En un instituto van a hacer una competición de coches creados por ellos mismos.
Sabemos que la probabilidad de que llegue a meta es de 0.8 La probabilidad de que el coche siga teniendo batería cuando llega a meta es del 0.4 Y que tenga batería pero no llegue a meta es del 0.6
\(P(M^C)=1-P(M)= 1-0.8=0.2\)
\(P(M^C \cap B)= 0.6*0.2=0.12\)
\(P(B)=P(B \cap M) + P(M^C \cap B) = 0.4*0.8+0.6*0.2=0.44\)
\(P(M/B)=\frac{P(M\cap B)}{P(B)}= \frac{0.4*0.8}{0.44}=0.72\)
La superposición es una propiedad de los cuerpos que describe la capacidad de un objeto de estar en dos o más estados simultáneamente. Esta propiedad la explora el científico Schrödinger con un experimento mental donde se coloca un gato en una caja y se conecta un veneno al estado de una partícula en superposición. De esta manera, mientras no se observe la partícula, el gato estará en un estado superpuesto, vivo y muerto a la vez. Una vez abramos la caja y observemos la partícula, el gato colapsará a estar en uno de estos dos estados.
Pues bien, ahora realizaremos el mismo experimento, pero en vez de una sola partícula controlando el veneno, tendremos dos partículas cuyas combinaciones controlarán cuatro posibles estados:
1. Caerá un ratón y el gato se pondrá a jugar.
2. Se le dará un bol de comida y el gato se pondrá a comer.
3. Una música relajante solo para gatos se pondrá a sonar y el gato se dormirá.
4. No pasará nada y el gato se quedará igual que cuando lo dejamos en la caja. Se ha realizado el experimento 500 veces y gracias un aparato especial sabemos que cada vez tenía una cantidad diferente de estados dentro de la caja: 35 veces el gato estaba en 1 estado, 110 estaba en 2 y 200 veces estuvo en 3. Sabiendo esto, obtén:
a. Su función de probabilidad.
b. La moda.
c. La media y la desviación típica.
d. Ahora, añadimos una partícula más. Sabiendo que de la mitad de las veces que se encontraba en 3 estados ahora se encontrará con los nuevos estados creados por las combinaciones con la nueva partícula y que ambos salen la misma cantidad de veces, ¿cuál es su nueva función de probabilidad? a) Siendo \(X\) el número de estados en los que el gato está en un momento cualquiera:
| \(X\) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| \(Veces\) | \(35\) | \(110\) | \(200\) | \(500-(35+110+200) = 155\) |
| \(P(X)\) | \(35/500 = 0.07\) | \(110/500 = 0.22\) | \(200/500 = 0.4\) | \(155/500 = 0.31\) |
Con \(P(X)\) siendo su función de probabilidad. \(X\) quedaría como:
valores<-c(1,2,3,4)
repeticiones<-c(35,110,200,155)
x<-unlist(mapply(rep,valores,repeticiones))
x## [1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
## [38] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
## [75] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
## [112] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3
## [149] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [186] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [223] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [260] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [297] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
## [334] 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
## [371] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
## [408] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
## [445] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
## [482] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4b) La moda será el número de estados que más haya salido, por lo tanto la moda será \(3\).
c) La media se puede obtener como la suma de todos los estados multiplicados por su probabilidad: \(μ_x = 1*0.07 + 2*0.22 + 3*0.4 + 4*0.31 = 2.95\) o alternativamente \(μ_x\)=
mean(x)## [1] 2.95Queriendo decir que la media de número de estados que tuvo fue \(2.95\).
La desviación típica se puede obtener como la raíz cuadrada de la varianza:
\(σ = \sqrt{\sum{(x_i - μ_x)^2 * P(X = x_i)}}\)=
sqrt(var(x))## [1] 0.89951d) Si añadimos una partícula más, dos estados más aparecerán. Como el número de veces que aparecen este número de estados son los mismos y se obtienen de la mitad de las veces que cuando había 3 estados: \(P(5) + P(6) = P(3) / 2 = 0.2\) \(P(5) = 0.2/2 = 0.1\) \(P(6) = 0.2/2 = 0.1\)
Supongamos que las calificaciones de los alumnos de cuarto curso de Medicina de la universidad de Albacete en la convocatoria extraordinaria de traumatología siguen una distribución normal con una media de 6.8 y una desviación típica de 2.5. Las cifras decimales en las calificaciones van en décimas.
