Supongamos que lanzamos un dado justo (6 caras) 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 veces un número par (2, 4 o 6)?
Procedimiento en R:
# Calcular la probabilidad usando la distribución binomial
n <- 10 # número de ensayos
p <- 1/2 # probabilidad de éxito (obtener un número par)
x <- 3 # número de éxitos deseados
probabilidad <- dbinom(x, n, p)
probabilidad## [1] 0.1171875Supongamos que estamos organizando una elección y hay 500 votantes. Si el 60% de los votantes apoya a un candidato en particular, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 300 votantes lo apoyen?
# Calcular la probabilidad usando la distribución binomial
n <- 500 # número de votantes
p <- 0.6 # probabilidad de éxito (apoyar al candidato)
x <- 300 # número de votantes que lo apoyan
probabilidad <- dbinom(x, n, p)
probabilidad## [1] 0.03639907Para la distribución binomial, la media se calcula como \(μ = np\), y la varianza como \(σ^2 = np(1-p)\). Utiliza las siguientes fórmulas para calcular la media y la varianza en cada caso.
Supongamos que estamos lanzando una moneda justa hasta que obtengamos cara (éxito). ¿Cuál es la probabilidad de que necesitemos lanzarla exactamente 4 veces antes de obtener la primera cara?
Procedimiento en R:
# Calcular la probabilidad usando la distribución geométrica
p <- 1/2 # probabilidad de éxito (obtener cara)
x <- 4 # número de lanzamientos antes del primer éxito
probabilidad <- dgeom(x, p)
probabilidad## [1] 0.03125Supongamos que un servidor web recibe solicitudes de usuarios, y en promedio, una solicitud se realiza cada 10 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo usuario realice su solicitud después de esperar 15 minutos?
Procedimiento en R:
# Calcular la probabilidad usando la distribución geométrica
lambda <- 15/10 # promedio de solicitudes realizadas (en 15 minutos)
x <- 0 # número de minutos de espera
probabilidad <- dgeom(x, lambda)## Warning in dgeom(x, lambda): NaNs producedprobabilidad## [1] NaNPara la distribución geométrica, la media se calcula como \(μ = \frac{1}{p}\) y la varianza como \(σ^2 = \frac{1-p}{p^2}\). Utiliza estas fórmulas para calcular la media y la varianza en cada caso.
Supongamos que estamos tirando una moneda justa hasta que obtengamos tres caras (éxitos). ¿Cuál es la probabilidad de que necesitemos tirarla exactamente 5 veces antes de obtener las tres caras?
Procedimiento en R:
# Calcular la probabilidad usando la distribución binomial negativa
r <- 3 # número de éxitos requeridos
p <- 1/2 # probabilidad de éxito (obtener cara)
x <- 5 # número total de lanzamientos
probabilidad <- dnbinom(x - r, r, p)
probabilidad## [1] 0.1875Supongamos que una tienda en línea tiene un promedio de 6 compras exitosas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que necesiten procesar exactamente 10 compras antes de tener 3 compras exitosas?
Procedimiento en R:
# Calcular la probabilidad usando la distribución binomial negativa
r <- 3 # número de éxitos requeridos
p <- 6/60 # probabilidad de éxito por minuto (6 compras por hora)
x <- 10 # número total de compras procesadas
probabilidad <- dnbinom(x - r, r, p)
probabilidad## [1] 0.01721869Para la distribución binomial negativa, la media se calcula como \(μ = \frac{r}{p}\) y la varianza como \(σ^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}\). Utiliza estas fórmulas para calcular la media y la varianza en cada caso.
Calcular la probabilidad de obtener exactamente 2 ases al elegir 5 cartas al azar de una baraja de 52 cartas, en la cual hay 4 ases.
Procedimiento en R:
# Calcular la probabilidad usando la distribución hipergeométrica
M <- 52 # tamaño de la población (número total de cartas)
n <- 5 # número de cartas seleccionadas
N <- 4 # número de ases en la población
x <- 2 # número de ases deseados
probabilidad <- dhyper(x, N, M - N, n)
probabilidad## [1] 0.03992982En un proceso de selección de empleados públicos, se sabe que hay un total de 300 candidatos, de los cuales 60 tienen experiencia en el sector público (criterio deseado). El proceso consiste en seleccionar un comité de 10 candidatos al azar para entrevistarlos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 4 de los candidatos seleccionados tengan experiencia en el sector público?
Procedimiento en R:
# Parámetros
M <- 300 # Tamaño de la población total
N <- 60 # Número de candidatos con experiencia en el sector público
n <- 10 # Tamaño de la muestra (comité)
x <- 4 # Número mínimo de candidatos con experiencia deseada
# Calculamos la probabilidad usando la distribución hipergeométrica
probabilidad <- 1 - sum(dhyper(0:(x-1), N, M - N, n))
probabilidad## [1] 0.1172727Para la distribución hipergeométrica, la media se calcula como \(μ = \frac{nN}{M}\) y la varianza como \(σ^2 = n\frac{N}{M}\frac{M-N}{M}\frac{M-n}{M-1}\). Utiliza estas fórmulas para calcular la media y la varianza en cada caso.
Supongamos que en promedio se reciben 10 correos electrónicos no deseados por hora. ¿Cuál es la probabilidad de recibir exactamente 5 correos electrónicos no deseados en una hora específica?
Procedimiento en R:
# Tasa promedio de llegada de solicitudes (una solicitud cada 10 minutos)
lambda <- 1 / 10 # Solicitudes por minuto
# Número de solicitudes en 15 minutos
k <- 15 * lambda
# Calcular la probabilidad de que el próximo usuario realice una solicitud después de 15 minutos
probabilidad <- 1 - ppois(k - 1, lambda)
# Imprimir la probabilidad
probabilidad## [1] 0.09516258Supongamos que en una ciudad, el promedio de accidentes automovilísticos por día es de 2. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran exactamente 4 accidentes en un día específico?
Procedimiento en R:
# Calcular la probabilidad usando la distribución de Poisson
lambda <- 2 # tasa promedio de accidentes automovilísticos por día
x <- 4 # número de accidentes deseados
probabilidad <- dpois(x, lambda)
probabilidad## [1] 0.09022352Para la distribución de Poisson, tanto la media como la varianza son iguales a \(λ\), que es la tasa promedio de ocurrencia del evento. Utiliza esta fórmula para calcular la media y la varianza en cada caso.