La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. Por experimento aleatorio entenderemos todo aquel experimento que cuando se le repite bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo.
Experimento
Es la observación de un fenómeno que ocurre en la naturaleza. Cualquier proceso o ensayo que genere resultados, datos u observaciones se llama experimento y pueden ser aleatorios o deterministas.
Experimento determinístico
Son aquellos experimentos en los cuales, bajo las mismas condiciones, podemos predecir el resultado antes de que se realice.
Ejemplo:
Relación entre masa y temperatura.
Experimento aleatorio
Es aquel que, cuando se le repite bajo las mismas condiciones, el resultado que se observa no siempre es el mismo y tampoco es predecible.
Ejemplo:
Lanzamiento de dados.
Ejemplos
Otros ejemplos de experimentos determinísticos
Si dejamos caer un objeto, sabemos, que el objeto bajará.
Si dejamos rodar una pelota, sabemos que se detendrá.
Al mezclar agua y aceite, el aceite quedará en la superficie.
Otros ejemplos de experimentos aleatorios
Al lanzar una moneda, no se puede saber si saldrá cara o sello.
El tiempo que hay que esperar en un banco para ser atendidos.
Proceso climatico de la formación de lluvia.
Espacio muestral
Es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio. El espacio muestral lo denotaremos por la letra \(\Omega\).
Ejercicios
Determine el espacio muestral de:
Lanzamiento de una moneda es:
Lanzamiento de un dado:
Lanzamiento de dos monedas:
Lanzamiento de una moneda y un dado:
El sexo de un bebe al nacer:
Una loteria que tiene dos cifras en su número y una cifra en su serie:
Evento o suceso
Un evento o suceso, es un subconjunto de el espacio muestral \(\Omega\). Denotamos los eventos con letras mayúsculas: A, B, C,…
Ejemplo
Sea \(A\) un evento de \(\Omega\), entonces
\[A \subseteq \Omega\]
Observación
Notemos que la definición de espacio muestral y evento, tienen similaridad o equivalencia con los conceptos ya vistos de conjunto universal y subconjunto respectivamente.
En adelante, usaremos los términos
Espacio muestral \(\Omega\) para referirnos al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
Evento \(A\) para referirnos a cualquier subconjunto o colección de subconjuntos del espacio muestral.
Ejemplo
El evento: “Obtener un número par en el lanzamiento de un dado”.
Solución
Vemos que el espacio muestral del experimento aleatorio es: \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\)
Así, el evento A: “Obtener un número par en el lanzamiento de un dado”, será: \(A=\{2,4,6\}\)
Ejercicios
Determine los espacios muestrales y luego cada evento.
Que salga una cruz en el lanzamiento de 2 monedas.
Que haya que esperar más de 10 minutos en un banco.
Que salga una cara en el segundo lanzamiento de una moneda.
Que se obtenga una suma de 7 en el lanzamiento de 2 dados.
Dos eventos especiales
Existen algunos eventos que tienen una importancia debido a su uso y trascendencia.
Evento imposible o nulo - equivalente al evento vacio
Es un vento que no tienen elementos. Usualmente se denota por la letra griega \(\phi\) (conjunto vacio).
Ejemplo
El evento \(D_7\): “obtener un número 7 del lanzamiento de un dado”. Vemos que este evento no tiene elementos, es decir, \(D_7 = \phi\).
Evento seguro - equivale al espacio muestral
Este tipo de eventos coinciden con todo espacio muestral, por tanto siempre van a ocurrir.
Ejemplo
El evento CC: “obtener cara o sello en el lanzamiento de una moneda”. Obervamos que este evento coincide con todo el espacio muestral, es decir, \(CS = \{c,s\} = \Omega\).
Eventos disjuntos o excluyentes
Sean \(A\) y \(B\) dos eventos del espacio muestral \(\Omega\); entonces, decimos que son disjuntos, si \[A \cap B= \phi\]
Ejemplo
Sean los eventos:
\(D_{par}\): “obtener un número par en lanzamiento de un dado” y
\(D_{impar}\): “obtener un número impar en lanzamiento de un dado”
Obervamos que \(D_{par} \cap D_{impar} = \phi\), por lo tanto, los eventos \(D_{par}\) y \(D_{impar}\) son disyuntos o excluyentes.
Probabilidad
La probabilidad de un evento A, es un número real en el intervalo [0, 1] que denotaremos por \(p(A)\), y representa una medida de la frecuencia con la que se observa la ocurrencia del evento A cuando se efectúa el experimento aleatorio en cuestión.
Observación
Existen al menos cuatro definiciones de probabilidad que explicamos a continuación.
Probabilidad clásica
Sea \(A\) un subconjunto de un espacio muestral \(\Omega\) de cardinalidad finita. Se define la probabilidad clásica del evento \(A\) como el cociente:
\[p(A) = \frac{\#A}{\#\Omega}\]
donde \(\#A\), es la cardinalidad del evento(conjunto) \(A\); es decir, el número de elementos que contiene \(A\). Análogamente, \(\#\Omega\).
