Estadística con R

• Introducir R como software estadístico
• Presentar las pruebas de estadística clásica con R

• Tener libre acceso a un ordenador, y a la aplicación estadística concreta
• Tener, al menos, un problema real que resolver con dicha aplicación
• Poseer un manual de la aplicación estadística
• Romper la inercia nuevo aprendizaje - nuevo programa de ordenador, con un tercero que normalmente es el instructor
• Contar con alguien a quien acudir en los momentos iniciales de duda

• Probabilidad y distribuciones
  • distribuciones de probabilidad discretas o continuas
• La estadística matemática que subyace a los tests de significación y a la inferencia
  • teorema central del límite
• Contenidos especiales y avanzados:
  • análisis de supervivencia, psicometría
  • modelos lineales mixtos, estadística multivariada

• Estadística descriptiva: tipos de variables y su visualización
• Inferencia estadística: tests de significación, p-valores, intervalos de confianza, y tamaños del efecto
• Pruebas estadísticas clásicas:
  • comparación de medias entre 2 grupos (t-tests)
  • comparación de medias entre más de 2 grupos (ANOVA)
  • Correlación
  • Regresión lineal
  • Análisis de frecuencias y proporciones
• Librería lessR

Statistics are curious things…(They) tend to induce a strong emotional reaction in non-mathematical minds…It is exasperating, when we have studied a problem by methods that we have spent laborious years in mastering, to find our conclusions questioned, and perhaps refuted…There seems to be to me only one way of escape. The worker in medical problems, in the field of clinical as well as preventive medicine, must himself know something of statistical technique, both in experimental arrangements and in the interpretation of figures

• Es aburrida
• Hace falta un profundo conocimiento matemático
• Es como el bikini (enseña mucho, pero tapa lo más importante)
• Es como una farola (apoyo y/o luz)
• Es imprescindible
• Ofrece información sobre la que basar decisiones
• Es una herramienta más en la investigación y/o formación continuada

1. Dominio teórico
2. Hipótesis
3. Operacionalización / medición de conceptos
4. Selección de sujetos
5. Diseño del estudio (observacional / experimental)
6. Recogida de datos
7. Análisis de resultados (univariados / bivariados / multivariados)
8. Presentación y diseminación de resultados

• Cuantitativos: proporcionan medias
  • Continuos: toman valores continuos en un rango (altura, presión arterial)
  • Discretos: toman valores enteros en un rango (número de hijos, número de ataques de asma)
• Categóricos: proporcionan porcentajes o proporciones
  • Binarios: presencia o no del acontecimiento en estudio (0/1)
  • Nominales: categorías no ordenadas (tipo sanguíneo, A, B, AB, O)
  • Ordinales: categorías ordenadas (estadíos cáncer, puntuaciones Likert)
• Tiempo hasta acontecimiento : variable de supervivencia

• Variables de resultado
• Variables explicativas, mediadoras, confusoras…

En toda la presentación se asume que las variables a analizar son vectores, o están incluidas en una base de datos rectangular (individuos por variables)

• class(): tipo de variable
• names(): devuelve los nombres de las variables de la base de datos
• summary(): estadísticos de resumen de las variables de la base de datos
• head(): visualización de datos, 6 primeros registros
• tail(): visualización de datos, 6 últimos registros
• which(): con condiciones lógicas localiza observaciones específicas

data(iris)
names(iris)

[1] "Sepal.Length" "Sepal.Width"  "Petal.Length" "Petal.Width" 
[5] "Species"     

class(iris$Species); class(iris$Sepal.Length) # estructura "datos$variable"

[1] "factor"

[1] "numeric"

head(iris)

  Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species
1          5.1         3.5          1.4         0.2  setosa
2          4.9         3.0          1.4         0.2  setosa
3          4.7         3.2          1.3         0.2  setosa
4          4.6         3.1          1.5         0.2  setosa
5          5.0         3.6          1.4         0.2  setosa
6          5.4         3.9          1.7         0.4  setosa

tail(iris)

    Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width   Species
145          6.7         3.3          5.7         2.5 virginica
146          6.7         3.0          5.2         2.3 virginica
147          6.3         2.5          5.0         1.9 virginica
148          6.5         3.0          5.2         2.0 virginica
149          6.2         3.4          5.4         2.3 virginica
150          5.9         3.0          5.1         1.8 virginica

summary(iris)

  Sepal.Length    Sepal.Width     Petal.Length    Petal.Width   
 Min.   :4.300   Min.   :2.000   Min.   :1.000   Min.   :0.100  
 1st Qu.:5.100   1st Qu.:2.800   1st Qu.:1.600   1st Qu.:0.300  
 Median :5.800   Median :3.000   Median :4.350   Median :1.300  
 Mean   :5.843   Mean   :3.057   Mean   :3.758   Mean   :1.199  
 3rd Qu.:6.400   3rd Qu.:3.300   3rd Qu.:5.100   3rd Qu.:1.800  
 Max.   :7.900   Max.   :4.400   Max.   :6.900   Max.   :2.500  
       Species  
 setosa    :50  
 versicolor:50  
 virginica :50  

data(mtcars)
which(mtcars$mpg > median(mtcars$mpg)) # identificación de valores extremos

 [1]  1  2  3  4  8  9 18 19 20 21 26 27 28 30 32

Objetivos:

• ¿Hay valores extremos aberrantes?
• ¿Hay valores sin sentido?
• ¿Cómo se distribuyen los datos?
  • Datos categóricos: frecuencias y porcentajes en cada categoría
  • Datos numéricos: forma de la distribución, tendencia central, y dispersión

“Las reglas más importantes en estadística son utilizar el sentido común, y visualizar gráficamente los datos y asociaciones de interés”

• stem(): distribución de los valores de la variable
• hist(): histograma de los valores de la variable
• boxplot(): gráfico de caja de la variable
• qqnorm(): ajuste de la distribución de la variable a la normal teórica
• qqline(): ajuste de la distribución de la variable a la normal teórica

stem(mtcars$mpg) # distribución valores observados

  The decimal point is at the |

  10 | 44
  12 | 3
  14 | 3702258
  16 | 438
  18 | 17227
  20 | 00445
  22 | 88
  24 | 4
  26 | 03
  28 | 
  30 | 44
  32 | 49

• summary(): estadístico de resumen de la variable (mínimo, primer cuartil, mediana, media, tercer cuartil, máximo)
• fivenum(): estadísticos de resumen de la variable - Tukey (mínimo, “hinge” bajo, mediana, “hinge” alto, máximo)
• mean(): media
• median(): mediana
• sd(): desviación estándar
• var(): varianza
• mad(): mediana de la desviación absoluta
• IQR(): desviación intercuartil (Q75 - Q25), 50% de los datos

summary(mtcars$mpg)

