EJERCICIOS PRUEBAS DE HIPOTESIS

Ejercicio 1

En un estudio que tuvo por objeto probar la eficacia de una nueva medicina para el tratamiento de la artritis reumatoide, 73 pacientes de esa enfermedad, entre los 18 y los 75 años, fueron divididos en tres grupos. A los pacientes de un grupo se les administró una alta dosis de la medicina; a los pacientes de otro grupo, una dosis baja y a los del tercer grupo, un placebo. Después de cuatro semanas, 19 de los 24 pacientes del grupo de alta dosis dijeron sentirse mejor, mientras que 11, de los 25 pacientes del grupo de baja dosis y 2 de los 24, en el grupo de placebo, se sintieron mejor. ¿Es mayor la proporción de pacientes que se sintieron mejor en el grupo de alta dosis que la de pacientes del grupo de baja dosis?

En este ejercicio, utilizar un nivel de significancia del 5% y hallar el P-valor.

Ejercicio 2

Un director de recursos humanos decide investigar la percepción de los empleados sobre la equidad de dos métodos de evaluación del desempeño. Para probar las diferencias entre los dos métodos, se asignaron al azar 160 empleados para ser evaluados con uno de los métodos: 78 se asignaron al método 1, donde los individuos proporcionan retroalimentación al supervisor como parte del proceso de autoevaluación; 82 se asignaron al método 2, donde los individuos aportan la autoevaluación de su desempeño. Después de las evaluaciones, se preguntó a los empleados si consideraban justa o injusta la evaluación del desempeño. De los 78 empleados del método 1, 63 dijeron que era justa y 49 de los 82 empleados en el método 2 lo afirmaron igualmente. Con 0,05 de nivel de significancia, ¿existen indicios de una diferencia significativa entre los dos métodos en cuanto a la proporción de los que dijeron que era justo?

Hallar el p-valor.

Ejercicio 3

Se tomaron muestras aleatorias de residentes de una gran ciudad, cuyo alcalde está promoviendo un plan para generar microempresas. De una muestra de 67 residentes que no habían terminado el bachillerato, 11 habían participado en el plan promovido por el actual alcalde. De otra muestra aleatoria independiente de 113 residentes que habían terminado el bachillerato pero no habían ingresado en la universidad, 27 participaron en el programa. Contraste, al nivel de significancia del 1%, la hipótesis nula de que las tasas de participación son las mismas para los dos grupos, frente a la alternativa de que la tasa es menor para los que no han terminado el bachillerato.

Hallar también el P-valor.

Ejercicio 4

La tabla de abajo muestra los puntajes de una prueba diagnóstica de 12 personas a quienes se les diagnosticó inhabilidad para un puesto laboral antes y después de 9 meses de la iniciación de un programa remedial. ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente para concluir que el programa remedial logra aumentar los puntajes de la prueba de diagnóstico en este tipo de personas? Utilice un nivel de significancia de 0,05 y suponga que las poblaciones en cuestión son normales.

Par 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Antes 100 105 107 101 108 90 96 90 105 97 103 99
Despues 116 118 125 123 116 100 106 101 108 103 106 112

Hallar también el P-valor

Ejercicio 5

Un sicólogo seleccionó al azar a 15 parejas de esposos de cierta ciudad y les solicitó que completaran un cuestionario para medir el nivel de satisfacción respecto de la gestión del presidente actual. La tabla de abajo muestra los resultados de la encuesta. ¿Proporcionan estos datos una indicación de que los esposos de ese sector están más satisfechos con el presidente actual que sus esposas? Utilice un nivel de significancia de 0,05 y suponga que las poblaciones en cuestión son normales.