Observaciones
Claramente esta definición es sólo válida para espacios muestrales finitos, pues forzosamente necesitamos suponer que el número de elementos en \(\Omega\) es finito.
Esta definición de probabilidad, presupone que todos los elementos de \(\Omega\) son igualmente probables o tienen el mismo peso.
Ejemplo
Dado el experimento “Lanzar un dado y observar el número en su cara superior”, calcule la probabilidad clásica del evento “Obtener un número par”.
Solución
Para este experimento el espacio muestral es el conjunto \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), y si deseamos calcular la probabilidad (clásica) del evento A: “Obtener un numero par”, es decir \(A = \{2, 4, 6\}\), entonces,
Un valor de probabilidad cercano a 0, indica que la posibilidad de ocurrir el evento es poca.
Un valor de probabilidad cercano a 1, indica que la posibilidad de ocurrir el evento es mucha.
Ejemplos
La probabilidad de que llueva es 0.9
La probabilidad de comprarme un auto nuevo es 0.2
Probabilidad frecuentista
Supongamos que realizamos \(n\) veces un cierto experimento aleatorio y sea \(A\) un evento cualquiera del espacio muestral del experimento. Entonces se define la probabilidad frecuentista de \(A\) como límite:
\[\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n(A)}{n}\]
donde
\(n\) el número de veces que se repite el experimento.
\(n(A)\) el número de ocurrencias del evento \(A\), en las \(n\) realizaciones del experimento.
Observación
No es humanamente posible realizar infinitas veces el experimento aleatorio, de modo que en la práctica no es posible encontrar mediante este mecanismo la probabilidad exacta de un evento cualquiera.
Simulación de un experimento aleatorio y su probabilidad
Supongamos que estamos bajo las condiciones del experimento aleatorio del lanzameinto de un dado. Entonces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?.
Solución
Hagamos una simulación computacional, para observar los resultados del lanzamiento del dado vs. el número de lanzamientos. Esto es, apliquemos la definición frecuentista de probabilidad.
Code
omega =c(1,2,3,4,5,6) # espacio muestralA =c(2,4,6) # evento deseadon =100# repeticiones del experimentonA =0simulacion =NULLfor(i in1:n){ resultado =sample(omega, 1) # resultado del experimento p = resultado %in% A nA = nA + p simulacion =rbind(simulacion, c(i, resultado, nA, nA/i))}simulacion =data.frame(simulacion)names(simulacion) =c("n","Resultado", "n(A)", "n(A)/n")library(kableExtra)simulacion %>% kable %>%kable_styling("striped", full_width = F) %>%scroll_box(width ="700px", height ="450px")
n
Resultado
n(A)
n(A)/n
1
6
1
1.0000000
2
6
2
1.0000000
3
2
3
1.0000000
4
5
3
0.7500000
5
2
4
0.8000000
6
3
4
0.6666667
7
3
4
0.5714286
8
6
5
0.6250000
9
4
6
0.6666667
10
5
6
0.6000000
11
4
7
0.6363636
12
6
8
0.6666667
13
1
8
0.6153846
14
6
9
0.6428571
15
6
10
0.6666667
16
4
11
0.6875000
17
6
12
0.7058824
18
3
12
0.6666667
19
4
13
0.6842105
20
5
13
0.6500000
21
2
14
0.6666667
22
2
15
0.6818182
23
6
16
0.6956522
24
1
16
0.6666667
25
4
17
0.6800000
26
2
18
0.6923077
27
4
19
0.7037037
28
2
20
0.7142857
29
6
21
0.7241379
30
2
22
0.7333333
31
5
22
0.7096774
32
6
23
0.7187500
33
6
24
0.7272727
34
1
24
0.7058824
35
2
25
0.7142857
36
2
26
0.7222222
37
3
26
0.7027027
38
6
27
0.7105263
39
1
27
0.6923077
40
4
28
0.7000000
41
4
29
0.7073171
42
4
30
0.7142857
43
4
31
0.7209302
44
6
32
0.7272727
45
1
32
0.7111111
46
3
32
0.6956522
47
1
32
0.6808511
48
1
32
0.6666667
49
1
32
0.6530612
50
2
33
0.6600000
51
2
34
0.6666667
52
5
34
0.6538462
53
2
35
0.6603774
54
5
35
0.6481481
55
5
35
0.6363636
56
2
36
0.6428571
57
5
36
0.6315789
58
3
36
0.6206897
59
5
36
0.6101695
60
2
37
0.6166667
61
2
38
0.6229508
62
4
39
0.6290323
63
2
40
0.6349206
64
6
41
0.6406250
65
1
41
0.6307692
66
6
42
0.6363636
67
3
42
0.6268657
68
4
43
0.6323529
69
1
43
0.6231884
70
1
43
0.6142857
71
4
44
0.6197183
72
1
44
0.6111111
73
3
44
0.6027397
74
1
44
0.5945946
75
3
44
0.5866667
76
1
44
0.5789474