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  10.40   15.42   19.20   20.09   22.80   33.90 

fivenum(mtcars$mpg)

[1] 10.40 15.35 19.20 22.80 33.90

mean(mtcars$mpg)

[1] 20.09062

median(mtcars$mpg)

[1] 19.2

Ambas son medidas de la tendencia central de la distribución de una variable cuantitativa. La media se afecta por valores extremos, no así la mediana

\[ \large{\bar {X} = \frac {\sum_{i=1}^n {x_i}}{n}} \]

Mientras que la \( \bar x \), está afectada por valores extremos de \( x_i \), la mediana al ser el punto medio de los valores ordenados por rangos no se afecta

var(mtcars$mpg); sd(mtcars$mpg)

[1] 36.3241

[1] 6.026948

\[ \large{S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{X})^2}{n-1}} \]

\[ \large{S = \sqrt{S^2}} \]

La \( S^2 \) presenta unidades al cuadrado lo que no es fácilmente interpretable. la \( S \) está en las mismas unidades que la \( \bar {X} \) lo que facilita su interpretación

La \( S \) al igual que la \( \bar {X} \) se afecta por valores extremos. Debido a la elevación al cuadrado de las distancias entre cada observación y la media de la distribución, los valores más alejados de la media contribuyen más a la desviación estándar que los valores cercanos a la media

mad(mtcars$mpg)

[1] 5.41149

IQR(mtcars$mpg)

[1] 7.375

Se basan en el ordenamiento de datos (de menor a mayor) y al igual que la mediana (percentil 50) no se afectan por valores extremos

El rango intercuartil (IQR) recoge los valores del primer al tercer cuartil de la distribución, el 50% de los datos (el box del gráfico boxplot), y no está afectado por valores extremos o outliers

Si una variable continua sigue una distribución normal, el 68% de los datos estarán comprendidos entre la media y 1 DE, el 95% entre la media y 2 DE, y el 99.7% entre la media y 3 DE

Un valor que presente más de 3 DE con respecto a la media puede ser un valor aberrante

table(groupf) # frecuencia de observaciones por grupo

groupf
 1  2 
10 10 

Inducción desde los valores de la muestra a los parámetros de la población. Tiene 2 posibles objetivos:

• Test de hipótesis (p-valores): ¿hay algún efecto?
• Estimación del efecto - intervalos de confianza: rango de valores plausibles para el efecto verdadero

• \( S^2 \): varianza muestral
• \( S \): desviación estándar muestral
• \( \sigma^2 \): varianza poblacional
• \( \sigma \): desviación estándar poblacional
• \( \bar{X} \): media muestral
• \( \mu \): media poblacional
• \( IQR \): rango intercuartil (50% medio de los valores de la distribución)

• Error estándar de la media: \( SE_{\bar{X}} = \frac {S}{\sqrt{n}} \)
• Error estándar del coeficiente de correlación: \( SE_r = \sqrt{\frac{1-r^2}{n}} \)
• Error estándar de una proporción: \( SE_p = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \)

El \( SE \) depende del estadístico, y disminuye al aumentar el tamaño muestral, y aumenta cuando se incrementa la variabilidad

• Error estándar de la diferencia de riesgos: \( SE_{RD} = \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_0(1-p_0)}{n_0}} \)

• Error estándar del riesgo relativo: \( SE_{\ln{RR}} = \sqrt{\frac{1}{a} - \frac{1}{n_1} + \frac{1}{c} - \frac{1}{n_0}} \)

• Error estándar de la odds-ratio: \( SE_{\ln{OR}} = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}} \)

El \( SE \) depende del estadístico, y disminuye al aumentar el tamaño muestral, y aumenta cuando se incrementa la variabilidad

• Distribución \( t \simeq {normal} \) en muestras grandes, \( n > 100 \)
  • Medias / diferencia de medias
  • Coeficientes de correlación
• Distribución normal
  • Proporciones / diferencia de proporciones, \( RD \)
  • \( \ln{RR} \), \( \ln{OR} \)

\[ \large{f(x; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}{e^{-{\frac{(x -\mu)^2}{2\sigma^2}}}}} \]

La distribución de los valores observados \( x \), depende sólo de la media de su distribución teórica \( \mu \), y de su desviación estándar \( \sigma \)

La ecuación contiene 3 clásicos números irracionales:

• \( \sqrt 2 = 1.4142 \cdots \)
• \( \pi = 3.1415 \cdots \)
• \( e = 2.7182 \cdots \)

El p-valor informa sobre la probabilidad de que el efecto observado (u otro más extremo) pudiera haber aparecido por azar si la hipótesis nula fuera cierta

\( \large{p = \Pr{(datos|H_0)}} \)

• Definir las hipótesis: \( H_0 \), \( H_A \)
• Especificar la distribución de \( H_0 \) \[ H_0 \sim{N(\mu, \sigma)} \]
• Realizar el experimento para obtener datos
• Calcular el p-valor observado
• Rechazar o no \( H_0 \)

• Pretenden capturar el valor real del efecto en teóricas replicaciones
• Un IC al 95% debería incluir el valor real del efecto al menos en 95 de 100 veces que se replicara el experimento
• Un IC al 99% debería incluir el valor real del efecto al menos en 99 de 1000 veces que se replicara el experimento

• IC 90%: \( statistic \pm{1.64} \times{SE_{statistic}} \)
• IC 95%: \( statistic \pm{1.96} \times{SE_{statistic}} \)
• IC 99%: \( statistic \pm{2.58} \times{SE_{statistic}} \)

• Un rango plausible de valores para el parámetro poblacional que se está estimando
• La precisión de la estimación según el IC sea amplio o estrecho
• La significación estadística. Si un IC 95% no incluye el valor nulo, es significativo a nivel \( p < 0.05 \)

\[ P_{valor} = Z = \frac{Efecto - H_0}{SE} \]

\[ IC_{1-\alpha{2}} = Efecto \mp{Z_{\alpha{2}}} \times({SE}) \]

• Los p-valores dependen del tamaño del efecto (señal), del tamaño muestral, y de la variabilidad (ruido)
• ¿Qué significa realmente que \( p < 0.05 \) o que \( p \geq{0.05} \)?

\[ Significance \propto{\frac{Effect \times{Sample}}{Variability}} \]

