Ejemplo de Covarianza

Vamos a crear dos variables, la primera va a ser la presión sanguínea (\(\bar{X}\) de 105) y la segunda va a ser el peso (\(\bar{Y}\) de 165).

# Cargar el paquete MASS si no está cargado
if (!requireNamespace("MASS", quietly = TRUE)) {
  install.packages("MASS")
}
library(MASS)

# Establecer la semilla para reproducibilidad
set.seed(123)

# Generar datos con covarianza cercana a 1
# Número de observaciones
n <- 1000

# Media de las variables
mu <- c(105, 165)

# Matriz de covarianza
# Establecemos una covarianza de 0.9
Sigma <- matrix(c(1, 0.9, 0.9, 1), ncol = 2)

# Generar datos de una distribución multivariada normal
datos <- mvrnorm(n, mu, Sigma)

X<-datos[,1]; head(X)

## [1] 104.6764 105.0082 106.5233 105.0983 105.6961 106.4390

Y<-datos[,2]; head(Y)

## [1] 164.2310 164.5431 166.5152 165.0392 164.5560 166.9043

# Estimar la covarianza 
print("Covarianza: ")

## [1] "Covarianza: "

cov(datos[,1],datos[,2])

## [1] 0.8833139

cov(datos[,2],datos[,1])

## [1] 0.8833139

# Verificar la covarianza de los datos generados
matriz_covarianza <- cov(datos)

print("Matriz de Covarianza: ")

## [1] "Matriz de Covarianza: "

print(matriz_covarianza)

##           [,1]      [,2]
## [1,] 0.9475140 0.8833139
## [2,] 0.8833139 1.0230022

cor(): Esta función calcula la matriz de correlación entre las columnas de un dataframe o una matriz. La correlación es una medida estandarizada que indica la fuerza y la dirección de la relación lineal entre dos variables. La matriz de correlación resultante tendrá coeficientes de correlación que varían entre -1 y 1. Un valor de 1 indica una correlación positiva perfecta, -1 indica una correlación negativa perfecta, y 0 indica ausencia de correlación. La función cor() es útil para evaluar la relación lineal entre variables y para identificar patrones en los datos.

cov(): Esta función calcula la matriz de covarianza entre las columnas de un dataframe o una matriz. La covarianza es una medida que indica la dirección y la fuerza de la relación lineal entre dos variables, pero no está estandarizada como la correlación. Los valores de covarianza pueden variar ampliamente dependiendo de las unidades de medida de las variables. La función cov() es útil para evaluar la magnitud y la dirección de la relación entre variables, pero no proporciona una medida estandarizada de la fuerza de la relación.

Limitaciones del Coeficiente de Correlación

• Linealidad: El coeficiente de correlación solo mide relaciones lineales. Si la relación entre dos variables es no lineal (por ejemplo, cuadrática, exponencial), el coeficiente de correlación puede no capturar adecuadamente la fuerza de la relación. Al trazar los datos, puedes inspeccionar visualmente la relación y determinar si es lineal o no.

• Valores atípicos: El coeficiente de correlación es sensible a los valores atípicos. Algunos puntos de datos extremos pueden afectar enormemente el valor del coeficiente de correlación, lo que lleva a una interpretación engañosa de la relación entre las variables. Al trazar los datos, puedes identificar y abordar los valores atípicos antes de calcular el coeficiente de correlación.

• Distribución normal: El coeficiente de correlación de Pearson asume que ambas variables están distribuidas normalmente. Si los datos no siguen una distribución normal, el coeficiente de correlación puede no ser una medida adecuada de la relación entre las variables. Visualizar los datos mediante histogramas o gráficos Q-Q puede ayudarte a evaluar la normalidad de los datos.

• Homocedasticidad: El coeficiente de correlación de Pearson asume que la varianza de una variable es constante en diferentes valores de la otra variable (homocedasticidad). Si los datos muestran heterocedasticidad (es decir, la varianza de una variable cambia en diferentes valores de la otra variable), el coeficiente de correlación puede no ser una medida precisa de la relación. Al trazar los datos, puedes inspeccionar visualmente la homocedasticidad.

Homocedasticidad y Heterocedasticidad.

Existen diferentes tipos de coeficientes de correlación, siendo los dos principales el coeficiente de correlación de Pearson y el coeficiente de correlación de Spearman.

Correlación de Pearson

Coeficiente de Correlación de Pearson: Este coeficiente, representado por rr, se utiliza cuando ambas variables estudiadas siguen una distribución normal. Mide la relación lineal entre dos variables. Sin embargo, es sensible a valores atípicos, que pueden distorsionar la fuerza de la relación.

