Preliminares

Introducción

En el campo de la estadística, los estadísticos desempeñan un papel fundamental en la inferencia sobre poblaciones basadas en muestras observadas. Un estadístico, definido como una función de las variables aleatorias observables en una muestra, sirve como herramienta crucial para estimar o tomar decisiones respecto a los parámetros de una población desconocida con un comportamiento que se pueda predecir (anclado a las funciones de distribución de probabilidad: Normal, Normal estándar, chí-cuadrado, T-student, F-fisher, etcétera). El poder del estadístico radica en su capacidad para resumir información, entregar datos concisos y asimismo utilizarla como base para hacer afirmaciones sobre la población o muestra de la cual se extrajeron los datos.

Centrados ahora en las funciones de las variables aleatorias, se hace hincapié en que las funciones de variable aleatoria son variables aleatorias por sí mismas asociadas a distribuciones muestrales. La idea de estas últimas es proporcionar una representación teórica de un comportamiento esperado de los datos si se hicieran muestreos y repeticiones de eventos. Es así como a lo largo del documento encontrará una simulación del lanzamiento de un dado y cómo sus resultados se comportan con tendencia a algunos resultados más que a otros.

Palabras clave: Variable aleatoria, estadístico, media, varianza.

Soporte técnico

Para aquellos lectores que son apasionados por la estadística, recordar conceptos puede ser clave. Hablemos de las variables aleatorias, la media, y la varianza aplicadas en el contexto de lanzamiento de dados, para practicidad y comprensión para el lector:

  • Variables aleatorias: Son funciones que asignan valores numéricos a los resultados de un experimento aleatorio. En el contexto del lanzamiento de dados, una variable aleatoria comúnmente utilizada es aquella que representa la suma de los valores obtenidos en los dados. Por ejemplo, si lanzamos dos dados, la variable aleatoria podría ser la suma de los valores de ambos dados.

  • Media, promedio o valor esperado: Es una medida de tendencia central que representa qué valor medio pueden tomar los datos de una muestra. Este valor se denota usualmente por \(\mu\) y puede deducir de la siguiente fórmula:

\[\begin{align*} \mu=\sum_{x} x \cdot P(X=x) \end{align*}\]

Es decir, se suma el producto de cada posible resultado por su probabilidad, obteniendo el promedio.

  • Varianza: Denotada usualmente por \(\sigma^2\), es una medida de dispersión que indica qué tan homogéneos o heterogéneos están los valores de una variable aleatoria alrededor de su valor esperado. Para calcular la varianza, debe sumarse el cuadrado de la diferencia de cada posible resultado con la media, multiplicado por la probabilidad de este resultado. En términos matemáticos, la varianza se calcula como sigue:

\[\begin{align*} \sigma^2=\sum_{x}\left(x-\mu\right)^2 \cdot P(X=x) \end{align*}\]

Ejemplo práctico

Pregunta problema:

En Azarlandia, una ciudad llena de casinos que es conocida por sus famosos juegos de azar y sus exorbitantes apuestas, surge un nuevo desafío para los analistas de datos más astutos: ¡Descifrar los secretos de los dados misteriosos de Mr. Suertudo!

Su rival más acérrimo, Mr. Incierto, quiere descubrir los patrones que hay detrás de los dados de Mr. Suertudo y por qué acierta en la mayoría de veces en el juego de los dados. ¿Qué debe hacer Mr. Incierto para verificar la técnica de Mr. Suertudo y aplicarla a las apuestas para hacerse rico?

Abordaje sugerido para solucionar el problema

Mr. Incierto es un experto en los juegos de dados, en tanto sabe que cada resultado es independiente de los demás, es decir que ninguno de los resultados que haya salido antes influye en el nuevo resultado. Más aún, como es analista de datos, tiene leves ideas de probabilidad de los valores que se podrían esperar con el lanzamiento de dados.

Note que para hallar esto, el cálculo del promedio es bastante útil. Él anota en una hoja primero el cálculo de la probabilidad de obtener un número cualquiera al lanzar un dado. Usando la noción de probabilidad:

\[\begin{align*} \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totales}} = \frac{1}{6} \end{align*}\]

Con lo anterior note que puede calcular el valor esperado:

\[\begin{align*} \mu=\sum_{x} x \cdot P(X=x) = \frac{1}{6}\left(1+2+3+4+5+6\right)= \frac{21}{6}=3.5 \end{align*}\]