• Los p-valores distinguen entre efectos reales y la fluctuación aleatoria. Si la muestra es suficientemente grande, la fluctuación aleatoria no es un problema, y los p-valores son irrelevantes
• Si el tamaño muestral es muy grande, deben ignorarse los p-valores
• Prestar atención al tamaño del efecto y a su IC

• Expresar la reducción o incremento del riesgo en base a:
  • Los números observados
  • La reducción del riesgo absoluto: \( RD \)
  • El número de sujetos necesarios a tratar para beneficio o perjuicio: \[ NNT = RD^{-1} \] \[ NNH = RD^{-1} \]
  • Reducción o incremento en el \( RR \)
    

• Karl Pearson

  • Razón señal-ruido: regla del 3 (según aparece en Biometrika)

  Tome 3 DE como definitivamente significativo

• Ronald Aylmar Fisher

  • p-valores

RA Fisher en su libro Statistical methods for research workers, con una primera edición en 1925, en el capítulo V titulado Tests of significance of means, differences of means, and regression coefficients, dice:

If the difference is many times greater than the standard error, it is certainly significant, and it is a convenient convention to take twice the standard error as the limit of significance; this is roughly equivalent to the corresponding limit \( \small{P = .05} \), already used for the \( \small{\chi^2} \) distribution

RA Fisher (1925): SMRW, sobre la tabla de la distribución \( \small{\chi^2} \):

In preparing this table we have borne in mind that in practice we do not want to know the exact value of \( \small{P} \) for any observed \( \small{\chi^2} \), but in the first place, whether or not the observed value is open to suspicion. If \( \small{P} \) is between 0.1 and 0.9 there is certainly no reason to suspect the hypothesis tested. If it is below 0.02 it is strongly indicated that the hypothesis fails to account for the whole of the facts. We shall not often be astray if we draw a conventional line at 0.05 and consider that higher values of \( \small{\chi^2} \) indicate a real discrepancy

RA Fisher (1929). The statistical method in psychical research. Proceedings of the Society for Psychical Research, xxxix:189-92

In the investigation of living beings by biological methods, statistical tests of significance are essential. Their function is to prevent us being deceived by accidental occurrences…It is a common practice to judge a result significant, if it is of such magnitude that it would have been produced by chance not more frequently than once in twenty trials

Cuanto más pequeño sea el p-valor menos probable es que el valor observado en el experimento sea generado por la distribución de la hipótesis nula. Es un indicador de la sorpresa del resultado versus \( H_0 \)

En base a su valor se rechaza o no se rechaza \( H_0 \) en favor de \( H_1 \)

• \( p \simeq 0.1 \), hay cierta evidencia de rechazo de \( H_0 \)
• \( p \simeq 0.05 \), hay una evidencia modesta de rechazo de \( H_0 \)
• \( p \simeq 0.01 \), hay una evidencia importante para rechazar \( H_0 \)

1. Falacia de la probabilidad inversa
   • Falsa creencia de que el p-valor indica la probabilidad de que \( \small{H_0} \) sea cierta dados los datos \( \small{Pr(H_0 | datos)} \)
2. Falacia del tamaño del efecto
   • Falsa creencia de que el p-valor puede interpretarse como un tamaño del efecto (cuanto más pequeño más importante el efecto)
3. Falacia de la significación clínica o práctica
   • Falsa creencia de que una significación estadística (habitualmente \( \small{p<{0.05}} \)), conlleva necesariamente una significación práctica

Significación versus relevancia del hallazgo

• ¿Hay algún efecto?: p-valor
• ¿Cuál es la magnitud del efecto?: tamaño del efecto, y en ciencia el tamaño importa
• ¿es importante el efecto?: aspectos de juicio personal (o social) en la toma de decisiones

• Significación estadística: p-valor que dicotomiza unos resultados
• Significación clínica: tamaño del efecto y su precisión (intervalo de confianza)

\[ SMD=\frac{\widehat x_1 - \widehat x_2}{SD_{pooled}} \]

• Fisher-Neyman-Pearson: escuela frecuentista

  • NHST, intervalo de confianza, error tipo I (\( \alpha \)), error tipo II (\( \beta \)), poder del estudio (\( 1-\beta \))

  \[ \large{P(datos|H_0)} \]

• Bayes-Price-Laplace: escuela bayesiana

  • probabilidad subjetiva, distribución a priori, distribución posterior, intervalo de credibilidad

  \[ \large{P(H_0|datos)} \]

Por supuesto no es cierto que:

\[ \large{P(datos|H_0) \ne P(H_0|datos)} \]

Lo que es curioso ya que bastantes veces se interpreta el p-valor bajo un punto de vista bayesiano en vex de frecuentista (falacia de la probabilidad inversa)

• Cuando la variable resultado es continua y la variable explicativa categórica: comparación de medias y varianzas entre grupos
  • Comparación de medias para datos emparejados (antes-después)
  • Comparación de medias en 2 grupos independientes
  • Comparación de medias en > 2 grupos independientes
• Asociación entre 2 variables continuas: correlación
• Cuando la variable resultado y la variable explicativa son continuas: regresión lineal
• Asociación entre 2 variables categóricas: análisis de frecuencias y proporciones

Algunos de los tests estadísticos que vamos a ver en este curso asumen distribuciones normales, y esto es especialmente importante en el caso de muestras pequeñas.

No todos los datos continuos se distribuyen normalmente!

• ¿Presenta el histograma forma de campana?: stem(); hist()
• ¿Es aproximadamente lineal el gráfico de probabilidad normal?: qqnorm(); qqline()
• ¿Son la media y la mediana aproximadamente iguales?: summary(); mean(); median()
• ¿Están 2/3 de las observaciones comprendidas entre la media y 1 DE?: summary()
• ¿Están el 95% de las observaciones comprendidas entre la media y 2 DE?: summary()
• Los tests de normalidad están fuertemente influenciados por el tamaño de la muestra: ks.test(), shapiro.test()

• t-test, ANOVA, r, y regresión lineal
• La variable resultado se distribuye normalmente (es importante principalmente en muestras pequeñas, las muestras grandes son robustas a esta asunción por el Teorema Central del Límite)
• Homogeneidad de varianzas

• t.test(): comparación de medias, prueba paramétrica
• wilcox.test(): comparación de medias, prueba no paramétrica
• var.test(): comparación de varianzas entre 2 muestras
• bartlett.test(): comparación de varianzas entre 2 o más muestras

?sleep # mejora en horas de sueño tras tratamiento
pre <- c(0.7, -1.6, -0.2, -1.2, -0.1, 3.4, 3.7, 0.8, 0.0, 2.0)
post <- c(1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 4.6, 3.4)

t.test(pre, post, paired = TRUE)

    Paired t-test

data:  pre and post
t = -4.0621, df = 9, p-value = 0.002833
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -2.4598858 -0.7001142
sample estimates:
mean of the differences 
                  -1.58 

wilcox.test(pre, post, paired = TRUE)

    Wilcoxon signed rank test with continuity correction

data:  pre and post
V = 0, p-value = 0.009091
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

t.test(diff, mu = 0)

    One Sample t-test

data:  diff
t = -4.0621, df = 9, p-value = 0.002833
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -2.4598858 -0.7001142
sample estimates:
mean of x 
    -1.58 

wilcox.test(diff, mu = 0)

    Wilcoxon signed rank test with continuity correction

data:  diff
V = 0, p-value = 0.009091
alternative hypothesis: true location is not equal to 0

bartlett.test(extra ~ factor(group), data = sleep) # igualdad de varianzas

    Bartlett test of homogeneity of variances

data:  extra by factor(group)
Bartlett's K-squared = 0.10789, df = 1, p-value = 0.7426

t.test(extra ~ factor(group), data = sleep, var.equal = TRUE)

    Two Sample t-test

data:  extra by factor(group)
t = -1.8608, df = 18, p-value = 0.07919
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -3.363874  0.203874
sample estimates:
mean in group 1 mean in group 2 
           0.75            2.33 

t.test(extra ~ factor(group), data = sleep)

    Welch Two Sample t-test

data:  extra by factor(group)
t = -1.8608, df = 17.776, p-value = 0.07939
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -3.3654832  0.2054832
sample estimates:
mean in group 1 mean in group 2 
           0.75            2.33 

wilcox.test(extra ~ factor(group), data = sleep)

    Wilcoxon rank sum test with continuity correction

data:  extra by factor(group)
W = 25.5, p-value = 0.06933
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

• 2 grupos emparejados:

\[ \large{t_{n-1 gl} = \frac{\bar{D} - \mu_D}{S_{\bar{D}}}} \]

• 2 grupos independientes:

\[ \large{t_{n_1 + n_2 -1 gl} = \frac{(\bar{X_1} - \bar{X_2}) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_{(\bar{X_1}- \bar{X_2})}}} \]

• oneway.test(): análisis de la varianza de 1 vía, paramétrico
• kruskal.test(): análisis de la varianza de 1 vía, no paramétrico
• pairwise.t.test(): múltiples comparaciones (paramétrico)
• pairwise.wilcox.test: múltiples comparaciones (no paramétrico)
• aov(): anális de la varianza en general

• Una prueba significativa de ANOVA (F-test) nos dice que al menos 2 de las medias difieren pero no nos dice cuáles. Es un omnibus test
• Determinar entre qué grupos están las diferencias requieren de otros análisis que ya deben corregir el problema de las comparaciones múltiples

\[ \large{F_{n, m} \sim \frac{\sigma^2_{between}}{\sigma^2_{witin}}} \]

# Índice de pulsatilidad en la arteria cerebral media según exposición a cannabis
grupo <- c("control", "control", "control", "control", "control", "control", "activo", "activo", "activo", "activo", "activo", "activo", "ex", "ex", "ex", "ex", "ex", "ex")
index <- c(.9, .9, .9, .8, .8, NA, 1, 1, 1, 1, .9, NA, 1, 1, 1, 1, .9, .9)
pulsatilidad <- data.frame(grupo, index)
pulsatilidad

     grupo index
1  control   0.9
2  control   0.9
3  control   0.9
4  control   0.8
5  control   0.8
6  control    NA
7   activo   1.0
8   activo   1.0
9   activo   1.0
10  activo   1.0
11  activo   0.9
12  activo    NA
13      ex   1.0
14      ex   1.0
15      ex   1.0
16      ex   1.0
17      ex   0.9
18      ex   0.9

bartlett.test(index ~ grupo, data = pulsatilidad)

    Bartlett test of homogeneity of variances

data:  index by grupo
Bartlett's K-squared = 0.15376, df = 2, p-value = 0.926

oneway.test(index ~ grupo, data = pulsatilidad)

    One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data:  index and grupo
F = 7.4891, num df = 2.0000, denom df = 8.4798, p-value = 0.01338

pairwise.t.test(pulsatilidad$index, pulsatilidad$grupo)

    Pairwise comparisons using t tests with pooled SD 

data:  pulsatilidad$index and pulsatilidad$grupo 

        activo control
control 0.0073 -      
ex      0.6708 0.0082 

P value adjustment method: holm 

aov.res <- aov(index ~ grupo, data = pulsatilidad) # ANOVA clásico
summary(aov.res)

            Df  Sum Sq  Mean Sq F value  Pr(>F)   
grupo        2 0.04417 0.022083   8.613 0.00415 **
Residuals   13 0.03333 0.002564                   
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
2 observations deleted due to missingness

TukeyHSD(aov.res)

  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = index ~ grupo, data = pulsatilidad)

$grupo
                      diff         lwr         upr     p adj
control-activo -0.12000000 -0.20456166 -0.03543834 0.0064223
ex-activo      -0.01333333 -0.09429496  0.06762830 0.9017863
ex-control      0.10666667  0.02570504  0.18762830 0.0105962

kruskal.test(index ~ grupo, data = pulsatilidad)

    Kruskal-Wallis rank sum test

data:  index by grupo
Kruskal-Wallis chi-squared = 8.3714, df = 2, p-value = 0.01521

pairwise.wilcox.test(index, grupo, data = pulsatilidad)

    Pairwise comparisons using Wilcoxon rank sum test 

data:  index and grupo 

        activo control
control 0.057  -      
ex      0.724  0.057  

P value adjustment method: holm 

• Francis Galton (1822-1911): concepto de correlación entre 2 variables
• Karl Pearson (1857-1936): descripción coeficiente correlación \( r \)
• Charles Spearman (1863-1945): correlación no paramétrica - al igual que Pearson trabajó en el University College London, pero en el Departamento de Psicología, y tuvo malas relaciones con Pearson
• Ronald Fisher (1890-1962): test de significación de \( r \), transformación \( z \) de \( r \), malas relaciones con Pearson
• Maurice Kendall (1907-1983): London School of Economics, correlación no paramétrica

\[ cov_{x,y} = \frac{\sum_{i=1} ^n{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{n-1} \]

\[ Var_x = cov_{x,x} = \frac{\sum_{i=1} ^n{(x_i - \bar{x})(x_i - \bar{x})}}{n-1} \]

\[ r = \frac{cov_{x,y}}{S_x * S_y} \]

La covarianza tiene unidades que pueden ser difíciles de interpretar, mientras que la correlación es una covarianza estandarizada, y por lo tanto sin unidades

\[ \large{\hat r = \frac{cov_{x,y}}{S_x * S_y} = \frac{\frac{\sum_{i=1} ^n (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{n-1}}{\sqrt{\frac{\sum_{i=1} ^n (x_i - \bar x)^2}{n-1}}{\sqrt{\frac{\sum_{i=1} ^n (y_i - \bar y)^2}{n-1}}}}} \]

\( R^2 = \hat r ^2 \) es una medida del ajuste del modelo, y refleja la proporción de variabilidad en la variable resultado que es explicada por la variable o variables explicativas

• cor(): correlaciones paramétricas y no paramétricas
• cor.test(): test de significación de la correlación
• cov(): covarianza entre 2 variables

La obtención de correlaciones paramétrica/no paramétrica depende de sus argumentos:

• method=“pearson” presenta la correlación paramétrica r de Pearson
• method=“spearman” presenta la correlación no paramétrica rho de Spearman
• method=“kendall” presenta la correlación no paramétrica tau de Kendall

El coeficiente de correlación es un número adimensional que presenta un rango entre -1 y +1, e indica la fortaleza de la relación lineal entre 2 variables numéricas. Gráficos de dispersión para valorar esa relación lineal antes de estimar su magnitud mediante los coeficientes de correlación aopropiados:

• plot(xvar, yvar)
• abline(lm(y ~ x))

?anscombe # base de datos histórica en **R**
data(anscombe)
cor.test(anscombe$x1, anscombe$y1)

    Pearson's product-moment correlation

data:  anscombe$x1 and anscombe$y1
t = 4.2415, df = 9, p-value = 0.00217
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.4243912 0.9506933
sample estimates:
      cor 
0.8164205 

cor.test(anscombe$x2, anscombe$y2)

    Pearson's product-moment correlation

data:  anscombe$x2 and anscombe$y2
t = 4.2386, df = 9, p-value = 0.002179
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.4239389 0.9506402
sample estimates:
      cor 
0.8162365 

cor.test(anscombe$x3, anscombe$y3)

    Pearson's product-moment correlation

data:  anscombe$x3 and anscombe$y3
t = 4.2394, df = 9, p-value = 0.002176
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.4240623 0.9506547
sample estimates:
      cor 
0.8162867 

cor.test(anscombe$x4, anscombe$y4)

    Pearson's product-moment correlation

data:  anscombe$x4 and anscombe$y4
t = 4.243, df = 9, p-value = 0.002165
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.4246394 0.9507224
sample estimates:
      cor 
0.8165214 

cor.test(nests, births) # correlación de Pearson por defecto

    Pearson's product-moment correlation

data:  nests and births
t = 4.1991, df = 7, p-value = 0.00404
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.4152802 0.9668960
sample estimates:
      cor 
0.8460611 

cor.test(nests, births, method = "spearman")

    Spearman's rank correlation rho

data:  nests and births
S = 20.928, p-value = 0.006122
alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
sample estimates:
      rho 
0.8255992 

cor.test(nests, births, method = "kendall")

    Kendall's rank correlation tau

data:  nests and births
z = 2.5669, p-value = 0.01026
alternative hypothesis: true tau is not equal to 0
sample estimates:
      tau 
0.7061879 

• La correlación evalúa la asociación entre 2 variables, y esto no significa necesariamente causación. Ambas variables podrían estar influenciadas simultáneamente por una tercera
• Sólo si la variable explicativa está controlada por el experimentador, la asociación entre 2 variables puede presentar evidencia de una relación causa-efecto
• El coeficiente de correlación es anumérico y puede conducir a falsas interpretaciones sobre la relación entre variables. Es aconsejable presentar además de r, las medias, DEs, y el número de observaciones
• Las correlaciones basadas en proporciones o medias (correlaciones ecológicas) pueden conducir a serios errores de interpretación

• \( r^2 \) es la proporción estimada de la varianza en \( y \) que puede ser explicada por su regresión lineal en \( x \)
• \( 1-r^2 \) es la proporción de varianza no explicada

\( r \): 0.50 - 0.70 - 0.90

\( r^2 \): 0.25 - 0.49 - 0.81

\( 1-r^2 \): 0.75 - 0.51 - 0.19

• \( \hat r > 0.70 \) correlación importante
• \( \hat r > 0.30, \hat r < 0.70 \) correlación moderada
• \( \hat r > 0.10, \hat r < 0.30 \) correlación débil
• \( \hat r < 0.10 \) correlación despreciable

\[ \large{r = \frac {\sum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sqrt{\sum(x_i - \bar x)^2 \sum(y_i - \bar y)^2}}} \]

\[ \large{r = \frac {S_{xy}}{S_x S_y}} \]

\[ \large{t_{n-2} = \frac{r \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}} \]

\[ \large{z = \frac{1}{2} [\ln{(1+r)} - \ln{(1-r)}]} \]

\[ \large{\sigma_z = \frac{1}{\sqrt{n-3}}} \]

• lm()

Un modelo de regresión implica la existencia de una variable dependiente o resultado \( y \), y otra variable independiente o explicativa \( x \), (o un conjunto de variables explicativas), en un modelo \( y \sim x \)

Un modelo de regresión no es más que un modelo de diferencia de medias. Los coeficientes de regresión se interpretan como (a) la diferencia de medias en la variable resultado cuando se incrementa en 1 punto el valor de la variable explicativa cuando esta es numérica, o (b) la media del grupo de referencia \( b_0 \), o la diferencia de medias entre el grupo de referencia y el de contraste \( b_1 \) cuando la variable explicativa es categórica

\[ \large{E(y_i|x_i) = \alpha + \beta x_i} \]

\( \alpha \) es el intercepto, el valor de \( y \), cuando \( x = 0 \)

\( \beta \) es la pendiente que refleja el cambio en \( y \) por cada cambio de 1 unidad en \( x \)

\[ \large{\hat y_i = \alpha + \beta x_i + \epsilon_i} \]

\( \hat y_i \) es el valor predicho para una observación en base al valor \( x_i \)

\( \epsilon_i \) es el error aleatorio (residual) que sigue una distribución normal

\[ \large{\hat \beta = \frac{cov_{x,y}}{Var_x}} \]

\[ \large{\hat \alpha = \bar y - \hat \beta \bar x} \]

La línea de regresión siempre cruza por el punto \( (\bar x, \bar y) \)

\[ \large{\hat r = \hat \beta \frac{SD_x}{SD_y}} \]

• Las diferencias de medias para 2 grupos (t-test), o para más de 2 grupos (ANOVA), no son más que situaciones particulares del modelo general de regresión lineal

• Los siguientes ejemplos lo aclararán mejor

ind <- c(1:20)
arm <- rep(0:1, each = 10)
jump.time <- c(6.7, 3.8, 5.2, 4.2, 5.3, 3.2, 7.6, 7.4, 3.1, 4.2, 5.9, 6, 5.2, 6.8, 14.7, 15.5, 4.2, 14, 4.7, 4.7)
rats <- data.frame(ind, arm, jump.time)
head(rats)

  ind arm jump.time
1   1   0       6.7
2   2   0       3.8
3   3   0       5.2
4   4   0       4.2
5   5   0       5.3
6   6   0       3.2

t.test(jump.time ~ factor(arm), data = rats, var.equal = T)

    Two Sample t-test

data:  jump.time by factor(arm)
t = -2.0019, df = 18, p-value = 0.0606
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -6.3533931  0.1533931
sample estimates:
mean in group 0 mean in group 1 
           5.07            8.17 

print(lm(jump.time ~ factor(arm), data = rats))

Call:
lm(formula = jump.time ~ factor(arm), data = rats)

Coefficients:
 (Intercept)  factor(arm)1  
        5.07          3.10  

ind <- c(1:18)
arm <- rep(0:2, each = 6) # 0:control, 1:ex-usuarios, 2:usuarios activos
pulse <- c(.9, .9, .9, .8, .8, NA, 1, 1, 1, 1, .9, .9, 1, 1, 1, 1, .9, NA)
drug <- data.frame(ind, arm, pulse)
head(drug)

  ind arm pulse
1   1   0   0.9
2   2   0   0.9
3   3   0   0.9
4   4   0   0.8
5   5   0   0.8
6   6   0    NA

summary(aov(pulse ~ factor(arm), data = drug))

            Df  Sum Sq  Mean Sq F value  Pr(>F)   
factor(arm)  2 0.04417 0.022083   8.612 0.00415 **
Residuals   13 0.03333 0.002564                   
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
2 observations deleted due to missingness

anova(lm(pulse ~ factor(arm), data = drug))

Analysis of Variance Table

Response: pulse
            Df   Sum Sq   Mean Sq F value   Pr(>F)   
factor(arm)  2 0.044167 0.0220833  8.6125 0.004152 **
Residuals   13 0.033333 0.0025641                    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

print(lm(pulse ~ factor(arm), data = drug))

Call:
lm(formula = pulse ~ factor(arm), data = drug)

Coefficients:
 (Intercept)  factor(arm)1  factor(arm)2  
      0.8600        0.1067        0.1200  

Francis Galton: Law of universal regression

“Each peculiarity in a man is shared by his kinsman, but on the average in a less degree”

En Friedman, Pisani & Purves (1978). smoke es el número de cigarrillos per capita consumidos en 1930. lungcancer.deaths son las muertes por cáncer de pulmon (por 10⁶⁾ en 1950

pais <- c("Australia", "Canada", "Dinamarca", "Finlandia", "Inglaterra",
          "Holanda", "Islandia", "Noruega", "Suecia", "Suiza", "USA")
smoke <- c(480, 500, 380, 1100, 1100, 490, 230, 250, 300, 510, 1300)
lungcancer.deaths <- c(180, 150, 170, 350, 460, 240, 60, 90, 110, 250, 200)
Doll1955 <- data.frame(pais, smoke, lungcancer.deaths, stringsAsFactors = FALSE)

Doll1955

         pais smoke lungcancer.deaths
1   Australia   480               180
2      Canada   500               150
3   Dinamarca   380               170
4   Finlandia  1100               350
5  Inglaterra  1100               460
6     Holanda   490               240
7    Islandia   230                60
8     Noruega   250                90
9      Suecia   300               110
10      Suiza   510               250
11        USA  1300               200

• binom.test(), test exacto 1 grupo
• prop.test(), test para varios grupos
• table(), tabulaciones cruzadas
• chisq.test(), test de la ji al cuadrado
• fisher.test(), test exacto de Fisher cuando el valor esperado en alguna de las celdas de la tabla a analizar es < 5

binom.test(x=22, n=31, p=0.61) # 22/31 es el éxito en DAM; 0.61 es el exito en MET

    Exact binomial test

data:  22 and 31
number of successes = 22, number of trials = 31, p-value = 0.2761
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.61
95 percent confidence interval:
 0.5196393 0.8577715
sample estimates:
probability of success 
             0.7096774 

r <- c(22, 19); tot <- c(31, 31) # DAM/MET
prop.test(r, tot)

    2-sample test for equality of proportions with continuity
    correction

data:  r out of tot
X-squared = 0.28804, df = 1, p-value = 0.5915
alternative hypothesis: two.sided
95 percent confidence interval:
 -0.1698584  0.3634068
sample estimates:
   prop 1    prop 2 
0.7096774 0.6129032 

heroin <- matrix(c(22, 19, 9, 12), nrow = 2, byrow = T)
colnames(heroin) <- c("DAM", "MET")
rownames(heroin) <- c("success", "failure")
heroin

        DAM MET
success  22  19
failure   9  12

chisq.test(heroin)

    Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  heroin
X-squared = 0.28804, df = 1, p-value = 0.5915

fisher.test(heroin)

    Fisher's Exact Test for Count Data

data:  heroin
p-value = 0.5921
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.4723836 5.1300383
sample estimates:
odds ratio 
  1.532994 

p1 <- 22/31; p0 <- 19/31
n1 <- 31; n0 <- 31
RD <- p1 - p0
SE.RD <- sqrt(((p1*(1-p1))/n1) + ((p0*(1-p0))/n0))
CI95.RD <- RD + c(-1, 1) * (1.96 * SE.RD)
RD; CI95.RD

[1] 0.09677419

[1] -0.1376046  0.3311530

p1 <- 22/31; p0 <- 19/31
lnRR <- log(p1 / p0)
SE.lnRR <- sqrt((1/22)-(1/31)+(1/19)-(1/31))
CI95.lnRR <- lnRR + c(-1, 1) * (1.96 * SE.lnRR)
lnRR; CI95.lnRR

[1] 0.1466035

[1] -0.212510  0.505717

RR <- exp(0.1466035)
RR95.low <- exp(-0.212510)
RR95.high <- exp(0.505717)
RR; RR95.low; RR95.high

[1] 1.157895

[1] 0.8085522

[1] 1.658174

odds1 <- 22/9; odds0 <- 19/12
lnOR <- log(odds1 / odds0)
SE.lnOR <- sqrt((1/22)+(1/9)+(1/19)+(1/12))
CI95.lnOR <- lnOR + c(-1, 1) * (1.96 * SE.lnOR)
lnOR; CI95.lnOR

[1] 0.4342855

[1] -0.6258019  1.4943730

OR <- exp(0.4342855)
OR95.low <- exp(-0.6258019)
OR95.high <- exp(1.4943730)
OR; OR95.low; OR95.high

[1] 1.54386

[1] 0.5348324

[1] 4.456541

paralisis <- c(33, 115) # casos de parálisis en vacuna / placebo respectivamente
N <- c(200745, 201229) # Número total de sujetos aleatorizados a vacuna / placebo
(risk.vacuna <- 33 / 200745 * 100000)

[1] 16.43877

(risk.placebo <- 115 / 201229 * 100000)

[1] 57.14882

(RD <- risk.placebo - risk.vacuna)

[1] 40.71005

(NNT <- ceiling(1/RD))

[1] 1

prop.test(paralisis, N)

    2-sample test for equality of proportions with continuity
    correction

data:  paralisis out of N
X-squared = 44.153, df = 1, p-value = 3.038e-11
alternative hypothesis: two.sided
95 percent confidence interval:
 -0.0005306031 -0.0002835980
sample estimates:
      prop 1       prop 2 
0.0001643877 0.0005714882 

• Funciones de los análisis multivariados
  • Control de variables de confusión (estudios experimentales/observacionales)
  • Mejorar la predicción (posibles problemas de sobreajuste)
  • Valorar modificaciones del efecto por interacción entre variables explicativas (tamaños muestrales necesarios)
• Extensiones de la regresión lineal: GLMs

• Se considera a una variable como potencialmente confusora si modifica el coeficiente \( \hat \beta \), entre el análisis simple y el ajustado en mas de un 10%
• No se deben evaluar las variables como potencialmente confusoras por su efecto en los p-valores

• En modelos multivariados se pueden obtener valores altamente significativos, pero sin ningún sentido, simplemente por introducir demasiados predictores en el modelo
• El modelo ajusta perfectamente los datos pero no tiene valor predictivo en una nueva muestra (diferenciación entre muestra de entrenamiento y muestra de test)
• Como regla común se considera que se necesitan al menos 10 sujetos por cada variable predictora (más el intercepto) en un modelo multivariado de regresión

El modelo de regresión lineal para una variable numérica de resultado, el modelo de regresión logística para una variable binaria/dicotómica de resultado, y el modelo de regresión de Poisson para contajes, no son más que aspectos específicos del modelo lineal general(GLM). En R se pueden ajustar con la función glm() que tiene el argumento family que describe la distribución del error y el argumento link que define la unión entre el resultado y la parte explicativa del modelo

• Regresión lineal: glm(y ~ x, family=gaussian(link=“identity”), data=my.data)
• Regresión logística: glm(y ~ x, family=binomial(link=“logit”), data=my.data)
• Regresión de Poisson: glm(y ~ x, family=poisson(link=“log”), data=my.data)

• glm(y ~ x, family=binomial(link=“logit”), data=my.data) coeficientes lnOR
• glm(y ~ x, family=binomial(link=“log”), data=my.data) coeficientes lnRR
• glm(y ~ x, family=binomial(link=“identity”), data=my.data) coeficientes RD

R tiene la librería survival para realizar análisis de supervivencia, con funciones para obtener estimaciones de Kaplan-Meier (survfit()), log-rank test (survdiff()), regresión de Cox (coxph()), y para modelos paramétricos de supervivencia con la función survreg()

• t.test(): t-tests para 1 y 2 muestras
• wilcox.test(): Wilcoxon tests para 1 y 2 muestras
• var.test(): Varianza F-tests para 1 y 2 muestras
• cor.test(): Correlación y p-valor (Pearson's, Spearman's, o Kendall's)
• binom.test(): Test de signos para una muestra binomial
• prop.test(): Test binomial para comparar 2 proporciones
• chisq.test(): Test chi-cuadrado para contajes
• fisher.test(): Test exacto de Fisher para contajes

• friedman.test(): Test de la suma de rangos de Friedman
• kruskal.test(): Test de suma de rangos de Kruskal-Wallis
• shapiro.test(): Test de Shapiro-Wilk de normalidad para 1 muestra
• ks.test(): Test de Kolmogorov-Smirnov para 1 o 2 muestras (varias distribuciones)
• levene.test(): Test de igualdad de varianzas
• bartlett.test(): Test de igualdad de varianzas
• oneway.test(): Análisis de la varianza de 1 vía

Los modelos se estructuran en base a una fórmula, que es una descripción simbólica del modelo, y representa algebraicamente los efectos aditivos de acuerdo a los objetos que almacenan los datos:

• respuesta ~ predictor lineal
• \( y \sim 1 \), modelo nulo
• \( y \sim x_1 \), modelo lineal simple
• \( y \sim x_1 + x_2 + ... + x_{n-1} + x_n \), modelo lineal múltiple
• \( y \sim x_1 * x_2 \), es lo mismo que \( y \sim x_1 + x_2 + x_1:x_2 \)

Funciones para el ajuste de modelos lineales, y para extraer información de ellos

• lm(): regresión lineal
• aov(): análisis de la varianza
• glm(): modelos lineales generalizados (GLMs)
• update(): actualizar y ajustar un modelo lm o glm
• step(): búsqueda paso-a-paso de modelos minimizando AIC
• anova(): anális varianza modelo/comparación entre modelos anidados
• summary(): resumen del ajuste del modelo

Funciones para el ajuste de modelos lineales, y para extraer información de ellos

• confint(): intervalos de confianza para los coeficientes del modelo
• predict(): predicciones en una nueva matriz de datos
• plot(): gráficos específicos
• resid(): residuales (valores observados - valores predichos)
• fitted(): valores predichos por el modelo
• vcov(): matriz de varianzas-covarianzas del modelo
• AIC(): Akaike's index criterion para el modelo ajustado

La librería lessR() tiene como lema menos código, más resultados. Presenta funciones útiles para el análisis descriptivo y para tests estadísticos clásicos. Es recomendable tanto como herramienta de análisis como herrramienta de docencia

Como para cualquier package en CRAN, primero habría que descargarlo (install.packages(“lessR”)), y luego cargarlo en memoria (library(lessR)), para poder trabajar con él

data(sleep)
t.test(extra ~ factor(group), data = sleep, var.equal = TRUE)