Los pares de datos (x,y)(x,y) de la muestra son continuos y tienen una distribución normal.
El examen visual del diagrama de dispersión debe confirmar que los puntos aproximan un patrón de línea recta.
Dado que los resultados pueden ser fuertemente afectados por la presencia de valores atípicos, cualquier valor atípico debe ser eliminado si se sabe que son errores.

Valor p ≤ α: Apoya la afirmación de una correlación lineal.
Valor p > α: No respalda la afirmación de una correlación lineal.

Ejemplo de Correlación:

Para el siguiente ejemplo utilizaremos la base de datos de DJ Navarro (2018). Learning statistics with R: A tutorial for psychology students and other beginners. (Version 0.6). https://learningstatisticswithr.com. Las bases de datos se encuentran disponibles en https://github.com/djnavarro/rbook/tree/main/original.

A partir de la base de datos parenthood.Rdata

if (!requireNamespace(c("psych", "ggplot2", "cowplot", "ggpubr"), quietly = TRUE)) {
  install.packages(c("psych", "ggplot2", "cowplot", "ggpubr"))
}


library(psych)
library(ggplot2)

## 
## Attaching package: 'ggplot2'

## The following objects are masked from 'package:psych':
## 
##     %+%, alpha

library(cowplot)
library(ggpubr)

## 
## Attaching package: 'ggpubr'

## The following object is masked from 'package:cowplot':
## 
##     get_legend

# Cargar la base de datos
load('./data/parenthood.Rdata')

Verificar si las variables a comparar son continuas

describe(parenthood)

##            vars   n  mean    sd median trimmed   mad   min    max range  skew
## dan.sleep     1 100  6.97  1.02   7.03    7.00  1.09  4.84   9.00  4.16 -0.29
## baby.sleep    2 100  8.05  2.07   7.95    8.05  2.33  3.25  12.07  8.82 -0.02
## dan.grump     3 100 63.71 10.05  62.00   63.16  9.64 41.00  91.00 50.00  0.43
## day           4 100 50.50 29.01  50.50   50.50 37.06  1.00 100.00 99.00  0.00
##            kurtosis   se
## dan.sleep     -0.72 0.10
## baby.sleep    -0.69 0.21
## dan.grump     -0.16 1.00
## day           -1.24 2.90

Verificar si hay homocedasticidad

ggplot(data = parenthood, aes(x = dan.sleep, y = dan.grump)) +
  geom_point() +
  labs(x = "Sueño del papá", y = "Mal humor del papá")

ggplot(data = parenthood, aes(x = baby.sleep, y = dan.grump)) +
  geom_point() +
  labs(x = "Sueño del bebe", y = "Mal humor del papá")

Verificar si los datos poseen normalidad

Existen diversos métodos visuales y numéricos para evaluar la normalidad. Para este conjunto de datos utilizaremos una evaluación de la distribución de las frecuencias en un histograma, elaboraremos un gráfico de cuantiles (Q-Q plot) y realizaremos una prueba de Shapiro-Wilk.

sleep.1 <- ggplot(data = parenthood, aes(x = dan.sleep)) +
  geom_histogram(binwidth = 0.5, fill = "skyblue", color = "black") +
  labs(x = "Sueño del papá", y = "Frecuencia", title = "Histograma del sueño del papá")

grump.1 <- ggplot(data = parenthood, aes(x = dan.grump)) +
  geom_histogram(binwidth = 6, fill = "skyblue", color = "black") +
  labs(x = "Sueño del papá", y = "Frecuencia", title = "Histograma del sueño del papá")

sleep.2 <- ggplot(data = parenthood, aes(sample = dan.sleep)) +
  stat_qq_line(size=1,aes(color='red' ), linetype='dashed')+
  stat_qq(size=1) +
  theme_light()

## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

grump.2 <- ggplot(data = parenthood, aes(sample = dan.grump)) +
  stat_qq_line(size=1,aes(color='red' ), linetype='dashed')+
  stat_qq(size=1) +
  theme_light()

grid.1 <-plot_grid(sleep.1, grump.1, sleep.2, grump.2 )

ggsave("./imagenes/grid_plot-01.png", grid.1, width = 10, height = 6)

shapiro.test(parenthood$dan.sleep)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  parenthood$dan.sleep
## W = 0.97635, p-value = 0.06878

shapiro.test(parenthood$dan.grump)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  parenthood$dan.grump
## W = 0.97952, p-value = 0.122

Plot de Normalidad.

La prueba de Shapiro-Wilk es una prueba de hipótesis utilizada para evaluar si una muestra proviene de una población con una distribución normal. Es una de las pruebas de normalidad más utilizadas y efectivas, especialmente para muestras de tamaño moderado a grande.

