Se van a realizar elecciones a delegado de clase y, como candidatos, se han presentado Fares, Cache y Pablo. En una encuesta a “pie de pasillo”, hemos determinado que un 57% de los alumnos van a votar a Cache o a Pablo, y que un 30% de los alumnos votará a Cache. Además, estas elecciones tendrán record de participación, pues todos los alumnos emitirán un voto.
Sabemos que \(P(C \cup P)=0.57\) y
\(P(C)=0.30\), y como \(P(C \cap P) = 0\), pues no es posible votar
a dos personas a la vez, entonces
\(P(C \cup P) = 0.57 = P(P) + P(C) = P(P) + 0.3 \Leftrightarrow P(P) = 0.27\)
Con esto,
\(P(F) = 1 - P(P) -
P(C) = 1 - 0.27 - 0.3 = 0.43\)
Con las probabilidades obtenidas en el apartado anterior, calculamos \(P(P \cup F) = P(P) + P(F) - P(P \cap F) = P(P) + P(F) = 0.27 + 0.43 = 0.70\)
Sea X:‘número de alumnos que van a votar a Fares’, entonces \(X \sim Bi(5, 0.43)\) y calculamos \(P(X=2)=\)
dbinom(2,5,0.43)## [1] 0.3424219Ahora, sea X:‘número de alumnos que van a votar a Pablo’, entonces \(X \sim Bi(5, 0.27)\) y calculamos \(P(X\ge3)=\)
pbinom(2,5,0.27,FALSE)## [1] 0.1257232En la universidad de Albacete se planea inaugurar una estación de radio local llamada EsiiCast. Dada la limitada cobertura de recursos, esta estación solo podrá transmitir dentro de su comunidad autónoma. Por lo tanto, se ha establecido que la frecuencia de transmisión estará restringida a un rango entre 24 MHz y 42 MHz.
Sea X la frecuencia de transmisión de la estación de radio y sea la función de densidad de probabilidad de X la siguiente:
\[\cal{f(x)}=\left\{ \begin{array}{lll} {\frac{(3x+2x^2)}{41958}}\qquad 24<x<42\\ 0 \qquad Otro \ caso \\ \end{array} \right. \]
1.Determina la desviación típica de la frecuencia de transmisión.
Media
\(\mu_x=\int_{-\infty}^{+\infty}x*f(x)dx=\int_{24}^{42}x* \frac{(3x+2x^2)}{41958}=\)
integrate(function(x) (x)*((3*x+2*x^2)/41958),24,42)$value## [1] 34.56371Varianza
\(\sigma_x^2=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2*f(x)dx -\mu_x^2=\int_{24}^{42}x^2*\frac{(3x+2x^2)}{41958}dx -(34.56371^2)=\)
integrate(function(x) (x^2)*((3*x+2*x^2)/41958),24,42)$value -(integrate(function(x) (x)*((3*x+2*x^2)/41958),24,42)$value)^2## [1] 25.05521Desviación Típica
\(\sigma_x=\sqrt (\sigma_x^2)=\sqrt 25.05521=\)
sqrt(integrate(function(x) (x^2)*((3*x+2*x^2)/41958),24,42)$value -(integrate(function(x) (x)*((3*x+2*x^2)/41958),24,42)$value)^2)## [1] 5.005518\(F(x)=P(x\leq X)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{24}^{x}\frac{(3x+2x^2)}{41958}dx=\frac{1}{41958}*\left[\frac{3x^2}{2}+\frac{2x^3}{3}\right]_{24}^{x}=\frac{1}{41958}*\left(\frac{3x^2}{2}+\frac{2x^3}{3}\right)-10080\quad24<x<42\)
\[\cal{f(x)}=\left\{ \begin{array}{lll} {0}\qquad x<24\\ \frac{1}{41958}*\left(\frac{3x^2}{2}+\frac{2x^3}{3}\right)-10080 \qquad 24<x<42 \\ 1\qquad x\geq 42 \end{array} \right. \]
Igualar la función de distribución a 0.25 y resolver.
Despejar la X.
\(\frac {1}{41958}*
\left(\frac{3x^2}2+\frac{2x^3}3\right)-10080=0.25\\\)
\(\left(\frac{3x^2}2+\frac{2x^3}3\right)-10080=0.25*41958\\\)
\(\frac{3x^2}2+\frac{2x^3}3-20569.5=0\\\)
\(9x^2+4x^3-123417=0 \rightarrow
x=30.6321459\\\)
4. Calcular \(P(x<28/x<37)\)
\(\\P(x<28/x<27)=\frac{P(x<28\cap x<37)}{P(x<37)}=\frac{P(x<28)}{P(x<37)}\)
\(P(x<28)=\\\)
integrate(function(x)((3*x+2*x^2)/41958),24,28)$value## [1] 0.136581\(P(x<37)=\\\)
integrate(function(x)((3*x+2*x^2)/41958),24,37)$value## [1] 0.6135223\(\frac{P(x<28)}{P(x<37)}=\\\)
integrate(function(x)((3*x+2*x^2)/41958),24,28)$value/integrate(function(x)((3*x+2*x^2)/41958),24,37)$value## [1] 0.2226179Pablo Lirio y José Juan tienen que coger el autobús todas las mañanas para ir a la Universidad del Castillo Manchado. La línea que deben coger es la AAb45. Pablo y José Juan salen una mañana de casa y se sientan a esperar en la parada de su barrio. Sabemos que la línea pasa por la parada, de media, cada 20 minutos.
