Cátedra de Biometría y Técnica Experimental
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Trabajo Práctico N° 4: Distribución Binomial y Poisson
Motivación
Muchas veces en la labor profesional deberán resolver situaciones que
implican analizar y tomar decisiones basadas en datos relacionados con
la producción agropecuaria. En este sentido, comprender la distribución
Binomial y de Poisson es fundamental para abordar una amplia gama de
problemas.
La distribución Binomial es una distribución de probabilidades para
variables discretas que nos permite modelar situaciones en las que
realizamos un número fijo de pruebas independientes, cada una con dos
resultados posibles (éxito o fracaso), y nos interesa contar el número
total de éxitos obtenidos. ¿Se imaginan cuántas aplicaciones prácticas
tiene esto en la agricultura? Desde evaluar la germinación de semillas
hasta estudiar la eficacia de tratamientos agrícolas.
Por otro lado, la distribución Poisson es otra distribución es utilizada
para analizar eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio
fijo ¿Se han preguntado cómo se modela la cantidad de plagas en un
campo, la llegada de pedidos de insumos agrícolas o la ocurrencia de
enfermedades en un cultivo? Poisson proporciona las herramientas
necesarias para entender y prever estos fenómenos.
Definición
Distribución Binomial
Si se realiza \(n\) veces un experimento de Bernoulli con probabilidad de éxito \(p\) y si \(X\) denota al número total de éxitos obtenidos, entonces, la probabilidad de que se obtengan \(k\) éxitos está dada por la función de probabilidad \(f\):
\[ \boxed{ \large f(k) = P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad \text{} k=0,1,2, \ldots, n } \]
donde:
\(n\) es el número total de ensayos
\(k\) es el número de éxitos
\(p\) es la probabilidad de éxito en cada ensayo
\(1-p\) es la probabilidad de fracaso en cada ensayo
Esta función describe la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos en \(n\) ensayos.
Distribución Poisson
Es una distribución de probabilidad para variables discretas que expresa la probabilidad de ocurrencia de un determinado número de evento durante un intervalo de tiempo o espacio, a partir de una frecuencia de ocurrencia media conocida.
La función de probabilidad de la distribución de Poisson está dada por:
\[ \boxed{ \large f(k) = P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad \text{para } k=0,1,2, \ldots } \]
donde:
\(k\): número de eventos
𝜆: tasa de ocurrencia de eventos por unidad de tiempo o espacio.
\(e\): valor constante, base de los logaritmos naturales cuyo valor es 2,71728.
Esta función describe la probabilidad de observar exactamente \(k\) eventos en un intervalo dado.
Actividades
Ejercicio 1. Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas:
El peso del grano producido por una hectárea en una cosecha
Precipitación anual en una localidad del departamento Belén
El número de huevos que una gallina pone mensualmente
Número de semillas de maíz por metro de surco sembrado
Cantidad de semillas no germinadas en muestras de 100 semillas
Número de ácaros presentes en frutos de limón
Ejercicio 2. El poder germinativo se refiere a la capacidad de las semillas para germinar y desarrollar plántulas normales. Se expresa como el porcentaje de semillas que han logrado germinar y desarrollar una plántula normal cuando se exponen a condiciones ambientales ideales para su crecimiento. El propósito de realizar el análisis de germinación es evaluar la capacidad de un lote de semillas para germinar. Esto nos permite, por ejemplo, comparar la calidad entre diferentes lotes de semillas y también nos ayuda a estimar la cantidad de semillas que se deben sembrar en el campo.
¿Cómo se calcula el poder germinativo?
El poder germinativo se calcula dividiendo el número de semillas que han germinado y desarrollado plántulas normales por el total de semillas analizadas, y luego multiplicando el resultado por 100 para obtener el porcentaje. La fórmula para calcularlo es:
\[ PG = \left(\frac{Número \, de \, semillas \, germinadas}{Total \, de \, semillas \, analizadas}\right) \times 100 \]
La etiqueta de una bolsa de semillas dice que su poder germinativo es del 98,0 %. Para evaluar esta especificación, tomaremos de la bolsa 10 semillas al azar y las mantendremos por separado en condiciones adecuadas para la germinación. Al cabo de 7 días, contaremos y registramos el número de semillas que hayan germinado. La variable de interés es “Número de semillas germinadas”.
