Caso 1, Estocasticos, Ana Maria Beltrán Cortés
Felipe Angel, Daniela Ceron, Mariana Diaz
2024-04-03
#Punto 1
- Explique, según el contexto del caso, si la transición entre las etapas de cada oportunidad podría modelarse usando una cadena de Markov de orden 1.
El caso de la empresa “We Sell Everything in Software” (WSES) Inc. tiene un proceso donde las oportunidades de venta pasan por tres diferentes etapas para firmar el contrato “W” con los clientes, las etapas son “A” la cual hace referencia a la petición, iniciación y respuesta.”B” que es la discusión comercial y preselección, “C” el cual muestra la discusión de contrato. Cada oportunidad puede moverse de una etapa a otra en el transcurso del tiempo, y el objetivo es predecir la probabilidad de que una oportunidad en una etapa determinada pase a otra en los próximos periodos. Dado esto, la empresa tiene dos etapas finales, los cuales se conoce como “L” que es perdida o que el cliente se retiró y “W” el cual refiere a que se firmó el contrato.
Las transiciones entre las etapas (A, B, C, L, W) de cada oportunidad podrían modelarse usando cadena de Markov de orden 1, se debe tener en cuenta que la probabilidad de que una oportunidad se mueva a una etapa depende de la etapa en el que se encuentre, y no de su historial. Las transiciones entre las etapas dependen del estado actual y no todos los datos pasados, sino de su estado inmediatamente anterior. Si un sistema puede estar en cualquiera de los n estados, es decir S1…., Sn. Se observa el estado S(t) del sistema en tiempos discretos t = 1, 2, .., N. En el modelo de cadena de Markov de orden 1 se plantea la hipótesis de que existen constantes pij para 1 < i < n y 1 < j < n, independientes de 1. Por ende, si el estado Si pertenece al momento t, entonces el estado S; pertenece al tiempo t + 1 con probabilidad pij [1]. A continuación, se presentan los estados y el tiempo para el caso expuesto de la compañía “We Sell Everything in Software” (WSES) Inc:
S = ⎨A: Iniciación y respuesta, B: discusión comercial y preselección, C: Discusión del contrato, L: Pérdida o retiro del cliente, W: Firma de contrato con el cliente⎬
T = ⎨ 1: Noviembre, 2: Diciembre, 3: Enero⎬
Homogeneidad de tiempo: Este implica que las probabilidades de transición entre las etapas del proceso son constantes y no dependen del tiempo ni de otras variables externas. Con respecto al contexto que nos brindan de “We Sell Everything in Software” (WSES) Inc. la homogeneidad se cumpliría si las probabilidades de transición entre las etapas (A, B, C) permanecen constantes en cada período de tiempo considerado, sin verse afectadas por factores externos como cambios en las condiciones del mercado o en las estrategias de la empresa. Por lo que, con respecto al contexto y que no se menciona que las características del proceso cambian con el tiempo, no se evidenciaría homogeneidad de tiempo.
Estacionariedad de individuo: el comportamiento transicional de los clientes no es el mismo, ya que este se ve influenciado por factores individuales y propios que determinan la decisión del cliente para pasar de un estado a otro, como lo son el conocimiento y las propuestas de otras empresas que pueden ser competidores de “We Sell Everything in Software” (WSES) Inc., generando que decidan quedarse o desertar de esta empresa e irse con la competencia. También, la comunicación entre el cliente y la empresa puede alinearse o no, generando seguir o no dependa de los intereses individuales de cada cliente. Por ende, las probabilidades de transición de que los clientes pasen de un estado a otro no es el mismo, así que no existe homogeneidad de individuo.
Orden: Es una cadena de Markov de primer orden, lo que implica que la probabilidad de transición de una etapa a patria depende del estado actual, es decir, la etapa en el que se encuentra la oportunidad en el momento dado. Esto se corrobora con base en lo que menciona Ben Osborne menciona que las estimaciones se basan en el estado actual de las ventas y no en un historial completo de ventas.
- Para cada uno de los datos obtenidos en cada mes
a, Construya la matriz de frecuencias y realice estadística descriptiva. Hint: Para que el paquete distinga entre oportunidades, es necesario que al finalizar cada cliente se agregue un NA.
