Q2

Q2=ln(0.5)/-0.2

\(Q2=3,46573\)

El segundo cuartil de la muestra es de 3.46573

Contraste de hipotesis 1

Tenemos una muestra de la duración media de la batería de 15 portatiles HP Muestra {2.65,4.35,3.5,4,2.45,3,4.25,3.75,3.5,2.75,4.25,3.35,2.85,4.15,3.5} ¿Crees que la media de la duración puede ser de 3 horas?

1)Calcula el estadistico test

Para ello necesitaremos plantear las hipotesis: H0: μ = 3 H1: μ != 3

Corresponde a la media de una población. sacamos los valores:

Nivel de significación = 0.05 Tamaño muestral de n=15 X_BARRA=3.486667 S=0.6359657

necesitaremos usar la formula: \(Zs=(X_BARRA-μ)/(S/√n)\) que es: 

(3.486667-3)/(0.6359657/sqrt(15))
## [1] 2.963765

El estadistico test (Zs en este caso) es 2.963765

  1. Calcula la región crítica

Para ello usaremos las formulas: 

qt(0.05/2,14)
## [1] -2.144787
qt(1-0.05/2,14)
## [1] 2.144787

La región critica es: \([-2.144787, 2.144787]\)

  1. Calcula el P-Valor

Para ello necesitaremos la instrucción: 

2-2*pt(2.963765,14)
## [1] 0.01026239
  1. Razona si existe evidencia estadística en contra de Ho

Efectivamente, existe evidencia en contra de H0 esto lo podemos deducir gracias a que el P-Valor es menor que el nivel de significación

Contraste de hipotesis 2

En un pueblo se han estudiado la altura de todos los alamos negros (Populus nigra) Según los datos conseguidos de medir 60 arboles, hemos obtenido que la media de la altura una altura en metros es de 24.5 metros con una desviación tipica de 6 metros y sigue una distribución normal

  1. ¿Se puede afirmar la media de altura de los arboles de esta especie es 24 metros de altura?

Este corresponde a un ejercicio en el que tenemos que estudiar la media de una población normal o de muestra mayor de 30 de esto sacamos la hipotesis: H0: μ==24 H1: μ!=24 Como la muestra es de n>30, para conseguir el estadistico test usaremos la formula: \(zs=(Xmedia-mu_0)/(s/√n)\), donde:

x_barra=24.5 s=6 n=60 mu_0=24

(24.5-24)/(6/sqrt(60))
## [1] 0.6454972

para sacar el p-valor usaremos el comando: \(2*(1-pnorm(zs))\)

2*(1-pnorm(0.6454972))
## [1] 0.518605

Como el p-valor es mayor que el nivel de significación(0.05), no rechazamos H0, por lo que podemos ver que no hay evidencia estadistica en contra de que la media de la altura de la población de esta especie de arboles tenga una media de 24.5 metros de altura

  1. ¿Existe evidencia estadistica de que la varianza de las alturas de la especie de 35 metros?

sacamos la hipotesis: H0:σ0=35 H1:σ0!=35 Para este estadistico test necesitaremos la formula: chis0=((n-1)*(s2))/σ02) s = n-1

n=60 dt=6 sigma_0=35 s=n-1

Para sacar el p-valor, necesitaremos sacar chis_0:

((60-1)*(6^2))/((35^2))
## [1] 1.733878

chis0 es 1.7338, que esta por debajo de la mediana de ji cuadrado que es \(s-(2/3)\)

(60-1)-(2/3)
## [1] 58.33333

Como el estadistico test(chis0) es menor que la mediana para hallar el p-valor deberemos usar la instrucción: pchisq(chis0, s)

pchisq(1.733878, 60-1)
## [1] 1.328546e-34

es menor que 0.05, asi que descartamos H0 y vemos que la hipotesis se no cumple y que hay evidencia estadistica de que la varianza no es 35

  1. Sabiendo que en la muestra hay 15 arboles que son mayores o iguales a 29 metros, ¿Existe evidencia estadistica de que el 10% de los arboles de esta especie son mayores de 29 metros? Supondremos la hipotesis:

H0: p=0.1 H1: p!=0.1

teniendo los datos:

\(p=15/60\) \(n=60\) \(p_0=0.1\)

para hallar el p-valor necesitaremos la ecuación: zs=(p-p_0)/sqrt((p_0*(1-p_0))/n)

(15/60-0.1)/sqrt((0.1*(1-0.1))/60)
## [1] 3.872983

para hallar el p-valor necesitaremos la instrucción: \(prop.test(zs,n,p=0.1, alternative = "greater")\)

prop.test(3.872983,60,p=0.1, alternative = "greater")
## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  3.872983 out of 60, null probability 0.1
## X-squared = 0.49022, df = 1, p-value = 0.7581
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.1
## 95 percent confidence interval:
##  0.02382938 1.00000000
## sample estimates:
##          p 
## 0.06454972

El p-valor nos sale que es 0.7581, que es mayor que 0.05, por lo que no descartamos H0 y podemos suponer la hipotesis correcta

  1. En uno de los arboles se vio que había una plaga de Anaerea carcharias, y se decidió estudiarlos. De la muestra de 25 bichos recogida en este arbol, cada dia ponian la siguente cantidad de huevos:

\({41, 58, 35, 39, 54, 23, 44, 38, 32, 69, 45, 18, 47, 42, 37, 39, 38, 43, 36, 40, 41, 39, 60, 34, 42}\)

Corresponde a la media de una población con sigma desconocida. La hipotesis es

H0: mu=46

H1: mu!=46

necesitaremos el comando:

\(t.test(bichos,mu=46)\)

bichos<-c(41, 58, 35, 39, 54, 23, 44, 38, 32, 69, 45, 18, 47, 42, 37, 39, 38, 43, 36, 40, 41, 39, 60, 34, 42)
t.test(bichos,mu=46)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  bichos
## t = -2.1643, df = 24, p-value = 0.04061
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 46
## 95 percent confidence interval:
##  36.93523 45.78477
## sample estimates:
## mean of x 
##     41.36

con el que nos sale que el p-valor es 0.04061, menor que 0.05, por lo que descartamos H0 y hay evidencia estadistica de que la media no es de 46 huevos diarios