Para resolver este apartado, debemos calcular la probabilidad de que X sea mayor o igual a 4.5, es decir \(P(X\geq 4.5)\)=\(1 - P(X\leq 4.5)\)=\(1 - pnorm(4.5,6.8,2.5)\)=
1- pnorm(4.5,6.8,2.5)## [1] 0.8212136\(P(2.9 \leq X\leq 5.1)\)=\(pnorm(5.1,6.8,2.5)-pnorm(2.9,6.8,2.5)\)=
pnorm(5.1,6.8,2.5)-pnorm(2.9,6.8,2.5)## [1] 0.1888723Percentil 61=\(qnorm(0.61,6.8,2.5)\)=
qnorm(0.61,6.8,2.5)## [1] 7.498298\(P(X\leq 8.5 / X\geq 5.5)\)=\(\frac{P(X\leq 8.5 \ y \ X\geq 5.5)}{P(X\geq 5.5)}\)=\(\frac{P(X\leq 8.5) - P(X\leq 5.5)}{1- P(X\leq 5.5)}\)=\(\frac{pnorm(8.5,6.8,2.5) - pnorm(5.5,6.8,2.5)}{1- pnorm(5.5,6.8,2.5)}\)=
(pnorm(8.5,6.8,2.5) - pnorm(5.5,6.8,2.5))/(1- pnorm(5.5,6.8,2.5))## [1] 0.6445762Enlace al vídeo:
Supongamos que el número de nerfeos, o mejor dicho un cambio de estadísticas negativos, que se le aplican a los personajes en el brawl stars, o mejor conocido como brawlers, sigue una distribución Poisson con una media de 9 nerfeos al mes.
\(P(X=25)=dpois(25,9*2)\)=
dpois(25,18)## [1] 0.02365191\(P(X\leq8/X>4)=\frac{P(X\leq8 \ y \ X>4)}{P(X>4)}=\frac{(P\leq8)-P(X\leq4)}{1-P(X\leq4)}=\frac{ppois(8,9)-ppois(4,9)}{1-ppois(4,9)}\)
(ppois(8,9)-ppois(4,9))/(1-ppois(4,9))## [1] 0.4239932\(P(X>12)= 1-P(X\leq 12)= 1 - pnorm(12,9,sqrt(9)/sqrt(7))\)=
1 - pnorm(12, 9, sqrt(9)/sqrt(7))## [1] 0.004075486Percentil 38=\(qpois(0.38,9)\)=
qpois(0.38,9)## [1] 8En un laboratorio de química tenemos dos compuestos distintos. El interés se concentra en el tiempo que tarda en disolverse en agua cada uno de estos compuestos; se sospecha que el conpuesto_1 se disuelve mas rápidamente que el compuesto_2. Se obtienen mediciones de ambos compuestos. Los tiempos de disolución (en segundos) son los siguientes y se supone que siguen una distribución normal: Compuesto_1:6,12,10,5,8,15 Compuesto_2:8,11,12,12,9,17
1.Halla un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en los tiempos de secado promedio, suponiendo que las desviaciones estándar de estos son iguales.
El intervalo de confianza viene dado por :\(((\bar{x1}-\bar{x2} )-t*\alpha/2 *sp * \sqrt((1/n1)+(1/n2)),(\bar{x1}-\bar{x2} )-t*\alpha/2 *sp * \sqrt((1/n1)+(1/n2)))\)
\(\alpha\) es el nivel de significación, lo usamos para obtener el grado de confianza del intervalo, como buscamos un intervalo de confianza del 95%, este valor será 0.05. \(\sigma\) es la desviación típica de la población y \(n\) es el número de valores de la muestra.
