Probabilidad

En una carrera de coches participan tres escuderías: Ferrari, Mercedes y Red Bull. El 40% de los coches son de Ferrari, el 35% de Mercedes y el 25% de Aston Martin. El porcentaje de coches que abandonan la carrera por avería es del 5% para Ferrari, 3% para Mercedes y 7% para Aston Martin. Se elige un coche al azar. Calcular las siguientes probabilidades:

  1. Que abandone la carrera por avería. \(P(AV) = P(F)*P(AV/F) + P(M)*P(AV/M) + P(AM)*P(AV/AM) = 0.4*0.05 + 0.35*0.03 + 0.25*0.07 = 0.048\)

  2. Que no abandone la carrera por avería. Sabemos que es \(P(\overline{AV})= 1 - P(AV) = 1 - 0.048 = 0.952\)

  3. Si resulta que el coche abandona la carrera por avería, ¿qué probabilidad tiene de que sea de Aston Martin?

    \(P(AM/AV)=\frac{P(AM \cap AV)}{P(AV)}=\frac{P(AM)*P(AV/AM)}{P(AV)}=\frac{0.25*0.07}{0.048}=\frac{0.0175}{0.048}= 0.364583333\)

  4. Si resulta que el coche no abandona la carrera por avería, ¿qué probabilidad tiene de que sea de Mercedes?

    \(P(M/\overline{AV})=\frac{P(M \cap \overline{AV})}{P(\overline{AV})}=\)
    (sabemos que \(P(M)=P(M\cap AV)+P(M \cap\overline{AV})\), y despejando \(P(M \cap\overline{AV})=P(M)-P(M\cap AV))\)

    \(=\frac{P(M)-P(M \cap AV)}{P(\overline{AV})}=\frac{P(M)-P(M)*P(AV \cap M)}{P(\overline{AV})}=\frac{0.35 - 0.35*0.03}{0.952}= 0.356617\)
    o bien
    \(P(M/\overline{AV})=\frac{P(M \cap \overline{AV})}{P(\overline{AV})}=\frac{P(M)*P(\overline{AV}/M)}{P(\overline{AV})}=\frac{0.35*0.97}{0.952}=0.356617\)

Variable aleatoria

En una liga de fútbol, se seleccionan 4 equipos al azar para realizar un estudio sobre el número de partidos ganados en una temporada. Sea X una variable aleatoria discreta que representa el número de equipos que ganaron más de 10 partidos en la temporada, con los valores posibles x=0,1,2,3,4.Además sabemos que:

\(P(X=0)=0.1\)

\(P(X=1)=0.3\)

\(P(X=2)=0.3\)

\(P(X=3)=0.2\)

\(P(X=4)=0.1\)

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 equipos ganen más de 10 partidos?

\(P(X\geq 2)\)=\(P(X=2)\) + \(P(X=3)\) + \(P(X=4)\)

sum(0.3,0.2,0.1)
## [1] 0.6
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 equipos no ganen mas de 10 partidos?

\(P(X\leq 3)\)=\(P(X=0)\) + \(P(X=1)\) + \(P(X=2)\) + \(P(X=3)\)

sum(0.1,0.3,0.3,0.2)
## [1] 0.9

  1. Calcula la probabilidad de que haya mas de 2 equipos que ganen mas de 10 partidos sabiendo que hay mas de uno que los gana.

\(P(X> 2/X\geq1)\frac{P(X>3)}{P(X\geq1)}=\frac{P(X>2)}{P(X\geq1)}\)

Sabemos que: \(P(X>2) = 1-P(X\leq2) = 1-(P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))\)

Y a su vez:\(P(X\geq1) = 1-P(X<1)\) = \(1-P(X=0)\)

(1-sum(0.1,0.3,0.3))/(1-0.1)
## [1] 0.3333333
  1. Valor esperado de X.

Para obtenerlo tenemos que multiplicar cada valor de x por su valor de probabilidad y sumarlos todos,

\(\mu_{x}=0*P(X=0) + 1*P(X=1) + 2*P(X=2) + 3*P(X=3) + 4*P(X=4)\)

sum(0*0.1,1*0.3,2*0.3,3*0.2,4*0.1)
## [1] 1.9

***

Distribucion Normal

Se sabe que la presión de los balones que se usan en la final de la Champions League sigue una distribución normal con media 0.8 atm y desviación estándar 0.24 atm.

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que la presión de un balón sea menor o igual que 0.6 atm?

    \(P(X\leq 0.6)=\)

pnorm(0.6,0.8,0.24)
## [1] 0.2023284
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que la presión de un balón se encuentre entre 0.7 y 0.9 atm?
    \(P(0.9 \leq X\leq 0.7)=\)
pnorm(0.9,0.8,0.24)-pnorm(0.7,0.8,0.24)
## [1] 0.3230778
  1. Calcula la mediana de la variable X. ¿Encuentras algo interesante?
    Tenemos que calcular M tal que P(X<M)=0.5
qnorm(0.5,0.8,0.24)
## [1] 0.8

Sabemos que si X sigue una Distribución Normal, la mediana y la media coinciden.