\(P(X > 15) =\)
1-pexp(15, 0.05)## [1] 0.4723666\(P(X < 20) = P(X\leq 20) =\)
pexp(20, 0.05)## [1] 0.6321206\(P(X < 45/X > 25) = \frac{P(X > 25 \cap X < 45)} {P(X>25)}=\frac{P(X<45)-P(X<25)}{P(X>25)}=\)
(pexp(45, 0.05)-pexp(25, 0.05))/(1-pexp(25, 0.05))## [1] 0.6321206Nótese que \(P(X < 45/X > 25) = P(X < 20)\), debido a la propiedad de pérdida de memoria de la distribución exponencial.
Debemos determinar el valor M, tal que \(P(X<M) = 0.5\).
qexp(0.5, 0.05)## [1] 13.86294Por tanto, Pablo va a suspender estadística.
Vídeo con las explicaciones.
Una CPU genera un porcentaje de uso que varía en función del tiempo (t) de acuerdo con la función de densidad de probabilidad:
\[\cal{f(t)}=\left\{
\begin{array}{lll}
{\frac{2t}{25}}\qquad 0<x<5\\
0 \qquad o.c \\
\end{array}
\right.
\]
\(\mu=\int_{-\infty}^{+\infty}t*f(t)dt=\int_{0}^{5}x* \frac{(2t)}{25}=\)
media=integrate(function(t) t*(2*t/25),0,5)$value
media## [1] 3.333333Varianza:
\(\sigma^2=\int_{-\infty}^{+\infty}t^2*f(t)dt -\mu^2=\int_{0}^{5}t^2*\frac{2t}{25}dt - (3.333333)=\)
varianza=integrate(function(t) (2*t/25)*(t-media)^2,0,5)$value
varianza## [1] 1.388889Desviación típica:
\(\sigma=\sqrt (\sigma^2)=\sqrt 1.388889=\)
sqrt(varianza)## [1] 1.178511\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt = \int_{0}^{x}\frac{2t}{25}dt=\frac{2}{25}*\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{x}=\frac{x^2}{25}\)
Con esto, la función de distribución viene dada por:
\[F(t)=\left\{ \begin{array}{lll} {0}\qquad t<0\\ \frac{x^2}{25}\qquad 0<x<5 \\ 1\qquad x\geq 5 \end{array} \right. \]
\(P(t > 2) = 1 - P(t < 2) = 1- F(2) = 1 - 0.16 = 0.84\)
En R:
1-integrate(function(t) 2*t/25, 0, 2)$value## [1] 0.84En una partida de Call of Zombies, hay dos equipos, el primer equipo es el Equipo CT (Chorizos de Teror) y el segundo el Equipo Timidín. Ambos destinados a enfrentar hordas de no muertos. Sin embargo, entre los vivos, también se encuentran inocentes, que pueden caer por accidente bajo el fuego amigo. Cada equipo en su lucha por la supervivencia, aniquila a un total de 300 entidades. Sorprendentemente, se descubre que 75 de las 300 ocasionadas por el equipo 1 son inocentes, mientras que para el equipo 2, esta cifra desciende a 51. Suponemos que las muertes de cada equipo siguen una distribución normal.
Intervalo de confianza para el Equipo 1.
\(p_1\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n}}=\)
n=300
p=75/300
alpha=0.05
p-qnorm(1-(alpha/2),0,1)*(sqrt((p*(1-p))/n))## [1] 0.2010009p+qnorm(1-(alpha/2),0,1)*(sqrt((p*(1-p))/n))## [1] 0.2989991Intervalo de confianza para el Equipo 2
\(p_2\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p_2(1-p_2)}{n}}\)
n=300
p=51/300
alpha=0.05
p-qnorm(1-(alpha/2),0,1)*(sqrt((p*(1-p))/n))## [1] 0.1274939p+qnorm(1-(alpha/2),0,1)*(sqrt((p*(1-p))/n))## [1] 0.2125061Contraste
\(H_0:p_1=p_2\) frente a \(H_1:p_1\neq p_2\)
Estadístico de contraste
\(z_s=\frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}+\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}}=\)
n1=300
p1=75/300
n2=300
p2=51/300
(p1-p2)/sqrt(((p1*(1-p1))/n1)+((p2*(1-p2))/n2)) ## [1] 2.417224Para ver si podemos rechazar \(H_0\) hay dos demostraciones:
P-valor
P-valor =
2*(1-pnorm( 2.417224))## [1] 0.01563939P-valor < \(\alpha\) por lo tanto existen evidencias estadísticas en contra de \(H_0\). \(H_0\) se rechazaría.