Responder:
¿Por qué es considerada una variable aleatoria? ¿Qué valores puede tomar la v.a.?
¿Qué modelo de distribución de probabilidad corresponde a la variable aleatoria?
¿Qué valor debe tener la probabilidad de que germinen todas las semillas?
¿Qué valor debe tener la probabilidad de que quede una semilla sin germinar?
¿Qué valor debe tener la probabilidad de que germinen más de 8 semillas?
¿Cuál es la probabilidad de que no germine ninguna?
Calcule la Esperanza y la Varianza e interprete el resultado.
Ejercicio 3. Se conoce por experiencias anteriores que, en una finca citrícola, el 30,0 % de las plantas de naranja Valencia (Citrus sinensis “Valencia”), son atacadas por un insecto denominado cochinilla roja australiana (Aonidiella aurantii Maskell). Está plaga, es considerada como una plaga clave de los cítricos en la región del Noroeste Argentino (NOA), que afecta al cultivo. Si se toma una muestra de 15 frutas en una finca.
¿Cuál será la probabilidad de que?:
Todas se encuentren sin ataque
A lo sumo 3 plantas fueron atacadas.
Más de diez plantas fueron atacadas.
Al menos 1 planta fue atacada
Más de 1 pero menos de 5 plantas fueron atacadas.
¿Cuál es el número esperado de árboles enfermos en la muestra? ¿Cuál es la varianza? Interpretar.
Ejercicio 4. La distribución de parásitos en 1 cm³ de hígado de cerdos, se comporta de acuerdo al modelo de Poisson con media número de parásitos/cm³ = 0,05. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos 1 parásito en un hígado de volumen 50 cm³?
Ejercicio 5. Si el número promedio de picaduras de gorgojo por semilla es 0.2 (es decir, por ejemplo, que en promedio cada 100 semillas se cuentan 20 picaduras),
¿cuántas de 100 semillas no tendrán picaduras?,
¿cuántas 1 picaduras?
¿cuántas 2 o más picaduras?
Ejercicio 6. Un dosificador de ácido altamente concentrado, libera 20 gotas por minuto de dicho ácido en el agua de riego, con el fin de realizar la limpieza de los goteros y evitar que se obstruyan.
Responder:
¿Qué modelo de distribución de probabilidades puede emplearse para calcular probabilidades?
¿Cuál es la probabilidad de que se liberen 10 gotas en un minuto?
¿Cuál es el valor esperado de la media?
¿Cuál es la probabilidad de que se liberen 30 gotas en un minuto?
¿Cuál es la probabilidad de que se liberen como máximo 10 gotas en un minuto?
¿Cuál es la probabilidad de que se liberen 10 gotas en un medio minuto?
Ejercicio 7. En la siguiente gráfica, pueden observarse las respuestas de los estudiantes a la pregunta acerca del Género, realizada en la encuesta de opinión llevada a cabo con los estudiantes de la asignatura “Estadística y Biometría, cohorte 2024”.
Responder:
a. Clasifique la variable
b. ¿Hay solo resultados posibles?
c. ¿Es un proceso independiente? ¿Por qué?
d. Si decido extraer una muestra al azar de 10 estudiantes, obtenga las siguientes probabilidades:
d.1. Si mi éxito fuera encontrar todas mujeres ¿Cuánto valdría 𝜋? ¿Cuál es la probabilidad de que todas
sean del género Femenino?
d.2. Si mi éxito fuera encontrar todos hombres ¿Cuánto valdría 𝜋? ¿Cuál es la probabilidad de que todas
sean del género Masculino?
e. Calcule e interprete la Esperanza en ambos casos.