  1. Calcula el cuantil del 20%.
    Tenemos que calcular M tal que P(X<M)=0.2
qnorm(0.2,0.8,0.24)
## [1] 0.5980109
  1. \(P(X \leq 0.9 / X\geq 0.5)\)
    \(P(X \leq 0.9 / X\geq 0.5)=\frac{P(X \leq 0.9 \cap X\geq0.5)}{P(X \geq 0.5)}=\frac{P(0.5 \leq X\leq 0.9)}{1-P(X \leq 0.5)}\)=(pnorm(0.9,0.8,0.24)-pnorm(0.5,0.8,0.24))/(1-pnorm(0.5,0.8,0.24))= 0.6215564

Inferencia estadistica

Un agrónomo está investigando la productividad de un nuevo tipo de fertilizante en el crecimiento de las plantas de sandia. La productividad se mide en términos de aumento de la masa de los frutos y se distribuye aproximadamente de manera normal, con una varianza de 800 g^2. Al tomar una muestra aleatoria de 15 plantas, se encuentra que la media muestral del aumento de masa es de 2500 g.

  1. Construir un intervalo de confianza del 95% para la productividad promedio del fertilizante en el aumento de la masa de los frutos
    Utilizaremos la formula para obtener el intervalo siendo la desviacion tipica conocida
    Mediante R, declaramos los datos conocidos
media=2500
alpha=0.05
n=15
sigma=sqrt(800)

Y resolvemos con la formula:

media-qnorm(1-alpha/2)*(sigma/sqrt(n))
## [1] 2485.686
media+qnorm(1-alpha/2)*(sigma/sqrt(n))
## [1] 2514.314

Por tanto el intervalo es: (2485.686, 2514.314)

  1. Construir un intervalo de confianza del 99% para la productividad promedio del fertilizante. Comparar el ancho de este intervalo de confianza con el ancho encontrado en el apartado anterior.
    Realizamos lo mismo que en el anterior apartado, pero en este caso nuestro nivel de significacion es 0.01:
media=2500
alpha=0.01
n=15
sigma=sqrt(800)

Y resolvemos con la formula:

media-qnorm(1-alpha/2)*(sigma/sqrt(n))
## [1] 2481.189
media+qnorm(1-alpha/2)*(sigma/sqrt(n))
## [1] 2518.811

Por tanto el intervalo es: (2481.189, 2518.811)

En conclusión,utilizando un α menor obtenemos un ancho de intervalo mayor con el que dejamos fuera menos observaciones.

  1. Se desea estimar la productividad del fertilizante con un error estándar menor que 20 g para un nivel de confianza del 99%. ¿Qué tamaño de muestra se debe emplear para este fin?
    Queremos el resultado de n en esta fórmula:
    \(z_{\alpha/2} * \frac{\sigma}{\sqrt{n}}<20\)
    Siendo \(z_{\alpha/2}\):
qnorm(1-(0.01/2))
## [1] 2.575829

Por tanto sustituimos en la formula y resolvemos:
\(2.575829 * \frac{\sqrt{800}}{\sqrt{n}}<20\)
\((2.575829 * \frac{\sqrt{800}}{20})^2<n\)

(2.575829 * (sqrt(800)/20))^2
## [1] 13.26979

En consecuencia, necesitamos un tamaño de muestra de al menos 14

Contraste de hipótesis

Tenemos los siguientes datos de pichichis de la Liga Española de fútbol que forman parte de una población normal: 26,28,29,30,32,33,34,35

  1. Plantea el contraste para saber si la media es 31
    Planteamos el siguiente contraste:
    \(H_{0}: \mu = 31\)
    \(H_{1}:\mu \neq 31\)

  2. Estudia el anterior contraste . ¿Crees que la media es 31?
    p-value = 0.9134

Muestra=c(26,28,29,30,32,33,34,35)
t.test(Muestra,mu=31)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  Muestra
## t = -0.11271, df = 7, p-value = 0.9134
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 31
## 95 percent confidence interval:
##  28.2526 33.4974
## sample estimates:
## mean of x 
##    30.875

Como el valor de p-valor>α no existe evidencia en contra de Ho. Si podemos decir que la media es 31 y las diferencias son debidas al azar.

Contraste de hipótesis

Un analista deportivo está investigando si un famoso delantero mantiene su promedio de goles por partido de 0.5 en la actual temporada. Para ello, se registra el número de goles marcados por el jugador en 20 partidos consecutivos. La media de goles por partido de la muestra es de 0.6 con una desviación típica de 0.2.

Para determinar si el jugador ha mantenido su rendimiento, planteamos el siguiente contraste:
\(H_{0}: \mu = 0.5\)
\(H_{1}:\mu \neq 0.5\)

Media_muestra = 0.6
desviacion = 0.2


#Como conocemos σ usamos zs = 

zs = (Media_muestra-0.5)/(desviacion/sqrt(20))

zs
## [1] 2.236068
# Nos encontramos en un test bilateral en la que α se encuentra en la parte derecha de la distribución, por lo que p-valor se calcula como:
p_valor = 2*(1-pnorm(abs(zs)))

p_valor
## [1] 0.02534732

Como el valor de p-valor<α existe evidencia estadistica en contra de Ho. Podemos decir que ha no mantenido su promedio de goles