Región Crítica
\(Z_{\alpha/2}=\)
qnorm(1-0.05/2)## [1] 1.959964\(\alpha\)=0.05 y \(Z_{\alpha/2}\)=1.96, entonces 2.417224 > 1.96. Al ser 2.416224 mayor que 1.96 estaría dentro de la región crítica y se rechazaría \(H_0\).
Contraste
\(H_0:p<=20, H_1:p>20\)
Vamos a ver si se rechaza \(H_0\) con el P-valor.
prop.test(75,300,p=0.20,alternative = "greater") ##
## 1-sample proportions test with continuity correction
##
## data: 75 out of 300, null probability 0.2
## X-squared = 4.3802, df = 1, p-value = 0.01818
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.2
## 95 percent confidence interval:
## 0.209675 1.000000
## sample estimates:
## p
## 0.25P-valor=0.01818 < \(\alpha\) por lo tanto existe evidencia estadística en contra de \(H_0\) por lo que se rechazaría.
Contraste
\(H_0:p<=20, H_1:p>20\)
Vamos a ver si se rechaza \(H_0\) con el P-valor.
prop.test(75,300,p=0.30,alternative = "greater") ##
## 1-sample proportions test with continuity correction
##
## data: 75 out of 300, null probability 0.3
## X-squared = 3.3373, df = 1, p-value = 0.9661
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.3
## 95 percent confidence interval:
## 0.209675 1.000000
## sample estimates:
## p
## 0.25P-valor=0.9661 > \(\alpha\). Al ser mayor que \(\alpha\) es una diferencia debida al azar y no se podría rechazar \(H_0\) ya que no existen evidencias en contra de él.
Ante el descenso en la capacidad de atención de la gente, Guguel debe analizar si merece la pena cambiar Yutuf, su plataforma para compartir vídeos, para permitir solamente la subida de vídeos cortos y cambiarle el nombre por TiTó. Guguel cree que los vídeos cuya duración supere los 10 minutos siguen siendo una buena opción.
Contrastamos \(H_0:\mu \geq 10\), frente a \(H_1:\mu<10\).
Calculamos el valor del estadístico de contraste para la media de una población:
\(z_s=\frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}=\)
zs=(6-10)/(3/sqrt(80))
zs## [1] -11.9257y lo comparamos al valor de \(-Z_\alpha=\)
qnorm(0.05)## [1] -1.644854Como \(Z_s < Z_\alpha\), rechazamos \(H_0\) ya que existe evidencia estadística de que \(\mu < 10\).
Podemos calcular el p-valor de \(Z_s =\)
pnorm(zs)## [1] 4.347719e-33que es aproximadamente 0. Y como \(0 < \alpha=0.05\), verificamos que estamos en lo cierto al rechazar \(H_0\).
Ahora, contrastamos \(H_0:\sigma_1^2 = \sigma_2^2\), frente a \(H_1:\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2\). Calculamos el valor del estadístico para el cociente de varianzas muestrales,
\(F_s=\frac{s_1^2}{s_2^2}=\)
(3^2)/(2^2)## [1] 2.25y verificamos si este se encuentra en la zona de no rechazo. Calculamos esta como
qf(0.05/2,79,39)## [1] 0.5926426qf(1-0.05/2,79,39)## [1] 1.776546de forma que esta viene dada por el intervalo (0.5926426, 1.776546). Como \(F_s\) se encuentra fuera del intervalo, rechazamos \(H_0\) ya que las diferencias de ambas muestras son significativamente diferentes.
Por el apartado c, sabemos que \(\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2\). Por tanto, lo calculamos mediante la fórmula para el intervalo de confianza para la diferencia de medias con desviaciones típicas desconocidas y distintas
\((\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\frac{\alpha}{2};v} \times \sqrt {\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}=\)
nu=floor((((3^2/80)+(2^2/40))^2)/(round(((3^2/80)^2)/(79))+round(((2^2/40)^2)/(39))))
1-qt(0.01/2,nu)*sqrt((3^2/80)+(2^2)/40)## [1] 2.1873991+qt(0.01/2,nu)*sqrt((3^2/80)+(2^2)/40)## [1] -0.1873986Por tanto, dicho intervalo viene dado por (-0.1873986, 2.187399), y como 0 pertenece a dicho intervalo, las medias no son significativamente diferentes.
Vídeo con las explicaciones.