1. uzdevums

Pieņemsim, ka tiek mesti 2 spēļu kauliņi. Aprēķināt, kāda ir varbūtība, ka uzkritušo skaitļu • summa ir vienāda ar 8 (notikums A); • reizinājums ir 12 (notikums B); • starpība pēc absolūtās vērtības nav mazāka par 2 (notikums C)

## [1] "varbūtība A 0.138888888888889"
## [1] "varbūtība B 0.111111111111111"
## [1] "varbūtība C 0.555555555555556"

2. uzdevums

No 50 eksāmena jautājumiem students ir iemācījies 30. Eksāmenā studentam jāatbild uz labu laimi izvēlēti jautājumi. Aprēķināt varbūtību notikumam, ka students zinās atbildi vismaz uz vienu jautājumu.

## [1] "Varbūtība, ka zinās atbildi vismaz uz 1 jautājumu. 0.941836734693878"

3. uzdevums

Nesens pētījums apliecināja, ka aptuveni 44.7% kādas koledžas studentu izmantoja Vikipēdiju vismaz vienā no saviem noslēguma darbiem. Apzīmēsim ar X studentu skaitu, kuri lietojuši Vikipēdiju izlasē, kura sastāv no n = 31 studenta.

  1. Kāds sadalījums ir gadījuma lielumam X?

Gadījuma lielumam X ir binomiāls sadalījums, jo pastāv 2 vērtība - ir vai nav lietojuši.

  1. Uzzīmēt varbūtību masas funkciju.

  1. Uzzīmēt sadalījuma funkciju.

  1. Atrast varbūtību, ka X ir vienāds ar 17.
## [1] "varbūtība, ka X ir vienāds ar 17 0.075322483863325"
  1. Atrast varbūtību, ka X ir lielāks par 11.
## [1] "varbūtība, ka X ir lielāks par 11 0.80203387250424"
  1. Atrast varbūtību, ka X ir vismaz 15.
## [1] "varbūtība, ka X ir vismaz 15 0.40602400318711"
  1. Atrast matemātisko cerību un standartnovirzi.
## [1] "matemātiskā cerība 13.857"
## [1] "standartnovirze 2.76819815042204"

4. uzdevums

Zemāk dotajiem gadījuma lielumiem uzzīmēt blīvuma funkciju f (x), ilustrēt un aprēķināt prasītās varbūtības. Visos gadījumos aprēķināt E(X) un D(X).

  1. X ∼ U [1, 5], varbūtības P (X ≤ 2.5), P (2.5 ≤ X ≤ 3.5);

## [1] "P (X ≤ 2.5) 0.375"
## [1] "P (2.5 ≤ X ≤ 3.5) 0.25"
## [1] "E(X) 3"
## [1] "D(X) 1.33333333333333"
  1. X ∼ N (1, 4), varbūtības P (−1 < X < 3), P (−3 < X < 5), P (X ≥ 4.3);

P_X_1_3 <- pnorm(3, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(-1, mean = mu, sd = sigma)
P_X_3_5 <- pnorm(5, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(-3, mean = mu, sd = sigma)
P_X_43 <- 1 - pnorm(4.3, mean = mu, sd = sigma)

# E(X) un D(X)
E_X_b <- mu
D_X_b <- sigma^2

print(paste("P (−1 < X < 3)", P_X_1_3))
## [1] "P (−1 < X < 3) 0.682689492137086"
print(paste("P (−3 < X < 5)", P_X_3_5))
## [1] "P (−3 < X < 5) 0.954499736103642"
print(paste("E(X)", E_X_b))
## [1] "E(X) 1"
print(paste("D(X)", D_X_b))
## [1] "D(X) 4"
  1. X ∼ exp(0.5), varbūtības P (X ≤ 4), P (X ≥ 1).

## [1] "P (X ≤ 4) 0.864664716763387"
## [1] "P (X ≥ 1) 0.606530659712633"
## [1] "E(X) 2"
## [1] "D(X) 4"

5. uzdevums

Ielasīt programmā R starplaiku datus, kas atrodas 218.lpp no grāmatas. Ko apraksta šie starplaiki?

Šie straplaiki apraksta novērotos kļūdu starplaikus CPU sekundēs konkrētai programmatūras sistēmai. (Vai tamlīdzīgi)

Veikt aprakstošo statistisko analīzi (histogramma, izlecēji, kastu grafiki, kvantiļu - kvantiļu grafiki, empīriskā sadalījuma funkcija, mediāna, vidējā vērtība un moda, vai ir simetrija utt);

print(paste("mediāna", median(uzd_5)))
## [1] "mediāna 290"
print(paste("vidējā vērtība", mean(uzd_5)))
## [1] "vidējā vērtība 656.881481481482"

Izvirzīt hipotēzi par sadalījuma vaidu. Novērtēt paramerus un pievienot histogrammai attiecīgo blīvuma funkciju.

Balstoties uz histogrammā redzamo datiem varētu būt Chi-Squared sadalījums vai Log-normāls sadalījums, vai eksponenciāls sadalījums.

Piemeklēt attiecīgu testu programmā R, kas dod attiecīgo p-vērtību. Izdarīt secinājumus. Tiks izmantots Shapiro-Wilk normalitātes tests.

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  log_uzd_5
## W = 0.97378, p-value = 0.01174
## [1] "p-vērtība < 0,05, tātad varam noraidīt nulles hipotēzi un dati nav log-normāla sadalījuma"

Eksponenciālā sadalījuma hipotēzi pārbaudām ar Kolmogorova-Smirnova testu.

## Warning in ks.test.default(uzd_5, "pexp", rate = 1/fit$estimate): ties should
## not be present for the Kolmogorov-Smirnov test
## 
##  Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  uzd_5
## D = 1, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two-sided
## [1] "p-vērtība < 0,05, tātad varam noraidīt nulles hipotēzi un dati nav eksponenciāla sadalījuma"

6. uzdevums

Ielasīt programmā R datus no serverī ieliktā excel faila (tukšās jeb trūkstošās datu vietas R programma saprot, ja ieraksta simbolu NA, kas nozīmē not available). Šie dati ņemti no viena projekta, kas atspoguļo dažādu Latvijas skolu bērnu lasītprasmi.

  1. Konstruēt kastu grafikus lasītprasmei (vārdi/min) atkarībā no vecuma vienā grafikā. No kura vecuma lasīprasme varētu vairs nemainīties? Skatoties pēc kastu grafikiem, es teiktu, ka no 12 gadu vecuma lasītprasme vairs īpaši nemainās.

  1. Vai datiem varētu būt normālais sadalījums? Pamatot atbildi ar aprakstošās statistiskas palīdzību (var papildus aprēķinā p-vērtību Šapiro testa normalitātes pārbaudei).

Apskatīšos grafiski. Grafiski izskatās, ka nav normāls sadalījums, jo neveidojas zvanveida forma.

Pārbaude ar Šapiro testu.

# Veikt Šapiro-Vilka testu normālā sadalījuma pārbaudei
shapiro.test(data$`Vārdi/min R`)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  data$`Vārdi/min R`
## W = 0.98028, p-value = 9.704e-16
print(paste("p-vērtība < 0,05, tātad varam noraidīt nulles hipotēzi un dati nav normāla sadalījuma"))
## [1] "p-vērtība < 0,05, tātad varam noraidīt nulles hipotēzi un dati nav normāla sadalījuma"
  1. Konstruēt kastu grafikus lasītprasmei gan meitenēm, gan zēniem atsevišķi. Vai ir novērojamas atšķirības? Nav novērojamas izteiktas atšķirības starp dzimumiem.
## 
## Attaching package: 'dplyr'
## The following object is masked from 'package:MASS':
## 
##     select
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

  1. Līdzīgu analīzi veikt par TMT (trail making test) testu, kurš arī veikts bērniem. No kura vecuma tests neuzrāda atšķirības? Pamatot atbildi. Kādu testu vai hipotēžu pārbaudi būtu korekti veikt šājā gadījumā?

TMT testa rezultāti salīdzināti tāpat kā iepriekš lasītpramses rezultāti pēc vecumiem. Pieaugot vecumam ir mazāka rezultātu izkliede un rezultāti kopumā uzlabojas. Līdzīgi kā, vismaz vizuāli secinot, ar lasītprasmi - tā īpaši vairs nemainās pēc 12 gadu vecuma, tāpat ir arī ar TMT testu, Ap 12 gadiem rezultāti stabilizējas. Arī starp dzimumiem nenovēro atšķirības.

Lai salīdzinātu lasītprasmes un TMT testu rezultātus būtu iespējams veikt MANOVA, lineārās regresijas, pāru salīdzinājumu vai korelācijas analīzes metodes.