El presente trabajo tiene como objetivo ilustrar a los estudiantes del curso de probabilidad un fragmento del artículo publicado por el diario EL PAÍS de España, en el que se reconoce a Michael Talagrand, galardonado con el Premio Abel, considerado el “Nobel de las Matemáticas” (ver la información completa en el siguiente enlace https://elpais.com/ciencia/2024-03-20/nobel-de-matematicas-para-el-investigador-que-ilumino-la-improbabilidad-de-que-una-moneda-lanzada-1000-veces-salga-cara-en-600.html. ). En uno de los párrafos, se destaca la contribución de Talagrand al estudio de fenómenos aleatorios.

“Un ejemplo clásico dice que, si se tira una moneda al aire 1.000 veces, habrá un 99,7% de probabilidades de que salga cara en más de 450 lanzamientos, pero menos de 550. La probabilidad de que salga cara más de 600 veces es de millonésimas de un 1%.”

Así que nos proponemos demostrar vía simulación de Monte Carlos el anterior enunciado.

Simularemos el lanzamiento de una moneda 1000 veces y se contará el número de caras obtenidad, se replicará el experimento en \(n=10.000\) y \(n=100.000\), se contarán las veces en se obtiene resultados mayores a 450 cara y menores a 550 caras, y determinaremos la frecuencia relativa para obtener la \(P(450 \leq X \leq 550)\) de forma impírica, similarmente calcularemos la frecuencia relativa de obtener caras 600 veces o más.

Cabe mencionar que no haremos uso de distribuciones ( Bernoulli o Binomial) para la simulación , todo los resultados son obtenidos impíricamente.

num_caras<- function(n){
  # variable indicadora: 1 si es cara , 0 si es sello
moneda <- c(1, 0)
resultados <- numeric(n)
for(i in 1:n){
resultados[i] <- sum(sample( moneda,1000,replace = T)==1) # contamos el número de caras
  
}
Histograma <- hist(resultados,col=4,breaks=30,main="Distribución del número de caras al lazar una moneda 1000 veces",prob=T)
abline(,v=c(450,550),col="red",lty=2) 

A <- resultados[resultados >450 & resultados < 550]
frA <- (length(A)/length(resultados)) # frecuencia relativa (número de caras entre (450 a 550)

cat("La probabilidad de que se obtenga más de 450 y menos de 550 caras es",frA)

B<- resultados[resultados >= 600]
frB <- (length(B)/length(resultados))

cat(" y La probabilidad de que se obtenga 600 o más  caras es",frB)
}

Repitiendo el experimento 10000

num_caras(10000)

## La probabilidad de que se obtenga más de 450 y menos de 550 caras es 0.9983 y La probabilidad de que se obtenga 600 o más  caras es 0

Para una réplica de 10000 veces el experimento, vemos que lo mencionado en el artículo se cumple,

ahora lo realizaremos para \(n=100.000\)

num_caras(100000)

## La probabilidad de que se obtenga más de 450 y menos de 550 caras es 0.99826 y La probabilidad de que se obtenga 600 o más  caras es 0