compuesto1=c(6,12,10,5,8,15)
compuesto2=c(8,11,12,12,9,17)
x_barra_1=mean(compuesto1)
x_barra_1## [1] 9.333333n_1=6
s_1=sd(compuesto1)
x_barra_2=mean(compuesto2)
x_barra_2## [1] 11.5n_2=6
s_2=sd(compuesto2)
alpha=0.05 # es 1- nivel de confianza
s_p=sqrt(((n_1-1)*(s_1^2)+(n_2-1)*(s_2^2))/(n_1+n_2-2))
(x_barra_1-x_barra_2)-qt(1-alpha/2,n_1+n_2-2)*s_p*sqrt(((1)/n_1)+((1)/n_2))## [1] -6.638391(x_barra_1-x_barra_2)+qt(1-alpha/2,n_1+n_2-2)*s_p*sqrt(((1)/n_1)+((1)/n_2))## [1] 2.305057El intervalo de confianza es (-6.638391,2.305057)
2.Compara las varianzas para verificar si hay una diferencia significativa entre las varianzas de los dos conjuntos de datos.
H0: var1=var2
H1: var1 != var2
var.test(compuesto1,compuesto2)##
## F test to compare two variances
##
## data: compuesto1 and compuesto2
## F = 1.4411, num df = 5, denom df = 5, p-value = 0.6982
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
## 0.2016513 10.2984896
## sample estimates:
## ratio of variances
## 1.441077Como el p-valor = 0.6982> alpha= 0.05, entonces no rechazamos \(H_0\). Al 95% no existe evidencia estadística en contra de que sean iguales las varianzas. Podemos suponer que tienen la misma variabilidad.
Sigue una distribución normal y las poblaciones son independientes, en el apartado 2 concluimos que existe una gran probabilidad de que sus variaciones sean iguales.
H0: μ1-μ2=0
H1: μ1-μ2!=0
t.test(compuesto1,compuesto2,var.equal=TRUE)##
## Two Sample t-test
##
## data: compuesto1 and compuesto2
## t = -1.0796, df = 10, p-value = 0.3057
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## -6.638391 2.305057
## sample estimates:
## mean of x mean of y
## 9.333333 11.500000p-valor=0.3057>alpha por lo que se rechaza H0. Entonces no hay evidencia estadística en contra de que los tiempos medios sean iguales.
4.¿Existe alguna evidencia que indique que el compueto_2 se disuelve antes que el compuesto_1?
H0 : μ1 = μ2
H1 : μ1 > μ2.
Al tratarse de un contraste unilateral comprobamos la dirección y observamos que x_barra_1< x_barra2.Por tanto, rechazamos la hipótesis nula.Y con esto no podemos decir que exista alguna evidencia de que se disueva mas rápido el compuesto_2
Queremos construir una IA que sea capaz de detectar cuándo un área aleatoria sea un área con un radio de un kilómetro. Para ello, queremos utilizar las posiciones de tiendas y lugares de interés a un kilómetro de distancia aproximadamente de nuestra posición en un mapa, siendo las posiciones las siguientes:
Posiciones: 0.5723, 1.0785, 0.8046, 1.3706, 0.9298, 0.9399, 1.3977, 1.0402, 0.8306, 0.9153
Obtenemos el intervalo de confianza como:
\((\bar{x} + (1-\alpha/2) * \sigma/sqrt(n), \bar{x} - (1-\alpha/2) * \sigma/sqrt(n))\) Siendo \(\bar{x}\) la media de la muestra que podemos obtener como:
x <- c(0.5723, 1.0785, 0.8046, 1.3706, 0.9298, 0.9399, 1.3977, 1.0402, 0.8306, 0.9153)
mean(x)## [1] 0.98795\(\alpha\), \(\sigma\) y \(n\) representan lo mismo que en el ejercicio anterior. Siendo respectivamente: \(\alpha = 0.05\), \(\sigma = 0.2\) y \(n = 10\). Finalmente, obtenemos que el intervalo es:
mean(x) - (1-0.05/2) * 0.2/sqrt(10)## [1] 0.9262856mean(x) + (1-0.05/2) * 0.2/sqrt(10)## [1] 1.049614(0.9262856,1.049614)