Par 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Antes 33 57 32 54 52 34 60 40 59 39 40 59 44 32 55
Despues 44 60 55 68 40 48 57 49 47 52 58 51 66 60 68

Hallar también el P-valor

Ejercicio 6

Un nuevo método de estudio para elevar las calificaciones de matemáticas en las pruebas de estado se usó en diez estudiantes de último grado elegidos aleatoriamente, que ya habían presentado el examen una vez. Para verificar la efectividad del método, se volvió a someter a la prueba a los diez estudiantes. Sus calificaciones (en escalas de 1 a 1.000) antes y después aparecen en la tabla adjunta:

Estudiantes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes 588 592 606 619 600 597 596 610 598 613
Después 588 610 607 623 591 599 599 612 607 610

Si se supone que los puntajes diferencia antes-después se distribuyen normalmente con \(\mu\)d = 0, ¿proporcionan los datos de la tabla adjunta evidencia suficiente para indicar que el método fue efectivo? Use \(\alpha\) = 0,05.

Hallar también el P-valor.

Ejercicio 7

Un empresario está interesado en conocer los efectos sobre las ventas de unos costosos planes de publicidad para sus productos. El empresario plantea vender 20 productos diferentes y elige aleatoriamente diez de ellos para aplicarles el plan de publicidad más costoso. A los diez restantes se les hace una publicidad sencilla. Para aquellos con publicidad cara, el promedio de ventas durante el primer año fue de 9,254 millones de pesos con una desviación típica de 2,107 millones de pesos. Para los productos con publicidad tradicional, el promedio de venta durante el primer año fue de 8,167 millones de pesos con una desviación típica de 1,681 millones de pesos. Asumiendo que las dos poblaciones tienen distribución normal con la misma varianza, contraste la hipótesis nula de que las dos medias poblacionales son iguales frente a la alternativa de que la verdadera media es mayor para los productos con publicidad cara. Use un nivel de significancia del 10%.

Hallar también el P-valor.

Ejercicio 8

Se llevó a cabo un estudio comparativo entre las entidades de crédito que hay en las ciudades A y B. Para lo cual se eligió una muestra de 145 parejas de entidades de crédito. Cada pareja contenía una entidad de la ciudad A y una de la B. Los emparejamientos se hicieron de forma que los dos miembros fuesen lo más parecidos posible en factores tales como el tamaño y la antigüedad y en cada entidad se calculó el cociente entre el endeudamiento total y el activo. Las diferencias (los correspondientes a A menos los de B) muestrales fueron de 0,0518, con una desviación típica de 0,3055. Contraste, frente a una alternativa bilateral, la hipótesis nula de que las dos medias poblacionales son iguales. Use un nivel de significancia del 5%.

Hallar también el P-valor.

Ejercicio 9

Se solicitó a dos muestras independientes de amas de casa con vivienda propia y de amas de casa que viven arrendadas, respectivamente, que valorasen, en una escala de 1 (totalmente en desacuerdo) a 4 (totalmente de acuerdo), la afirmación: “El ingreso que reciben sus esposos alcanza para vivir sin problemas en esta sociedad”. Para una muestra de 202 propietarias, la respuesta media fue de 2,83, con una desviación típica de 0,89. Mientras que, para una muestra aleatoria de 291 arrendadas, la respuesta media fue de 3,00, con una desviación típica de 0,67. Contraste la hipótesis nula consistente en que las medias poblacionales son iguales, frente a la alternativa de que la media es mayor para las arrendadas.

Hallar también el P-valor.

Ejercicio 10

Se lleva a cabo un estudio para el incremento porcentual salarial en dos ciudades europeas, A y B. La experiencia pasada indica que la distribución de los incrementos porcentuales salariales en ambas ciudades es aproximadamente normal, pero que la varianza de los incrementos para los trabajadores de la ciudad B es menor que los de los trabajadores de la ciudad B. Una muestra aleatoria de incrementos salariales para 11 trabajadores de la ciudad A y 14 trabajadores de la ciudad B produce los siguientes datos: \(s_{A}\) = 6,1 y \(s_{B}\) = 5,3. Pruebe la hipótesis de que \(\sigma_{A}^{2} = \sigma_{B}^{2}\) contra la alternativa de que \(\sigma_{A}^{2} > \sigma_{B}^{2}\) utilice un nivel de significancia de 0,01.