El procedimiento de la prueba de Shapiro-Wilk se basa en la comparación de estadísticas de prueba observadas y esperadas bajo la hipótesis nula de que los datos provienen de una distribución normal. La hipótesis nula (H0) de la prueba es que los datos se distribuyen normalmente en la población. La hipótesis alternativa (H1) es que los datos no se distribuyen normalmente.

El estadístico de prueba de Shapiro-Wilk (W) se calcula utilizando una combinación lineal de los datos ordenados y los coeficientes de una función específica de la distribución normal. El valor de W está en el rango de 0 a 1, donde un valor cercano a 1 indica que los datos están cerca de una distribución normal.

Para interpretar los resultados de la prueba de Shapiro-Wilk, se compara el valor de W calculado con un valor crítico de referencia. Si el valor p asociado con el estadístico de prueba es menor que un nivel de significancia predefinido (generalmente 0.05), se rechaza la hipótesis nula y se concluye que los datos no provienen de una distribución normal.

Es importante tener en cuenta que la prueba de Shapiro-Wilk es sensible al tamaño de la muestra. Aunque es eficaz para detectar desviaciones de la normalidad en muestras de tamaño moderado a grande, puede no ser adecuada para muestras muy pequeñas. Además, la prueba tiende a ser más potente para detectar desviaciones de la normalidad en la cola de la distribución.

cor(parenthood$baby.sleep, parenthood$dan.grump)

## [1] -0.5659637

cor(parenthood$dan.sleep, parenthood$dan.grump)

## [1] -0.903384

cor.test(parenthood$baby.sleep, parenthood$dan.grump)

## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  parenthood$baby.sleep and parenthood$dan.grump
## t = -6.7959, df = 98, p-value = 8.448e-10
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.6861101 -0.4157643
## sample estimates:
##        cor 
## -0.5659637

cor.test(parenthood$dan.sleep, parenthood$dan.grump)

## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  parenthood$dan.sleep and parenthood$dan.grump
## t = -20.854, df = 98, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.9340614 -0.8594714
## sample estimates:
##       cor 
## -0.903384

Coeficiente de Correlación de Spearman

Este coeficiente, representado por ρ (rho), es una medida no paramétrica de correlación que evalúa la relación entre los rangos de los valores de dos variables en lugar de los propios valores. Es menos sensible a valores atípicos y no asume que las variables siguen una distribución normal.

La fórmula de la correlación de Spearman entre dos variables \(X\) y \(Y\) se expresa como:

\[ \rho_{\text{Spearman}} = 1 - \frac{6 \sum_{i=1}^{n} d_i^2}{n(n^2 - 1)} \]

Donde:

• \(d_i\) es la diferencia entre los rangos de la i-ésima observación de las variables \(X\) e \(Y\) respectivamente,
• \(n\) es el número de observaciones.

La correlación de Spearman se calcula a partir de los rangos de las observaciones en lugar de los valores originales de los datos. Esto hace que sea una medida de correlación no paramétrica que evalúa la relación monotónica entre dos variables, es decir, si los valores de una variable tienden a aumentar o disminuir mientras los valores de la otra variable también lo hacen.

Supuestos estadísticos

• Variables Ordinales o Continuas: Si bien el coeficiente de correlación de Spearman es más flexible en términos de los tipos de variables que puede manejar, sigue siendo más apropiado para variables ordinales o continuas. Variables categóricas o nominales pueden no ser adecuadas para su uso con el coeficiente de Spearman.

• Relación Monotónica: El coeficiente de correlación de Spearman se basa en el concepto de la relación monotónica entre las variables. Una relación monotónica es aquella en la que el aumento (o disminución) en los valores de una variable está asociado con un aumento (o disminución) en los valores de la otra variable, pero no necesariamente a una tasa constante. No se requiere una relación lineal.

• Independencia: Al igual que con el coeficiente de correlación de Pearson, los valores de las variables deben ser independientes entre sí. No debe haber dependencia sistemática entre los valores de una variable y los valores correspondientes de la otra variable.

• No Normalidad: A diferencia del coeficiente de correlación de Pearson, el coeficiente de Spearman no requiere que las variables estén normalmente distribuidas. Es menos sensible a distribuciones no normales y valores atípicos.

• Homogeneidad de Varianzas: Aunque el coeficiente de Spearman es menos sensible a la homogeneidad de varianzas que el coeficiente de Pearson, aún es útil que la variabilidad de las variables sea relativamente constante a lo largo de su rango.