Podemos saber si la muestra cumple con ser un área de un kilómetro de radio planteando dos hipótesis, la hipótesis nula (\(H_0\)) como que la media de la muestra es 1: \(H_0: \mu_0 = 1\) y la hipótesis alternativa(\(H_1\)) como lo contrario: \(H_1: \mu_0 \neq 1\) Finalmente, para saber con cuál de las dos hipótesis es más probable que sea cierta, realizamos un test estadístico que nos permitirá calcular dicha probabilidad: Con r podemos realizar:
t.test(x, mu=1)##
## One Sample t-test
##
## data: x
## t = -0.15177, df = 9, p-value = 0.8827
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
## 0.8083407 1.1675593
## sample estimates:
## mean of x
## 0.98795y al ser el p-valor (la probabilidad de que \(H_0\) sea correcta) mayor a 0.05 (el nivel de significación \(\alpha\)), podemos concluir que hay evidencia estadística de que \(H_0\) es verdadera. También podemos aplicar la siguiente fórmula para obtener el resultado del test estadístico siempre que \(\sigma\) sea conocida o \(n \geq 30\): \(t_s = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\) Siendo s la dispersion típica de x, obtenida como
s = sd(x)Sustituyendo nuestros valores:
t_s = (mean(x) - 1)/(s/sqrt(10))Y obtendremos el p-valor como:
2*(1-pt(abs(t_s), 9))## [1] 0.8827173al ser un test bilateral, obteniendo los mismos resultados que al realizar la otra operación.
\(Muestra_1: \bar{x}_1 = 0.9926164; s_1 = 0.2014724; n_1 = 50\)
\(Muestra_2: \bar{x}_2 = 1.001986; s_2 = 0.197852; n_2 = 100\)
\(Muestra_3: \bar{x}_3 = 1.087973; s_3 = 0.2143885; n_3 = 20\)
Podremos saber cuál de las cuatro muestras tiene una media más cercana a 1 realizando los test estadísticos anteriores y comprobando cuál tiene un mayor p-valor, manteniendo las mismas hipótesis anteriores. Muestra1:
t_s1 = (0.9926164 - 1) / (0.2014724 / sqrt(50))
2*(1-pt(abs(t_s1), 49))## [1] 0.7966114Muestra2:
t_s2 = (1.001986 - 1) / (0.197852 / sqrt(100))
2*(1-pt(abs(t_s2), 99))## [1] 0.9202472Muestra3:
t_s3 = (1.087973 - 1) / (0.2143885 / sqrt(20))
2*(1-pt(abs(t_s3), 19))## [1] 0.08219427Comparando los p-valores, podemos comprobar que la \(Muestra_2\) tiene una media que se acerca más a 1, por lo tanto es más exacta.
\(Muestra: \bar{x}_m = 1.006693; s_m = 0.1975031; n_m = 500\)
Podemos comprobar si las medias de dos poblaciones son iguales dependiendo de si son independientes o emparejadas. Al ser dos muestras aleatorias tomadas en el mismo instante, las dos muestras son independientes, por lo tanto, para obtener si las medias de la \(Muestra_2\) y la \(Muestra\) son iguales, primero planteamos las hipótesis: \(H_0: \mu_2 - \mu_m = d_0\) \(H_1: \mu_2 - \mu_m \neq d_0\) Siendo \(d_0\) en este caso 0, al querer comparar que \(\mu_2\) y \(\mu_m\) son iguales. Tras eso, aplicamos la siguiente fórmula para obtener el test estadístico: \(t_s=\frac{(\bar{x}_2 - \bar{x}_m) - d_0}{\sqrt{(\sigma^{2}_{2}/n_2) + (\sigma^{2}_{m} / n_m)}}\) con resultado:
t_sm = ((1.001986 - 1.006693) - 0) / sqrt((0.2^2/100) + (0.2^2/500))y obtenemos el p-valor:
2*(1-pt(abs(t_sm), 100+500-2))## [1] 0.8299621Concluyendo que hay evidencia estadística para considerar verdadera \(H_0\) y por lo tanto, considerar a \(Muestra\) como un área de 1km de radio. Enlace al vídeo: