Estadística y Probabilidad

Tabla de contenido

• Probabilidad de eventos independientes
  • Independencia de eventos
    • Ejemplos
  • Regla de multiplicación para eventos independientes
  • Eventos independientes vs. dependientes
  • Eventos excluyentes \(\neq\) eventos independientes
  • Ejemplos
  • Ejercicios

Probabilidad de eventos independientes

Algunas situaciones de probabilidad implican más de un evento. Cuando los eventos no se afectan entre sí, se les conoce como eventos independientes. Los eventos independientes pueden incluir la repetición de una acción como lanzar un dado más de una vez, o usar dos elementos aleatorios diferentes, como lanzar una moneda y girar una ruleta. Muchas otras situaciones también pueden incluir eventos independientes.

Ejemplos

Ejemplo 2

Los eventos:

• Comer “fast food” cada noche.
• Aumentar de peso.

Son eventos dependientes, porque el hecho de comer “fast food” cada noche, dará como consecuencia aumentar de peso.

Ejemplo 3

Los eventos:

• La batería de tu celular está sin carga.
• La batería de tu laptop está cargada.

Son eventos independientes, porque el hecho de que tu celular este sin carga no afecta en que tu laptop este con (o sin) carga.

Regla de la multiplicación para eventos independientes

Sean \(A\) y \(B\) dos eventos independientes y contenidos en el espacio muestral \(\Omega\). Entonces.

\[p(A \cap B)=p(A)\cdot p(B)\]

En general, sean \(B_1,B_2,B_3,\dots ,B_k\) eventos independientes del espacio muestral \(\Omega\), entonces:

\[p(B_1 \cap B_2 \cap B_3 \cap \dots \cap B_k)=p(B_1) p(B_2) p(B_3) \cdots p(B_k)\]

Observación:

\(A \cap B\), también se entiende como \(A \text{ y } B\), es decir,

\[p(A \cap B)=p(A \text{ y } B)\]

Ejemplos

1. Suponga que A y B son dos eventos independientes y además, que \(p(A)=0.2\), \(p(B)=0.4\). Encuentre:
   1. \(p(A \cap B)\)
   2. \(p(A \cup B)\)
   3. \(p(\overline{A \cup B})\)
   4. \(p(\overline{A} \cap \overline{B})\)
2. De acuerdo al Reporte nacional de estadísticas vitales del 2003, la probabilidad de que un hombre de 40 años llegue a los 41 años es \(0.9975\). Calcule la probabilidad de que:
   1. 2 hombres de 40 años seleccionados aleatoriamente lleguen a los 41 años.
   2. 4 hombres de 40 años seleccionados aleatoriamente lleguen a los 41 años.

Ejemplo: eventos independientes vs. dependientes

Eventos excluyentes \(\neq\) Eventos independientes.

Dos eventos son independientes, si la ocurrencia de uno, no afecta al otro y viceversa; y dos eventos son disjuntos si no tienen elementos en común, significa que no pueden ocurrir los dos a la vez, es decir la ocurrencia de uno excluye al otro.

• Dos eventos independientes, no son eventos necesariamente excluyentes.
• Dos eventos excluyentes, son eventos necesariamente independientes.

Ejemplo: eventos independientes \(\nRightarrow\) excluyentes

Consideremos una moneda y un dado de seis caras.

Los eventos A y B son independientes, porque el resultado de uno no afecta el resultado del otro. La probabilidad de que ocurran tanto A como B es

\[p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{12}\]

Vemos entonces que un par de eventos independientes, no son necesariamente excluyentes.

Ejemplo: eventos excluyentes \(\Rightarrow\) independientes

Considere un dado de seis caras y que las caras pares son de color rojo y las caras impares son de color amarillo.

Los eventos A y B son excluyentes (A y B no pueden ocurrir simultáneamente). Por lo tanto,

\[p(A \cap B) = p(\phi)=0\]

Vemos entonces que un par de eventos no triviales mutuamente excluyentes, son necesariamente independientes.

Observación

Esto tiene sentido, porque si A y B son mutuamente excluyentes, entonces si A ocurre, entonces B no puede ocurrir también; y viceversa. Esto contrasta con decir que el resultado de A no afecta el resultado de B, que es independencia de los eventos.

Ejercicios

1. En el lanzamiento de un dado, ¿Cuál es?
   1. el expacio muestral?
   2. la probabilidad de obtener un número impar o 6.
   3. la probabilidad de no obtener número par y no obtener un 6.
2. Una persona que ingresa a Caribe Plaza tiene probabilidades de: \(0.35\) de comer pizza, \(0.32\) de ver una pelicula y \(0.45\) de comer sandwich. Para una persona que ingresó a Caribe Plaza, ¿Cuál es la probabilidad de?
   1. comer pizza, ver una pelicula y comer sandwich.
   2. comer pizza o ver una pelicula.
   3. comer pizza o comer sandwich.
   4. no comer pizza y no comer sandwich.
   5. no comer pizza o no comer sandwich.
3. Lilibeth tiene 10 pares de calcetines: 2 negros, 2 cafés, 3 blancos, 1 rojo, 1 azul, y 1 verde. Hoy quiere usar el par blanco, pero tiene prisa para llegar al trabajo, por lo que agarra un para al azar. Si no es blanco, lo devolverá al cajón. Si continúa agarrando pares aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un par blando en su tercer intento?