Correlación

plot1<-ggscatter(parenthood, 
          x = "dan.sleep", y = "dan.grump",
          color='green',
          cor.coef = TRUE, 
          cor.method = "spearman") 

plot2<-ggscatter(parenthood, 
          x = "baby.sleep", y = "dan.grump",
          color='light blue',
          cor.coef = TRUE, 
          cor.method = "spearman") 

grid.2<-plot_grid(plot1,plot2)

ggsave("./imagenes/grid_plot-02.png", grid.2, width = 10, height = 6)

Correlación

Correlación de Kendall

La correlación de Kendall, también conocida como tau de Kendall, es una medida de correlación no paramétrica utilizada para evaluar la asociación entre dos variables. Es particularmente útil cuando los datos no cumplen con los supuestos de distribución requeridos por otras medidas de correlación, como la correlación de Pearson.

Esta medida de correlación fue propuesta por Maurice Kendall en 1938 y se basa en la concordancia o discordancia de los pares de datos ordenados. En lugar de utilizar los valores originales de los datos, la correlación de Kendall se calcula utilizando los rangos de las observaciones. Es decir, para cada par de observaciones, se comparan sus rangos en ambas variables, y se contabilizan las concordancias y discordancias entre los pares.

Limitaciones

A pesar de sus ventajas, la correlación de Kendall tiene algunas limitaciones importantes que deben tenerse en cuenta:

1. Sensibilidad a los lazos: La correlación de Kendall puede ser sensible a los lazos en los datos, es decir, cuando se encuentran pares de observaciones con el mismo valor en ambas variables. Esto puede afectar la precisión de la medida y conducir a estimaciones sesgadas de la correlación.

2. Rendimiento computacional: Calcular la correlación de Kendall puede ser computacionalmente costoso, especialmente para conjuntos de datos grandes. Esto puede limitar su aplicabilidad en situaciones donde se requiere un procesamiento rápido de los datos.

3. Interpretación limitada: La correlación de Kendall proporciona información sobre la asociación ordinal entre las variables, pero no proporciona información sobre la magnitud o la dirección de la asociación. Esto puede hacer que sea difícil interpretar la fuerza de la relación entre las variables en comparación con otras medidas de correlación.

A pesar de estas limitaciones, la correlación de Kendall sigue siendo una herramienta valiosa para evaluar la asociación entre dos variables cuando los supuestos de otras medidas de correlación no se cumplen. Su enfoque en la concordancia y discordancia de los pares de datos ordenados la convierte en una medida robusta y ampliamente utilizada en análisis de datos no paramétricos.

help("ggscatter")

plot1<-ggscatter(parenthood, 
          x = "dan.sleep", y = "dan.grump",
          color='green',
          cor.coef = TRUE, 
          cor.method = "kendall") 

plot2<-ggscatter(parenthood, 
          x = "baby.sleep", y = "dan.grump",
          color='light blue',
          cor.coef = TRUE, 
          cor.method = "kendall") 

grid.3<-plot_grid(plot1,plot2)

ggsave("./imagenes/grid_plot-03.png", grid.3, width = 10, height = 6)

Correlación

##Comparación entre los tres tipos de correlación

	Correlación de Pearson	Correlación de Spearman	Correlación de Kendall
Tipo de medida	Paramétrica	No paramétrica	No paramétrica
Supuestos	Distribución normal de los datos	Ausencia de linealidad, pero no requiere distribución normal	Ausencia de linealidad, no requiere distribución normal
Sensible a valores atípicos	Sí	No	No
Sensible a la escala	Sí	No	No
Basada en	Covarianza	Rangos de los datos	Concordancia y discordancia de los pares de datos ordenados
Rango de valores	-1 a 1	-1 a 1	-1 a 1
Interpretación	Magnitud y dirección de la asociación lineal	Magnitud y dirección de la asociación monótona	Magnitud y dirección de la asociación monótona
Aplicaciones comunes	Análisis de datos cuantitativos, donde la relación entre las variables es lineal	Datos ordinales, datos no paramétricos, datos con distribuciones no lineales	Datos ordinales, datos no paramétricos, datos con distribuciones no lineales

#Regresión

Regresión Lineal Simple

La regresión lineal simple modela la relación entre una variable independiente y una variable dependiente como una línea recta. Es útil cuando se espera que los datos sigan una tendencia lineal. La ecuación de la regresión lineal simple es:

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon \]

