Estadística Inferencial

Tabla de contenido

• Estimación por intervalos para la varianza poblacional \(\sigma^2\)
• Ejemplo
• Ejercicios

Estimación por intervalos para la varianza poblacional \(\sigma^2\)

Sea \(X_1, X_2, \dots ,X_n\) es una muestra aleatoria de una distribución normal de parámetros \(\mu\) y \(\sigma^2\), entonces podemos construir un intervalo de confianza para \(\sigma^2\) utilizando el hecho que la estimación la varianza poblacional tiene distribución Chi-cuadrada; es decir,

\[ \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{\sigma^2} = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} \]

Los valores quantiles asociados a la distribición \(\chi^2\), para \(1-\frac{\alpha}{2}\) y \(n-1\) grados de libertad, son \(\chi^2_{(\frac{\alpha}{2},n-1)}\) y \(\chi^2_{(1-\frac{\alpha}{2},n-1)}\). Veamos la gráfica.

Intervalo de confianza para la variaza \(\sigma^2\)

Para la construcción del intervalo de confianza para la varianza \(\sigma^2\), realizamos los siguientes pasos:

• Fijamos el nivel de confianza, \((1-\alpha)\) (\(0 < \alpha < 1\)).
• Elección del estadístico para \(\sigma^2\).

\[\chi=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\]

• Planteamiento del enunciado probabilístico.

\[p\left(\chi^2_{(\frac{\alpha}{2},n-1)} \leqslant \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \leqslant \chi^2_{(1-\frac{\alpha}{2},n-1)}\right)=1-\alpha\]

Intervalo de confianza para la variaza \(\sigma^2\)

• Transformación del enunciado probabilístico.

\[p\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{(\frac{\alpha}{2},n-1)}} \leqslant \sigma^2 \leqslant \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{(1-\frac{\alpha}{2},n-1)}}\right)=1-\alpha\]

• Un intervalo de confianza para la varianza poblacional \(\sigma^2\) con nivel de confianza \(1 -\alpha\) es.

\[\boldsymbol{\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{(\frac{\alpha}{2},n-1)}},\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{(1-\frac{\alpha}{2},n-1)}}\right)}\]

Ejemplo 1

Se desea estimar la varianza del nivel de nistamina en un ungüento. Se conoce por larga experiencia que su distribución sigue una distribución normal. Se toma una muestra de 9 ungüentos, dando el nivel siguiente (ng/ml): 1.0, 0.9, 1.5, 2.8, 3.1, 3.2, 2.5, 1.9, 2.0; de la muestra anterior, se obtiene una varianza de 0.74. Estimar la varianza mediante dos intervalos de confianza al nivel de confianza del 99% y del 95%.

Solución en R

En R construyendo el código

muestra = c(1.0, 0.9, 1.5, 2.8, 3.1, 3.2, 2.5, 1.9, 2.0)
alfa = 0.01
s2 = var(muestra)
n = 9

Li = (n - 1) * s2 / qchisq(1-alfa/2, df = n - 1)
Ls = (n - 1) * s2 / qchisq(alfa/2, df= n - 1)

cat("Un intervalo de confianza al 95% para la varianza del nivel denistamina es:", "(", Li, ",", Ls, ")")

Un intervalo de confianza al 95% para la varianza del nivel denistamina es: ( 0.269643 , 4.403408 )

Usando la librería EnvStats de R

library(EnvStats)

varTest(muestra,
        alternative= "two.sided",
        conf.level = 0.99)$conf.int

     LCL      UCL 
0.269643 4.403408 
attr(,"conf.level")
[1] 0.99

Ejercicios

1. La puntuación media de una muestra de 20 jueces de gimnasia rítmica, elegidos al azar, para una misma prueba, presentó una desviación típica muestral de 0.0965. Calcular un intervalo de confianza con un 98% para la varianza. Suponga que la variable que mide la puntuación sigue una distribución normal.

2. Se espera que un procedimiento estandarizado produzca arandelas con muy pequeña desviación en su espesor. Suponga que se eligen al azar 10 de tales arandelas y se mide su espesor obteniéndose en pulgadas: 0.123, 0.124, 0.126, 0.120, 0.130, 0.133, 0.125, 0.128, 0.124, 0.126. Interesa calcular un intervalo del 90% de confianza para el desvío del grosor de las arandelas producidas por este procedimiento.