    Two Sample t-test

data:  extra by factor(group)
t = -1.8608, df = 18, p-value = 0.07919
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -3.363874  0.203874
sample estimates:
mean in group 1 mean in group 2 
           0.75            2.33 

• La función t.test() devuelve el valor t, sus grados de libertad y el p-valor asociado, las medias de cada grupo, y el IC al 95% de su diferencia

• La función ttest() de lessR, versión breve, devuelve además la media, DE, y número de observaciones por grupo, la diferencia de medias bruta y estandarizada, y su IC al 95%. Incluye un gráfico que permite apreciar la separación entre grupos

La función ttest() de lessR, versión extendida, añade además (1) un análisis de las asunciones subyacentes (distribución normal de la variable resultado en cada grupo, igualdad de varianzas entre los grupos en comparación), (2) los resultados asumiendo - y sin asumir - igualdad de varianzas, y (3) un análisis de la importancia práctica de la diferencia de medias, y de la diferencia estandarizada de medias, en caso de que se hubieran establecido previamente

• merge() —> Merge()
• barplot() —> BarChart()
• boxplot() —> BoxPlot()
• plot() —> Plot()
• hist() —> Histogram()
• summary() —> SummaryStats()
• power.t.test() —> ttestPower()

• dnorm() —> Density()
• dnorm() —> prob.znorm()
• pnorm() —> prob.norm()
• qt(); pnorm() —> prob.tcut()

• t.test() —> ttest()
• aov() —> ANOVA()
• cor(), cor.test(), cov() —> Correlation()
• lm() —> Regression()
• lm(); aov(); t.test() —> Model()
• glm(family=“binomial”) —> Logit()

A diferencia de otros programas, R tiene una curva de aprendizaje larga. Aprender R es utilizarlo, cometer errores y resolverlos, sea por uno mismo, o con el apoyo de la muy extensa comunidad de R. En mi experiencia, la mejor forma de aprender los rudimentos de un nuevo programa ha sido siempre el utilizarlo en un proyecto nuevo, y desarrollarlo enteramente con ese programa

El objetivo de este curso ha sido introducir R como herramienta de análisis estadístico y como tal no ha desarrollado contenidos de estadística teórica (teorema central del límite, probabilidad y pruebas de hipótesis), ni contenidos aplicados de interés para estudiantes de ramas biomédicas (regresión logística, análisis de supervivencia…). Tampoco ha presentado los aspectos de programación y simulación que son uno de los principales recursos de R en el trabajo académico. Para quién quiera profundizar en esos aspectos, las referencias bibliográficas del curso son un buen camino a seguir…

• NJ Horton & K Kleinman (2015). Using R and RStudio for data management, statistical analysis, and graphics. CRC Press.
• TW McFarland (2014). Introduction to data analysis and graphical presentation in biostatistics with R. Springer.
• P Dalgaard (2008). Introductory statistics with R. Springer.
• HM Kaltenbach (2012). A concise guide to statistics. Springer.

• RA Muenchen (2011). R for SAS and SPSS users.Springer.
• RA Muenchen & JM Hilbe (2010). R for Stata users. Springer.

• Si tiene datos por ahí, no los desperdicie. Introdúzcalos en el ordenador y presente como significativa cualquier comparación en la que \( P<0.05 \)
• Si el análisis previsto de los datos no le proporciona el resultado esperado, pruebe con otro
• Si sus resultados no son interesantes, fuerce a su ordenador a comparar grupos y subgrupos. Puede que consiga engañar a alguien
• Ignore todas las perdidas y no respuestas, y analice exclusivamente a los individuos que tenga completos

• Si le molestan algunos valores extremos, elimínelos del análisis. Pero si le convienen, aunque parezcan sospechosos, déjelos dentro
• Suponga que todos los datos numéricos de su muestra son cuantitativos y proceda en consecuencia. Puede que el ordenador le calcule la media de su grupo sanguíneo
• No compruebe si sus datos siguen una distribución normal. Si lo hace, se le pueden complicar las cosas
• Si encuentra diferencias basales entre grupos a favor del grupo de estudio, recuerde no tenerlas en cuenta

• Suponga que todo se puede correlacionar con todo, calcule el coeficiente de correlación de Pearson, y concluya que una \( r \) significativa demuestra causalidad
• Si no obtiene resultados significativos, no los presente. Y es más, ni siquiera los mencione en la discusión
• Si las diferencias entre grupos ya se vislumbran antes de terminar el estudio, deténgalo y empiece a escribir. Alternativamente, si todavía no ha tenido esa suerte, prolónguelo un poquito más
• En definitiva, no se preocupe demasiado por el diseño del estudio y reclute como pueda el máximo número de individuos. Analícelos, asuma que su muestra es representativa de la población y concluya

• Revisión extensa de la literatura con carácter previo (diseños, resultados positivos y negativos…)
• Colaboración con el analista desde el comienzo del estudio
  • Muestra; diseño, y control de sesgos; diseño de los análisis
  • Problemas comunes: triple ciego; todas con todas
• Costo desglosado por capítulos (proceso de datos, elaboración informe estadístico)
• Análisis de los sesgos
• Los estudios con resultados negativos también son importantes
• No torturar nunca los datos

• t-test para muestras independientes –> test de Wilcoxon-Mann-Whitney
• t-test para muestras emparejadas –> test de Wilcoxon para muestras emparejadas
• ANOVA de una vía –> test de Kruskal-Wallis
• Correlación de Pearson –> correlación de Spearman

Se realizan múltiples pruebas de hipótesis cuando:

• se comparan varios tratamientos entre si
• se utilizan varias resultados para evaluar cambios
• Se evalúa el mismo resultado en distintos tiempos con tests estadísticos en cada uno
• análisis de subgrupos

• Correcciones para tests múltiples
  • Bonferroni: \( P-corrected = \frac{0.05}{n} \)
• Análisis
  • Objetivo primario –> resultado primario –> análisis primario
  • Análisis secundarios –> análisis exploratorios

Enjoy the result you have found by exploratory data analysis, for you will not find it again

Stephen Senn

• Tratamiento de 2 ramas
  • t-test
  • Wilcoxon
  • Regresión lineal
• Tratamiento con más de 2 ramas
  • Análisis de la varianza (1 vía)
  • Regresión lineal

• Tratamiento de 2 ramas
  • \( \chi^2 \)
  • Regresión logística
• Tratamiento con más de 2 ramas
  • \( \chi^2 \)
  • Regresión logística

• Tratamiento de 2 ramas
  • Kaplan-Meier
  • Regresión de Cox
• Tratamiento con más de 2 ramas
  • Kaplan-Meier
  • Regresión de Cox