# Crear un conjunto de datos de ejemplo
set.seed(123)
x <- 1:100
y <- 2*x + rnorm(100, mean = 0, sd = 10)

# Ajustar el modelo de regresión lineal simple
modelo <- lm(y ~ x)

# Mostrar los coeficientes del modelo
summary(modelo)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -24.5356  -5.5236  -0.3462   6.4850  20.9487 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -0.36404    1.84287  -0.198    0.844    
## x            2.02511    0.03168  63.920   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 9.145 on 98 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9766, Adjusted R-squared:  0.9763 
## F-statistic:  4086 on 1 and 98 DF,  p-value: < 2.2e-16

Regresión Lineal Múltiple

La regresión lineal múltiple es una extensión de la regresión lineal simple que permite modelar la relación entre una variable dependiente y múltiples variables independientes. La ecuación general es:

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \ldots + \beta_n X_n + \varepsilon \]

# Crear un conjunto de datos de ejemplo con dos variables independientes
set.seed(123)
x1 <- 1:100
x2 <- rnorm(100)
y <- 2*x1 + 3*x2 + rnorm(100, mean = 0, sd = 10)

# Ajustar el modelo de regresión lineal múltiple
modelo <- lm(y ~ x1 + x2)

# Mostrar los coeficientes del modelo
summary(modelo)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x1 + x2)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -18.491  -6.869  -0.948   6.015  32.357 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -2.71500    1.95658  -1.388   0.1684    
## x1           2.03356    0.03374  60.276   <2e-16 ***
## x2           2.39016    1.07226   2.229   0.0281 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 9.708 on 97 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9743, Adjusted R-squared:  0.9738 
## F-statistic:  1842 on 2 and 97 DF,  p-value: < 2.2e-16

Regresión Cuadrática

La regresión cuadrática es un tipo de regresión no lineal que modela la relación entre una variable independiente y una variable dependiente como una parábola. La ecuación de la regresión cuadrática es:

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \varepsilon \]

# Crear un conjunto de datos de ejemplo
set.seed(123)
x <- 1:100
y <- 2*x^2 + rnorm(100, mean = 0, sd = 50)

# Ajustar el modelo de regresión cuadrática
modelo <- lm(y ~ poly(x, 2, raw = TRUE))

# Mostrar los coeficientes del modelo
summary(modelo)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ poly(x, 2, raw = TRUE))
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -120.340  -29.942   -1.333   33.871  109.728 
## 
## Coefficients:
##                          Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)              9.000210  13.993085   0.643    0.522    
## poly(x, 2, raw = TRUE)1 -0.510940   0.639522  -0.799    0.426    
## poly(x, 2, raw = TRUE)2  2.006302   0.006135 327.042   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 45.71 on 97 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9999, Adjusted R-squared:  0.9999 
## F-statistic: 8.68e+05 on 2 and 97 DF,  p-value: < 2.2e-16

Regresión Logarítmica

La regresión logarítmica se utiliza cuando se sospecha que la relación entre las variables sigue una tendencia logarítmica. La ecuación de la regresión logarítmica es:

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 \ln(X) + \varepsilon \]

# Crear un conjunto de datos de ejemplo
set.seed(123)
x <- 1:100
y <- 2*log(x) + rnorm(100, mean = 0, sd = 0.5)

# Ajustar el modelo de regresión logarítmica
modelo <- lm(y ~ log(x))

# Mostrar los coeficientes del modelo
summary(modelo)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ log(x))
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.21126 -0.28753 -0.01016  0.30454  1.03664 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -0.02006    0.18631  -0.108    0.914    
## log(x)       2.01794    0.04965  40.647   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.4584 on 98 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.944,  Adjusted R-squared:  0.9434 
## F-statistic:  1652 on 1 and 98 DF,  p-value: < 2.2e-16

Regresión Logística

La regresión logística se utiliza cuando la variable dependiente es binaria y se desea predecir la probabilidad de que la variable dependiente pertenezca a una categoría particular. La ecuación de la regresión logística es:

\[ p(Y=1) = \frac{1}{1 + e^{-(\beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \ldots + \beta_n X_n)}} \]

# Crear un conjunto de datos de ejemplo con una variable binaria dependiente y una variable independiente
set.seed(123)
x <- rnorm(100)
y <- ifelse(x > 0, 1, 0)

# Ajustar el modelo de regresión logística
modelo <- glm(y ~ x, family = binomial)

## Warning: glm.fit: algorithm did not converge

## Warning: glm.fit: fitted probabilities numerically 0 or 1 occurred

# Mostrar los coeficientes del modelo
summary(modelo)

## 
## Call:
## glm(formula = y ~ x, family = binomial)
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept)     11.15    2257.46   0.005    0.996
## x              975.24  107437.96   0.009    0.993
## 
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 1.3847e+02  on 99  degrees of freedom
## Residual deviance: 2.1701e-07  on 98  degrees of freedom
## AIC: 4
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 25