ENERO
# Cargar la matriz de transición desde el archivo .RData
load("matriz_transicion.RData")
# Mostrar la matriz de transición
knitr::kable(matriz_transicion)| A | B | C | L | W | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 10032 | 6039 | 0 | 3960 | 0 |
| B | 0 | 3986 | 4515 | 1524 | 0 |
| C | 0 | 0 | 1961 | 2949 | 1566 |
| L | 0 | 0 | 0 | 16866 | 0 |
| W | 0 | 0 | 0 | 0 | 3132 |
Analisis descriptivo Enero
library(readr)
library(markovchain)
library(expm)
library(psych)
library(tidyverse)
library(modeest)
library(fdth)
library(foreign)
library(tidyr)
library(igraph)
library(ggplot2)
library(car)
# Cargar la matriz de transición desde el archivo .RData
load("matriz_transicion.RData")
# Cálculos estadísticos
media <- mean(matriz_transicion)
error_tipico <- sd(matriz_transicion) / sqrt(length(matriz_transicion))
mediana <- median(matriz_transicion)
moda <- as.numeric(names(sort(-table(matriz_transicion))))[1] # Moda para matrices no numéricas
desviacion_estandar <- sd(matriz_transicion)
varianza_muestra <- var(as.vector(matriz_transicion))
curtosis <-curtosis_total <- kurtosi(as.vector(matriz_transicion))
coeficiente_asimetria <- skewness(as.vector(matriz_transicion))
rango <- range(matriz_transicion)
minimo <- min(matriz_transicion)
maximo <- max(matriz_transicion)
suma <- sum(matriz_transicion)
cuenta <- length(matriz_transicion)
mayor <- max(matriz_transicion)
nivel_confianza_95 <- qt(0.975, df = length(matriz_transicion) - 1)
# Mostrar resultados
cat("Media:", media, "\n")## Media: 2261.2cat("Error típico:", error_tipico, "\n")## Error típico: 788.277cat("Mediana:", mediana, "\n")## Mediana: 0cat("Moda:", moda, "\n")## Moda: 0cat("Desviación estándar:", desviacion_estandar, "\n")## Desviación estándar: 3941.385cat("Varianza muestra:", varianza_muestra, "\n")## Varianza muestra: 15534515cat("Curtosis:", curtosis, "\n")## Curtosis: 5.247492cat("Coeficiente de asimetría:", coeficiente_asimetria, "\n")## Coeficiente de asimetría: 2.285383cat("Rango:", rango, "\n")## Rango: 0 16866cat("Mínimo:", minimo, "\n")## Mínimo: 0cat("Máximo:", maximo, "\n")## Máximo: 16866cat("Suma:", suma, "\n")## Suma: 56530cat("Cantidad de datos:", cuenta, "\n")## Cantidad de datos: 25cat("Mayor valor:", mayor, "\n")## Mayor valor: 16866cat("Nivel de confianza al 95%:", nivel_confianza_95, "\n")## Nivel de confianza al 95%: 2.063899Estadística descriptiva enero Con relación a la estadística descriptiva, permite resumir y describir las características del proceso de ventas de la empresa “We Sell Everything in Software” (WSES) Inc., Asimismo, este permite entender las oportunidades de venta a través de las diferentes etapas y cuáles serían los porcentajes de esas oportunidades serían ventas exitosas, cuáles se pierden o retiren.
De igual manera, la implementación de esta herramienta gracias a los gráficos y medidas de tendencia se identificarán patrones y tendencias en el proceso de ventas. Al igual que las áreas problemáticas en el proceso. Por lo que, para el mes de enero se presentó un valor para la media de 2261,2, lo que indica el número promedio de oportunidades que avanzan de una etapa a otra en el proceso de ventas. Sin embargo, dado esta cifra, se debe tener en cuenta que podría ocultar variaciones en el traslado, debido a factores como la estacionalidad, efectividad de las estrategias de ventas de la empresa, la demanda, entre otros.
El error típico o error estándar de la media, es una forma para precisar la estimación de la media muestral, en este mes dio un valor de 788,277, indicando cuánto varía la media muestral de las oportunidades de ventas de diciembre con respecto a la media poblacional. Asimismo, se evidencia una posible variabilidad en las estimaciones de la media muestral. En relación con la mediana y moda, para este caso dieron 0, lo que se podría interpretar como que la mayoría de las etapas del proceso no registraron ningún movimiento de oportunidades durante este mes de enero. La empresa pudo no haber tenido ventas, falta de planeación entre las etapas, falta de apoyo por parte de la empresa a sus clientes, falta correlación entre las etapas.
La desviación estándar es de 3944,215, indicando la dispersión de los datos en el número de oportunidades entre las etapas diariamente. Estos cambios podrían ser el resultado de cambios que ha presentado la empresa, cambios en la demanda, efectividad, entre otros.
Con respecto a la varianza muestral, indica la media de dispersión de los datos en el número de oportunidades que se mueven de una etapa a otra en las ventas del mes de enero, para este caso dio 15556835 lo que implica que los datos sobre el movimiento de oportunidades son dispersos.
Con el fin de encontrar y evaluar la forma de la distribución de los datos en cada una de esas etapas, se halló el coeficiente de apuntamiento o curtosis, esta media nos menciona que tan puntiaguda es una comparación la distribución normal. Para este caso, fue de 8,934419, lo que indican una distribución leptocúrtica, lo que corresponde a una distribución de los datos es más puntiaguda, con colas más pesadas en comparación con una distribución normal.
Por otro lado, el coeficiente de asimetría nos dio un valor de 2,429697, lo que hace referencia a una distribución sesgada hacia la derecha (cola derecha), asimismo, una asimetría positiva en la distribución de los datos. Lo que significa que la empresa que hay concentración de datos en el mes de enero con valores más bajos, con una cola larga hacia valores más altos. Expresando que hay más oportunidad en las etapas tempranas (A) del proceso de ventas que en comparación con las etapas finales del proceso (C o L).
Otra herramienta de estadística descriptiva es el rango, el cual es una media que representa la diferencia entre el valor máximo y mínimo en un conjunto de datos. Para la empresa “We Sell Everything in Software” (WSES) Inc., el rango es 0 a 16866, indicando la amplitud total de las oportunidades registradas en las etapas del mes de enero. El valor mínimo que en este caso es 0 es que durante este mes en algún momento del mes no hubo oportunidad registrada y máximo es de 16866, lo que indica que en algún tiempo de enero ese fue el valor de las oportunidades. Al momento de entender estos rangos, a la empresa le permitirá comprender la dinámica de las oportunidades de enero en el proceso de ventas, dado que, se presentan tendencias o patrones las cuales permitirán generar estrategias para ventas futuras.
Para finalizar, se obtuvo los valores de suma total de las oportunidades de todas las etapas del proceso de ventas en el mes de enero, el cual dio un valor de 56530. Asimismo, se identificó cuenta, la cual es 25, lo que hace referencia al valor total de observaciones o datos que se recopilaron y el nivel de confianza del 95%, igual a 2,063899, el cual hace alusión a que con este porcentaje de confianza se puede estar seguro de que el intervalo contiene el parámetro poblacional verdadero. El valor generado representa el valor crítico de la distribución t de student para 95% y 24 grados de libertad.
Tabla de frecuencias Diciembre
# Cargar la matriz de transición desde el archivo .RData
load("matriz_transicion2.RData")
# Mostrar la matriz de transición
knitr::kable(matriz_transicion2)| A | B | C | L | W | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 10083 | 5956 | 0 | 4044 | 0 |
| B | 0 | 3965 | 4508 | 1448 | 0 |
| C | 0 | 0 | 1977 | 2968 | 1540 |
| L | 0 | 0 | 0 | 16866 | 0 |
| W | 0 | 0 | 0 | 0 | 3132 |
Estadistica descriptiva Diciembre
## Media: 2259.48## Error típico: 788.8431## Mediana: 0## Moda: 0## Desviación estándar: 3944.215## Varianza muestra: 15556835## Curtosis: 5.241149## Coeficiente de asimetría: 2.285732## Rango: 0 16866## Mínimo: 0## Máximo: 16866## Suma: 56487## Cantidad de datos: 25## Mayor valor: 16866## Nivel de confianza al 95%: 2.063899Estadística descriptiva diciembre
Con respecto a la estadística descriptiva, permite resumir y describir las características del proceso de ventas de la empresa “We Sell Everything in Software” (WSES) Inc, Asimismo, este permite entender las oportunidades de venta a través de las diferentes etapas y cuáles serían los porcentajes de esas oportunidades serían ventas exitosas, cuáles se pierden o retiren en el mes de diciembre.
Para comenzar, se identificó que la media es de 2259,48 para el mes de diciembre, lo que indica que ese fue el valor promedio de oportunidades de ventas de este mes. Con respecto al error típico o error estándar de la media, es una forma para precisar la estimación de la media muestral, en este mes dio un valor de 788,8431, indicando cuánto varía la media muestral de las oportunidades de ventas de diciembre con respecto a la media poblacional. Asimismo, se evidencia una posible variabilidad en las estimaciones de la media muestral.
Con respecto a la moda y la mediana, para este mes ambas dieron 0, lo que significa que los valores son muy bajos o incluso 0. Dado que, como se sabe, la moda representa el valor con mayor frecuencia de los datos, mientras que la mediana representa el valor central cuando los datos estarían organizados de mayor a menor. Al referirse a la desviación estándar, la cual permite indicar la variación de los datos de diciembre con respecto a la media que para este caso es de 3944,215. Para la empresa “We Sell Everything in Software” (WSES) Inc., los valores arrojados de estas herramientas brindan información sobre la distribución y el comportamiento de las oportunidades de ventas. La empresa debería generar estrategias adicionales para gestionar y evitar el riesgo asociado a las variabilidades.
Con relación a la varianza muestral, indica cuánto varían los valores del mes de diciembre con respecto a su media al cuadrado. Para este caso, dio, 15556835, lo que hace referencia a que en promedio los valores de las oportunidades de ventas estarán dispersas, alrededor de la media (2259,48).
Para el mes de diciembre, el valor de la curtosis es de 8.942219 lo que indica una distribución leptocúrtica, indicando que los datos están más concentrados alrededor de la media y los picos más pronunciados en comparación con una distribución normal, con colas más pesadas y una distribución más pronunciada.
Para finalizar se sacaron los valores de coeficiente de asimetría, los rangos, la suma, cuenta y el nivel de confianza, estas herramientas son útiles para que la empresa pueda tomar las mejores decisiones, así como poder anticipar y gestionar mejor los posibles riesgos que se presentarán en un futuro. El coeficiente de asimetría permite saber la simetría en la distribución de los datos, para este caso es de 2.430068, lo que indica que los datos sesgan a la derecha. Los rangos indican el intervalo en el que se distribuyen los datos, para diciembre van de 0 a 100083. La suma total de las observaciones de las etapas son de 56487. Por otro lado, la cuenta es la cantidad total de observaciones o elementos en el conjunto de datos, sería igual a 25.
Con respecto al nivel de confianza, el valor es 2.063899, que representa cuántas desviaciones están por encima y por debajo estarían cubiertas por un intervalo de confianza de 95% alrededor de la media.
Tabla frecuencia Noviembre
# Cargar la matriz de transición desde el archivo .RData
load("matriz_transicion3.RData")
# Mostrar la matriz de transición
knitr::kable(matriz_transicion3)| A | B | C | L | W | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 10037 | 6117 | 0 | 3883 | 0 |
| B | 0 | 4144 | 4614 | 1503 | 0 |
| C | 0 | 0 | 1988 | 3087 | 1527 |
| L | 0 | 0 | 0 | 16866 | 0 |
| W | 0 | 0 | 0 | 0 | 3132 |
Estadistica descriptiva Noviembre
## Media: 2275.92## Error típico: 790.0918## Mediana: 0## Moda: 0## Desviación estándar: 3950.459## Varianza muestra: 15606126## Curtosis: 5.143781## Coeficiente de asimetría: 2.263447## Rango: 0 16866## Mínimo: 0## Máximo: 16866## Suma: 56898## Cantidad de datos: 25## Mayor valor: 16866## Nivel de confianza al 95%: 2.063899Principalmente, se identificó que la media es de 1814.92, lo que indica que ese fue el número promedio de oportunidades para el mes de noviembre. Con respecto al error típico o error estándar de la media, es una forma para precisar la estimación de la media muestral, en este mes dio un valor de 588.8143, indicando cuánto varía la media muestral de las oportunidades de ventas de noviembre con respecto a la media poblacional. Asimismo, se evidencia una posible variabilidad en las estimaciones de la media muestral.
Por otro lado, se obtuvo un valor de 0 en la moda, esto se demuestra, ya que es el valor con más frecuencia de los datos, puesto que no existen transiciones entre L y W. Además, se obtuvo un valor de 0 en la mediana, pues es el valor intermedio al organizar los datos de menor a mayor. Al referirse a la desviación estándar, la cual permite indicar la variación de los datos de diciembre con respecto a la media que para este caso es de 2944.071. Para la empresa WSES, los valores arrojados de estas herramientas brindan información sobre la distribución y el comportamiento de las oportunidades de ventas. La empresa debería generar estrategias adicionales para gestionar y evitar el riesgo asociado a las variabilidades.
En cuanto a la varianza muestral, la cual indica cuánto varían los valores del mes de noviembre con respecto a su media al cuadrado, se obtuvo un valor de 8667557, lo que hace referencia a que en promedio los valores de las oportunidades de ventas estarán dispersas, alrededor de la media (1814.92).
Se halló la curtosis con el fin de encontrar y evaluar la forma de la distribución de los datos en cada una de esas etapas, esta media nos menciona que tan puntiaguda es una comparación la distribución normal. Para este caso, fue de 3.925317, corresponde a una distribución leptocúrtica, lo que indica una distribución de los datos es más puntiaguda, con colas más pesadas en comparación con una distribución normal.
Con respecto a la distribución normal. Las categorías A y W: También tienen curtosis negativas, pero menos pronunciadas que las anteriores. Esto podría demostrar que estas categorías también tienen una distribución achatada, pero no tan extremadamente como las otras categorías.
El coeficiente de asimetría permite saber la simetría en la distribución de los datos, para este caso es de 1.449247, lo que indica que los datos sesgan a la derecha.
El rango muestra la diferencia entre el valor máximo y mínimo de las oportunidades de venta en el mes de noviembre, el cual corresponde a un valor de 10037, ya que el valor máximo es este y el mínimo corresponde a 0. Adicionalmente, la suma total de las observaciones de las etapas es de 45373. Por otro lado, la cuenta es la cantidad total de observaciones o elementos en el conjunto de datos, sería igual a 25.
Con respecto al nivel de confianza, el valor es 2.063899, que representa cuántas desviaciones están por encima y por debajo estarían cubiertas por un intervalo de confianza de 95% alrededor de la media.
B, utilizando RStudio se obtuvieron las siguientes cadenas de marjov de primer orden
Para la empresa “We Sell Everything in Software” (WSES) Inc, las cadenas de Markov para los meses enero, diciembre y noviembre muestran las probabilidades de que una oportunidad de venta en una etapa (A, B, C, L, W) pase a la siguiente.
Cadena de markov para Enero
| A | B | C | L | W | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 0.5008237 | 0.3014827 | 0.0000000 | 0.1976936 | 0.0000000 |
| B | 0.0000000 | 0.3976060 | 0.4503741 | 0.1520200 | 0.0000000 |
| C | 0.0000000 | 0.0000000 | 0.3028104 | 0.4553737 | 0.2418159 |
| L | 0.0000000 | 0.0000000 | 0.0000000 | 1.0000000 | 0.0000000 |
| W | 0.0000000 | 0.0000000 | 0.0000000 | 0.0000000 | 1.0000000 |
Etapa A: La probabilidad de que una oportunidad de venta se conserve en la etapa A es de 0.50008237, mientras que pase a la etapa B es de 0.3014827, que pase a la etapa L es de 0.1976936 mientras que a C y W es de 0.
Etapa B: La probabilidad de que una oportunidad de venta se devuelva a la etapa A es de 0, mientras que de que se conserve en la etapa B es de 0.3976060, que pase a la etapa C es de 0.45537, que pase a la etapa L es de 0.1520200, mientras que pase a la etapa W es de 0.
Etapa C: La probabilidad de que una oportunidad de venta se devuelva a las etapas A o B es de 0, mientras que de que se conserve en la etapa C es de 0.3028104, que pase a la etapa L es de 0.2418159, que pase a la etapa W es de 0.2418159. Etapa L y W: Las probabilidades de que una oportunidad de venta se devuelva a otra etapa anterior o que pase de una etapa a otra es de 0; sin embargo, la probabilidad de que se conserve en L o W para cada etapa respectiva es 1..
De lo anterior, en enero se puede observar que la probabilidad de las oportunidades de venta que se retiran es mayor a las oportunidades de venta que firman el contrato.
Por otro lado, es evidente que las probabilidades de pasar de retirado a alguna otra etapa es de 0, ya que la oportunidad no estaría presente, al igual que al firmar el contrato, ya que ahí se detiene la oportunidad aceptada.