Hallar también el P-valor.

Ejercicio 11

Se realiza un experimento con dos máquinas diferentes para comparar el contenido porcentual de ácido cítrico en cierta bebida. La producción se supervisa ocho veces al día y los datos son los siguientes:

Máquina1 0,48 0,39 0,42 0,52 0,40 0,48 0,52 0,52
Máquina2 0,38 0,37 0,39 0,41 0,38 0,39 0,40 0,39

Suponga que ambas poblaciones son normales. Se sospecha que la máquina 1 no produce con la consistencia de la máquina 2 en términos de contenido porcentual de ácido cítrico. Pruebe la hipótesis de que \(\sigma_1 = \sigma_2\) contra la alternativa \(\sigma_1 \neq \sigma_2\). Utilice un nivel de significancia de 0,10.

Hallar también el P-valor.

Ejercicio 12

Se seleccionaron al azar 20 autos de dos modelos diferentes y se registraron sus niveles de emisión de hidrocarburos. Los datos son:

Modelos 2005: 494 306 210 105 880 141 359 247 940 882 940 241 190 300 435 241 380 200 223 188
Modelos 2006: 20 223 60 20 95 360 70 140 160 20 235 380 200 175 85 65 220 400 217 58

Pruebe la hipótesis de que \(\sigma_1 = \sigma_2\) contra la alternativa de que \(\sigma_1 \neq \sigma_2\). Suponga que ambas poblaciones son normales y utilice un nivel de significancia de 0,10.

Hallar también el P-valor.

Ejercicio 13

Demostrar el teorema de abajo.

Teorema 3.8.3 Consideremos un procedimiento de prueba para la media poblacional suponiendo que la población es normal con varianza conocida \(\sigma^2\), \(\mu^{\prime}\) es un valor alternativo y n es el tamaño de una muestra seleccionada al azar, entonces, la probabilidad \(\beta(\mu^{\prime})\) del error de tipo II para una prueba de nivel a viene dada del siguiente modo:

Aqui \(\Phi\) es la función de distribución acumulada normal estándar y \(Z' = \frac{{\mu_0 - \mu'}}{{\sigma/\sqrt{n}}}\)

Ejercicio 14

Demostrar el teorema de abajo.

Teorema 3.8.5 Consideremos un procedimiento de prueba para la proporción poblacional. Si \(p'\) es un valor alternativo y n es el tamaño de una muestra seleccionada al azar, entonces, la probabilidad \(\beta(\mu^{\prime})\) del error de tipo II para una prueba de nivel \(\alpha\) viene dada como se muestra a continuación:

Aquí \(\Phi\) es la función acumulada normal estándar.

Ejercicio 15

Demostrar el teorema de abajo.

Teorema 3.8.7 Consideremos un procedimiento de prueba para la diferencia de dos medias poblacionales \(\mu_1\) y \(\mu_2\), respectivamente, suponiendo que las poblaciones en cuestión son normales con varianzas conocidas \(\sigma_{1}^{2}\) y \(\sigma_{2}^{2}\), respectivamente. Si \(d'\) es un valor alternativo de \(\mu_1\) - \(\mu_2\) y \(n_1\) y \(n_2\) son los tamaños de dos muestras independientes, seleccionadas al azar de cada población, entonces, la probabilidad \(\beta(d^{\prime})\) del error de tipo Il para una prueba de nivel \(\alpha\) viene dada como se muestra a continuación:

Aquí \(\Phi\) es la función de distribución acumulada normal estándar y \(Z' = \frac{{d_0 - d'}}{{\sqrt{\frac{{\sigma_1^2}}{{n_1}} + \frac{{\sigma_2^2}}{{n_2}}}}}\)

SOLUCIÓN