Más aún, quiere cerciorarse cuán dispersos son los datos respecto al dato del promedio, entonces la varianza es:

\[\begin{align*} \sigma^2 &=\sum_{x}\left(x-\mu\right)^2 \cdot P(X=x) \nonumber \\ &= \frac{1}{6}\left((1-3.5)^2 + (2-3.5)^2 + (3-3.5)^2 + (4-3.5)^2 + (5-3.5)^2 + (6-3.5)^2\right) \nonumber \\ &= \frac{1}{6} \left((-2.5)^2+(-1.5)^2+(-0.5)^2+(0.5)^2+(1.5)^2+(2.5)^2\right) \nonumber \\ &= \frac{1}{6}\left(6.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25\right) \nonumber \\ &= 2.9167 \end{align*}\]

No obstante, esos eran resultados de una muestra; y mientras hacía los cálculos recordó que su amigo del pasado Mr. Esperanzo le dijo que para el promedio de las muestras, el valor esperado de ellas se mantenía; pero la varianza de \(\bar{Y}\) cambiaba ligeramente respecto al tamaño de muestra que se tomara; es decir:

\[\begin{align} \mathbb{E}(x)= 3.5 \\ \mathbb{V}(x)= \frac{\sigma^2}{n} \end{align}\]

Esto quiere decir que, si se queda contando la cantidad de lanzamientos (por ejemplo, 50 lanzamientos) de Mr. Suertudo y lo toma como una muestra y después reúne una gran cantidad de muestras; podría predecir perfectamente que la esperanza se mantiene, y además, que a medida que aumenten los lanzamientos y las muestras, la varianza se hará cada vez más pequeña. Veamos lo que hizo Mr. Incierto con una simulación actual en R:

Simulación en R

Función dados

Primero definimos una función que me simule un lanzamiento de un dado:

dados <- function(n){
resultado <- sample(1:6, n, replace = TRUE) 
}

Ahora, como Mr. Incierto quiere tomar como muestra 50 lanzamientos, se puede expresar como una matriz de 50 columnas y, por ejemplo, 10000 filas, si quisiera tomar 10000 muestras:

datos <- matrix(nrow = 10000, ncol = 50) 
for(i in 1:10000){
datos[i,] <- dados(50) 
}

Creando una matriz de datos aleatorios como sigue:

Dado 1 Dado 2 Dado 3 … Dado 50
Fila 1 3 6 2 … 4
Fila 2 1 5 2 … 6
Fila 3 4 3 3 … 1
… … … … … …
Fila 10000 2 4 6 … 5

Si hiciéramos el análisis de una única variable, entonces el siguiente código nos ayudaría:

tabla_1dado <- table(datos[,1]) #tabla de solamente una columna
barplot(tabla_1dado, main = "Figura 1: Frecuencia relativa de la primera variable") #Haciendo la gráfica

mean(datos[,1]) #Calculando el promedio de los datos
## [1] 3.4982
var(datos[,1]) #Calculando la varianza de los datos
## [1] 2.950892

Aquí las estimaciones de la media y varianza son bastante cercanos a la media y varianza originales. Aumentemos las muestras para que se vea el comportamiento del estadístico que Mr. Incierto está analizando:

Media <- rowMeans(datos) #Calcula la media de cada fila y la almacena en una nueva columna llamada "Media"
datos <- cbind(datos, Media) #Combina la matriz original con la columna "Media"
tabla_Media_dados <- table(datos[,51]) #Crea la nueva tabla, con la media incluida
barplot(tabla_Media_dados, main = "Figura 2: Comportamiento de los lanzamientos de dados") #Desarrolla la gráfica de las medias.

mean(Media) #Calcula el promedio de las medias
## [1] 3.499088
var(Media) #Calcula la varianza de las medias
## [1] 0.05861599

Hasta este punto, nuestro personaje se da cuenta que a medida que se aumentan los lanzamientos, la distribución a la que tiende será a una distribución normal. Viendo esta gráfica, él puede apostar con seguridad que los valores alrededores al valor esperado \(3.5\) son los valores más seguros, a medida que se repite el proceso, siendo la varianza ínfima.

Conclusiones

A lo largo del documento se logró solucionar un problema de la vida práctica, en el que involucra un estadístico basado en un evento aleatorio, como lo es el lanzamiento de dados. Con este ejercicio práctico, se logra poner en práctica los conceptos de valor esperado, media, varianza, y demás; interrelacionándolos para poder hacer cálculos seguros respecto a un evento.

Más aún, se permite concluir a través de todo el documento que la simulación de estadísticos induce a un comportamiento y un brochazo de inferencia estadística, en tanto pasa de ser un ejercicio básico a un ejercicio de predicciones.