Cadena de markov para diciembre
| A | B | C | L | W | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 0.5020664 | 0.2965692 | 0.0000000 | 0.2013643 | 0.0000000 |
| B | 0.0000000 | 0.3996573 | 0.4543897 | 0.1459530 | 0.0000000 |
| C | 0.0000000 | 0.0000000 | 0.3048574 | 0.4576715 | 0.2374711 |
| L | 0.0000000 | 0.0000000 | 0.0000000 | 1.0000000 | 0.0000000 |
| W | 0.0000000 | 0.0000000 | 0.0000000 | 0.0000000 | 1.0000000 |
Etapa A: La probabilidad de que una oportunidad de venta se conserve en la etapa A es de 0.5020664, mientras que pase a la etapa B es de 0.2965692, que pase a la etapa L es de 0.2013643, mientras que a C y W es de 0. Etapa B: La probabilidad de que una oportunidad de venta se devuelva a la etapa A es de 0, mientras que de que se conserve en la etapa B es de 0.3996573, que pase a la etapa C es de 0.4543897, que pase a la etapa L es de 0.1459530, mientras que pase a la etapa W es de 0. Etapa C: La probabilidad de que una oportunidad de venta se devuelva a las etapas A o B es de 0, mientras que de que se conserve en la etapa C es de 0.3048574, que pase a la etapa L es de 0.4576715, que pase a la etapa W es de 0.2374711. Etapa L y W: Las probabilidades de que una oportunidad de venta se devuelva a otra etapa anterior o que pase de una etapa a otra es de 0; sin embargo, la probabilidad de que se conserve en L o W para cada etapa respectiva es 1.
En diciembre, la probabilidad de las oportunidades de venta que se retiran es mayor a las oportunidades de venta que firman el contrato.
De igual manera, las probabilidades de pasar de retirado a alguna otra etapa es de 0, ya que la oportunidad no estaría presente, al igual que al firmar el contrato, ya que ahí se detiene la oportunidad aceptada.
Cadena de markov para Noviembre
| A | B | C | L | W | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 0.5009233 | 0.3052852 | 0.0000000 | 0.1937915 | 0.0000000 |
| B | 0.0000000 | 0.4038593 | 0.4496638 | 0.1464770 | 0.0000000 |
| C | 0.0000000 | 0.0000000 | 0.3011209 | 0.4675856 | 0.2312935 |
| L | 0.0000000 | 0.0000000 | 0.0000000 | 1.0000000 | 0.0000000 |
| W | 0.0000000 | 0.0000000 | 0.0000000 | 0.0000000 | 1.0000000 |
Etapa A: La probabilidad de que una oportunidad de venta se conserve en la etapa A es de 0,5009233, mientras que pase a la etapa B es de 0,3052852, que pase a la etapa L es de 0,1937915 mientras que a C y W es de 0.
Etapa B: La probabilidad de que una oportunidad de venta se devuelva a la etapa A es de 0, mientras que de que se conserve en la etapa B es de 0,4038593, que pase a la etapa C es de 0,4496638, que pase a la etapa L es de 0,1464770. mientras que pase a la etapa W es de 0.
Etapa C: La probabilidad de que una oportunidad de venta se devuelva a las etapas A o B es de 0, mientras que de que se conserve en la etapa C es de 0,3011209, que pase a la etapa L es de 0,4675856, que pase a la etapa W es de 0,2312935.
Etapa L y W: Las probabilidades de que una oportunidad de venta se devuelva a otra etapa anterior o que pase de una etapa a otra es de 0; sin embargo, la probabilidad de que se conserve en L o W para cada etapa respectiva es 1.
Respecto al mes de noviembre, la probabilidad de las oportunidades de venta que se retiran es mayor a las oportunidades de venta que firman el contrato.
Cabe resaltar que las probabilidades de pasar de retirado a alguna otra etapa es de 0, ya que la oportunidad no estaría presente, al igual que al firmar el contrato, ya que ahí se detiene la oportunidad aceptada.
C. Realice los graficos de estados
Grafico de estados Enero
library(readr)
library(markovchain)
library(expm)
library(psych)
library(tidyverse)
library(modeest)
library(fdth)
library(foreign)
library(tidyr)
library(igraph)
library(ggplot2)
library(car)
# Cargar la matriz de transición desde el archivo .RData
load("cadena_markov_orden1.RData")
# Crear el grafo de la cadena de Markov
grafo_markov <- graph_from_adjacency_matrix(cadena_markov_orden1, mode = "directed", weighted = TRUE)
# Asignar nombres a los vértices (estados)
V(grafo_markov)$name <- colnames(cadena_markov_orden1)
# Asignar etiquetas a los vértices
V(grafo_markov)$label <- V(grafo_markov)$name
# Establecer el diseño del grafo
layout <- layout_with_fr(grafo_markov)
# Graficar el grafo
plot(grafo_markov, layout = layout, edge.label = round(E(grafo_markov)$weight, digits = 3),
vertex.color = "lightblue", vertex.size = 30, vertex.label.cex = 1.3,
edge.arrow.size = 0.6, main = "Grafo de la Cadena de Markov Enero")
Graficos de estados Diciembre
Grafico de estados Noviembre
D, Pruebe el supuesto de Markov usando una prueba chi cuadrado.
Se realizó la prueba chi-cuadrado, la cual nos permite conocer la discrepancia entre la distribución observada y la distribución esperada, asimismo, probar si los datos cumplen con el supuesto de Markov.
Los resultados de cada mes se presentan a continuacion:
library(readr)
library(markovchain)
library(expm)
library(psych)
library(tidyverse)
library(modeest)
library(fdth)
library(foreign)
library(tidyr)
library(igraph)
library(ggplot2)
library(car)
# Hipótesis nula (H0): Hay independencia
cat("H0: Hay independencia\n")## H0: Hay independencia# Hipótesis alternativa (H1): Son dependientes
cat("H1: Son dependientes\n")## H1: Son dependientesload("cadena_markov_orden1.RData")
load("cadena_markov_orden1_2.RData")
load("cadena_markov_orden1_3.RData")
resultado_prueba1 <- chisq.test(cadena_markov_orden1)
resultado_prueba2 <- chisq.test(cadena_markov_orden1_2)
resultado_prueba3 <- chisq.test(cadena_markov_orden1_3)
# Crear una tabla para comparar los resultados
resultados_tabla <- data.frame(
Matriz = c("cadena_markov_orden1", "cadena_markov_orden1_2", "cadena_markov_orden1_3"),
Estadistica_ChiCuadrado = c(resultado_prueba1$statistic, resultado_prueba2$statistic, resultado_prueba3$statistic),
Valor_P = c(resultado_prueba1$p.value, resultado_prueba2$p.value, resultado_prueba3$p.value)
)
# Agregar la columna de significancia a la tabla de comparación
resultados_tabla$Significancia <- 0.05
# Mostrar la tabla de comparación actualizada
print("Comparación de resultados de prueba de chi cuadrado para las tres matrices:")## [1] "Comparación de resultados de prueba de chi cuadrado para las tres matrices:"print(resultados_tabla)## Matriz Estadistica_ChiCuadrado Valor_P Significancia
## 1 cadena_markov_orden1 9.018534 0.9126483 0.05
## 2 cadena_markov_orden1_2 9.050818 0.9113060 0.05
## 3 cadena_markov_orden1_3 9.073777 0.9103442 0.05La prueba de chi-cuadrado se utiliza para evaluar si hay una diferencia significativa entre dos o más conjuntos de datos categóricos. En este caso, se ha realizado una prueba de chi-cuadrado para comparar las cadenas de Markov de diferentes meses (enero, diciembre y noviembre) con el objetivo de determinar si es posible crear una única cadena de Markov que represente el comportamiento general a lo largo del tiempo. Los resultados de la prueba de chi-cuadrado son los siguientes:
Para el mes de noviembre: El valor de chi-cuadrado es 9.018534 con una significancia de 0.05 y un valor p de 0.9126483.
Para el mes de diciembre: El valor de chi-cuadrado es 9.050818 con una significancia de 0.05 y un valor p de 0.9113060.
Para el mes de enero: El valor de chi-cuadrado es 9.073777 con una significancia de 0.05 y un valor p de 0.9103442.
El valor p en cada caso representa la probabilidad de obtener un valor de chi-cuadrado igual o más extremo que el observado si la hipótesis nula de independencia es acepta, como lo fue en este caso, podemos decir que cada matriz es independiente, por lo cual se cumple el supuesto de markov, y rechazamos H1
- Use una prueba de homogeneidad entre las cadenas de Markov de cada mes para analizar si es posible crear una única cadena de Markov.
H0: los datos son homogeneos H1: Los datos no son homogeneos
library(readr)
library(markovchain)
library(expm)
library(psych)
library(tidyverse)
library(modeest)
library(fdth)
library(foreign)
library(tidyr)
library(igraph)
library(ggplot2)
library(car)
epsilon <- 1e-10
# Calcular la diferencia entre las matrices de transición de cada mes
diferencia_matrices_1_2 <- cadena_markov_orden1 - cadena_markov_orden1_2
diferencia_matrices_1_3 <- cadena_markov_orden1 - cadena_markov_orden1_3
diferencia_matrices_2_3 <- cadena_markov_orden1_2 - cadena_markov_orden1_3
# Calcular la estadística de prueba chi-cuadrado para la diferencia de matrices 1-2
chi_cuadrado_diff_1_2 <- sum((diferencia_matrices_1_2)^2 / (matriz_transicion + epsilon))
# Calcular la estadística de prueba chi-cuadrado para la diferencia de matrices 1-3
chi_cuadrado_diff_1_3 <- sum((diferencia_matrices_1_3)^2 / (matriz_transicion2 + epsilon))
# Calcular la estadística de prueba chi-cuadrado para la diferencia de matrices 2-3
chi_cuadrado_diff_2_3 <- sum((diferencia_matrices_2_3)^2 / (matriz_transicion3 + epsilon))
# Grados de libertad para la prueba de chi-cuadrado
grados_libertad_diff <- (nrow(cadena_markov_orden1) - 1) * (ncol(cadena_markov_orden1) - 1)
# Calcular los valores p utilizando la distribución chi-cuadrado
valor_p_diff_1_2 <- 1 - pchisq(chi_cuadrado_diff_1_2, df = grados_libertad_diff)
valor_p_diff_1_3 <- 1 - pchisq(chi_cuadrado_diff_1_3, df = grados_libertad_diff)
valor_p_diff_2_3 <- 1 - pchisq(chi_cuadrado_diff_2_3, df = grados_libertad_diff)
# Crear dataframe con los resultados
resultados_homogeneidad <- data.frame(
Prueba = c("Diferencia de matrices 1-2", "Diferencia de matrices 1-3", "Diferencia de matrices 2-3"),
Estadistica_chi_cuadrado = c(chi_cuadrado_diff_1_2, chi_cuadrado_diff_1_3, chi_cuadrado_diff_2_3),
Valor_p = c(valor_p_diff_1_2, valor_p_diff_1_3, valor_p_diff_2_3),
Significancia = 0.05,
Resultado = ifelse(c(valor_p_diff_1_2, valor_p_diff_1_3, valor_p_diff_2_3) > 0.05, "SE ACEPTA", "NO SE ACEPTA")
)
# Mostrar la tabla en formato kable con valores centrados
knitr::kable(resultados_homogeneidad, caption = "Resultados de la prueba de homogeneidad entre las cadenas de Markov de cada mes", align = "c")| Prueba | Estadistica_chi_cuadrado | Valor_p | Significancia | Resultado |
|---|---|---|---|---|
| Diferencia de matrices 1-2 | 1e-07 | 1 | 0.05 | SE ACEPTA |
| Diferencia de matrices 1-3 | 2e-07 | 1 | 0.05 | SE ACEPTA |
| Diferencia de matrices 2-3 | 1e-07 | 1 | 0.05 | SE ACEPTA |
Los resultados de la prueba de homogeneidad entre las cadenas de Markov de cada mes indican si es posible crear una única cadena de Markov que represente el comportamiento general de las oportunidades de ventas a lo largo de varios meses.
Por lo que, se realiza la prueba de chi-cuadrado y diferencia de matrices 1-2: La estadística de chi-cuadrado es 1e-07, lo que indica una diferencia muy pequeña entre las matrices de transición de los dos primeros meses. El valor p es 1, lo que significa que no hay diferencias significativas entre estas matrices. Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula de que las cadenas de Markov de los dos primeros meses son homogéneas.
Diferencia de matrices 1-3: Se observa una diferencia aún más pequeña entre las matrices de transición del primer y tercer mes, con una estadística de chi-cuadrado de 2e-07 y un valor p de 1. Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula de homogeneidad entre estas matrices.
Diferencia de matrices 2-3: De manera similar, se encuentra una diferencia mínima entre las matrices de transición del segundo y tercer mes, con una estadística de chi-cuadrado de 1e-07 y un valor p de 1. Esto indica que las cadenas de Markov de estos dos meses son homogéneas.
Además tambien se utilizo el diagrama de cajas y bigotes para hacer la comparacion entre los meses.
library(ggplot2)
# Combinar las tres matrices en un único dataframe para facilitar la visualización
data_combined <- data.frame(
Matriz = rep(c("Enero", "Diciembre", "Noviembre"), each = length(cadena_markov_orden1)),
Valores = c(as.vector(cadena_markov_orden1), as.vector(cadena_markov_orden1_2), as.vector(cadena_markov_orden1_3))
)
# Crear el gráfico de cajas y bigotes
ggplot(data_combined, aes(x = Matriz, y = Valores, fill = Matriz)) +
geom_boxplot() +
labs(title = "Diagrama de Cajas y Bigotes para las Matrices",
x = "Matrices",
y = "Valores") +
scale_fill_manual(values = c("Enero" = "brown", "Diciembre" = "gray", "Noviembre" = "black")) +
theme_minimal()
Los tres diagramas de cajas y bigotes muestran una notable similitud en la distribución de sus datos, lo cual sugiere que las muestras son homogéneas entre sí. Esta homogeneidad descriptiva permite la agregación de los datos para análisis más detallados y cálculos posteriores. Este hallazgo es fundamental para la validez de las comparaciones y conclusiones derivadas de estos conjuntos de datos, lo que fortalece la confianza en los resultados obtenidos y en las decisiones basadas en ellos.
- Construya la matriz agregada con todos los meses.
#Matriz agregada de todos los meses
matrizAgg<- (matriz_transicion+matriz_transicion2+matriz_transicion3)
show(matrizAgg)## A B C L W
## A 30152 18112 0 11887 0
## B 0 12095 13637 4475 0
## C 0 0 5926 9004 4633
## L 0 0 0 50598 0
## W 0 0 0 0 9396Matriz de transicion para todos los meses
# Estimar la cadena de Markov de orden 1 para la matriz agregada
cadena_markov_orden1_AGG <- matrizAgg / rowSums(matrizAgg)
cadena_markov_orden1_AGG[is.nan(cadena_markov_orden1_AGG)] <- 0
show(cadena_markov_orden1_AGG)## A B C L W
## A 0.5012718 0.3011089 0.0000000 0.1976193 0.0000000
## B 0.0000000 0.4004039 0.4514517 0.1481445 0.0000000
## C 0.0000000 0.0000000 0.3029188 0.4602566 0.2368246
## L 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.0000000
## W 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000- Responda y analice las siguientes preguntas. A, ¿Cuál es la probabilidad de que una oportunidad pase dos transiciones en la etapa A, después pase inmediatamente a la etapa B y de ahí se demore 5 transiciones en ser ganada?
## [1] "La probabilidad de que una oportunidad pase dos transiciones en la etapa A, después pase inmediatamente a la etapa B y se demore 5 transiciones en ser ganada es: 0.000778684425746612"Se observa es bastante baja (0,000778684425746612) la probabilidad de que una oportunidad pase dos transiciones en la etapa A, después pase inmediatamente a la etapa B y de ahí se demore 5 transiciones (las cuales pueden ser nuevamente A o B, o C) en ser ganada, es decir, llegar a W que es la firma del contrato con el cliente. Esta probabilidad es baja, ya que implicaría que se realizaran bastantes transiciones y adicionalmente que se llegue a la firma del contrato.
B, ¿Cuál es la probabilidad de que una oportunidad en la etapa A termine siendo ganada después de tres etapas?
## [1] "La probabilidad de que una oportunidad en la etapa A termine siendo ganada después de tres etapas es: 0.0625654876672276"El valor de la probabilidad en promedio es del 6.26% de que una oportunidad en la etapa A termine siendo ganada después de tres etapas es bastante bajo. Esto implicaría que pasara por las etapas A, B, C y finalizara en W, o que repitiera la etapa B o la etapa C, para pasar directamente a la etapa W que corresponde al contrato firmado con el cliente.
c, Realice un gráfico que muestre cómo cambia la probabilidad anterior si se calcula desde tres a diez etapas, 𝑝𝐴−𝑊𝑜𝑛(3),𝑝𝐴−𝑊𝑜𝑛(4), … ,𝑝𝐴−𝑊𝑜𝑛(10). Analice los resultados.
# Crear una lista para almacenar los grafos
lista_grafos <- list()
cadena_markov_orden1_AGG_pow <- cadena_markov_orden1_AGG
# Crear gráficos desde la potencia 3 hasta la potencia 10
for (i in 3:10) {
# Elevar la matriz a la potencia i
cadena_markov_orden1_AGG_pow <- cadena_markov_orden1_AGG_pow %*% cadena_markov_orden1_AGG
# Crear el grafo de la cadena de Markov
grafo_markovAgg <- graph_from_adjacency_matrix(cadena_markov_orden1_AGG_pow, mode = "directed", weighted = TRUE)
# Asignar nombres a los vértices (estados)
V(grafo_markovAgg)$name <- colnames(cadena_markov_orden1_AGG)
# Asignar etiquetas a los vértices
V(grafo_markovAgg)$label <- V(grafo_markovAgg)$name
# Establecer el diseño del grafo
layout <- layout_with_fr(grafo_markovAgg)
# Añadir el grafo a la lista
lista_grafos[[i - 2]] <- grafo_markovAgg
}
# Graficar los grafos de las potencias de la matriz de transición
par(mfrow = c(2, 4)) # Distribuir los gráficos en una matriz de 2x4
for (i in 1:length(lista_grafos)) {
plot(lista_grafos[[i]], layout = layout, edge.label = round(E(lista_grafos[[i]])$weight, digits = 3),
vertex.color = "lightblue", vertex.size = 30, vertex.label.cex = 1.3,
edge.arrow.size = 0.1, main = paste("P(", i + 2, ")", sep = ""))
}
Se calcula la probabilidad de que una oportunidad en la etapa A termine siendo ganada después de 3,4,5,6,7,8,9 y 10 etapas. Cada una de estas cadenas de Markov representan la transición de las oportunidades por medio de las diferentes etapas del proceso de ventas. A medida que va pasando entre las etapas, las probabilidades entre estas van en aumento, hasta llegar a 0.149. Dado que, estas probabilidades van constantemente en aumento, estas llegan a estabilizarse.
D, En el largo plazo, ¿cuál es la probabilidad de que una oportunidad llegue a C y termine por ser perdida?
FUNDAMENTAL <- cadena_markov_orden1_AGG^10001
show(FUNDAMENTAL)## A B C L W
## A 0 0 0 0 0
## B 0 0 0 0 0
## C 0 0 0 0 0
## L 0 0 0 1 0
## W 0 0 0 0 1Con el fin de conocer la probabilidad de que una oportunidad llegue a C y termine por ser pedida, se debe identificar el estado estable, puesto que, se solicita un valor a futuro. Por lo que, la matriz fue elevada a un número muy grande (10000). Arrojando que la probabilidad a lo largo del tiempo tiende a 0.
- Obtenga las probabilidades de absorción y tiempos esperados de absorción. Analícelos.
## [1] "Tiempos Esperados de Absorción para cada Estado:"## L W
## A 0.8455615 0.1544385
## B 0.7442027 0.2557973
## C 0.6602625 0.3397375## A B C
## 3.664155 2.747902 1.434553Las probabilidades de absorción indican la probabilidad de que una oportunidad de venta que se encuentre en una determinada etapa del proceso de ventas eventualmente termine en una de las etapas de absorción (etapas L y W). Con respecto a la etapa A, la probabilidad de absorción en la etapa L es de 0.8455 y en la etapa W es de 0.1544. Esto significa que una gran proporción de las oportunidades de venta que están en la etapa A eventualmente se absorberán en la etapa L, mientras que una proporción menor se absorberá en la etapa W. Y lo mismo pasa con el B y C con valores de B para L 0.7442 y W 0.2557 y C para L 0.6602 y W 0.3397.
- Al inicio de este cuarto de año existen 50000 oportunidades en la etapa A, 30000 en la etapa B y 15000 en la etapa C, Si se conoce que el ingreso promedio por oportunidad es de 60.000 USD ¿Cuál sería el pronóstico de ventas en USD?.
oportunidades <- matrix(c(50000,30000,15000), ncol=3,nrow=1, byrow=T)
oportunidades## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 50000 30000 15000Val_espe <- oportunidades %*% tiempos_absorcion
Val_espe## L W
## [1,] 74508.1 20491.9Pronost <- Val_espe*60000
Pronost## L W
## [1,] 4470485754 1229514246Teniendo en cuenta que el ingreso promedio por oportunidad es alto (60.000 USD), se obtuvo un pronóstico de ventas total de 1229514246 USD a partir del valor esperado de las oportunidades firmadas por el cliente multiplicadas por el ingreso promedio, lo que es posible mencionar que equivale a un alto ingreso para la empresa “We Sell Everything in Software” (WSES) Inc. Este análisis brinda una información más certera que se adecua mejor a las necesidades de la empresa y a sus análisis de ventas.
Referencias: [1]M. H. EGAR . (2001). Validity of fitting a first-order Markov chain model to data. University of Edinburgh. Retrieved from https://eds.p.ebscohost.com/eds/pdfviewer/pdfviewer?vid=8&sid=45fa1219-660c-4fae-a60c-dc0fb25b7bc4%40redis