77
3
44
0.5714286
78
4
45
0.5769231
79
3
45
0.5696203
80
4
46
0.5750000
81
6
47
0.5802469
82
4
48
0.5853659
83
1
48
0.5783133
84
1
48
0.5714286
85
2
49
0.5764706
86
2
50
0.5813953
87
6
51
0.5862069
88
4
52
0.5909091
89
2
53
0.5955056
90
3
53
0.5888889
91
6
54
0.5934066
92
2
55
0.5978261
93
5
55
0.5913978
94
2
56
0.5957447
95
2
57
0.6000000
96
3
57
0.5937500
97
6
58
0.5979381
98
2
59
0.6020408
99
2
60
0.6060606
100
1
60
0.6000000
Code
library(ggplot2)library(latex2exp)ggplot(simulacion, aes(x = n, y =`n(A)/n`)) +geom_line(color ="blue", size=1) +geom_hline(yintercept =0.5, linetype ="dashed", color="red", size=1.2) +theme_bw() +labs(x =TeX(r"(Número de lanzamientos (n))"),y =TeX(r"($\frac{n(A)}{n}$)"),# y = "n(A)/n", title =TeX(r"(Regularidad estadística del cociente $\frac{n(A)}{n}$)")) +xlim(1, n) +ylim(0, 1) +theme(plot.title =element_text(hjust =0.5), text=element_text(size=20),axis.title.y =element_text(angle=0, vjust =0.5))
Probabilidad subjetiva
La probabilidad subjetiva es un tipo de probabilidad derivada del juicio personal de un individuo o de su propia experiencia sobre si es probable que ocurra un resultado específico. No contiene cálculos formales y sólo refleja las opiniones y experiencias pasadas del sujeto.
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de que nuestro equipo favorito de futbol gane en su próximo partido?
Solución
Ciertas circunstancias internas del equipo, las condiciones del equipo rival o cualquier otra condición externa, son elementos que sólo algunas personas conocen y que podrían darnos una idea más exacta de esta probabilidad.
Probabilidad axiomática
En la definición axiomática solo se proponen las reglas que el cálculo de probabilidades debe satisfacer. Los siguientes son tres postulados o axiomas establecidos por el matemático ruso A. N. Kolmogorov (1933).
\(\hspace{5cm}\) A. N. Kolmogorov (1933)
Axioma 1
\(A\) todo evento \(A\) le corresponde un único número no negativo, \(p(A)\), al que llamaremos probabilidad de \(A\). Es decir,
\[p(A) \geqslant 0\]
Axioma 2
La probabilidad del evento seguro \(\Omega\) es 1. Es decir,
\[p(\Omega) = 1\]
Axioma 3
Sean \(A\) y \(B\) dos eventos tales que la intersección entre ambos es vacia (\(A\cap B = \phi\)). Entonces:
\[p(A \cup B) = p(A) + p(B)\]
cuando \(A \cap B = \phi\).
Proposiciones
De los anteriores tres axiomas, se desprenden algunas proposiciones.
Proposición 1
Para cualquier evento \(A\), \(P(A^c) = 1 - p(A)\).
Demostración
De la teoría elemental de conjuntos tenemos que \(\Omega = A \cup A^c\). Como \(A\) y \(A^c\) son eventos disyuntos, por el tercer axioma,
\[p(\Omega) = p(A) + p(A^c)\]
Finalmente, como \(P(\Omega) = 1\), por el segundo axioma obtenemos \(P(A^c) = 1 - p(A)\).
Proposición 2
Sea \(\phi\) el evento imposible, entonces \(p(\phi) = 0\)
Demostración
Como \(\phi = \Omega^c\) , usando la propiedad anterior, tenemos que \(p(\phi) = p(\Omega^c) = 1 - p(\Omega) = 0\).
Proposición 3
Si \(A \subseteq B\), entonces \(p(A) \leqslant p(B)\).
Demostración
Primeramente escribimos \(B = A \cup (B - A)\). Como \(A\) y \(B - A\) son eventos disyuntos, por el tercer axioma, \(p(B) = p(A) + p(B - A)\). Usando el primer axioma concluimos que \(p(B) - p(A) = p(B - A) \geqslant 0\). De aqui obtenemos \(p(B) - p(A) \geqslant 0\), entonces \(p(A) \leqslant p(B)\).
Proposiciones
Proposición 4
Si \(A \subseteq B\), entonces \(p(B - A) = p(B) -p(A)\).
Demostración
Como \(B = A \cup (B - A)\), siendo esta unión de conuntos disyuntos, por el tercer axioma tenemos que \(p(B) = p(A) + p(B - A)\).
Proposición 5
Para cualquier evento \(A\), \(0 \leqslant P(A) \leqslant 1\).
Demostración
Como \(A \subseteq B\) entonces \(p(A) \leqslant p(\Omega) = 1\). La otra desigualdad, \(0 \leqslant P(A)\), es simplemente el primer axioma.
Proposiciones
Proposición 6
Para cualesquier par de eventos \(A\) y \(B\), \(\quad p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)\)
Demostración
Primeramente observamos que para cualesquiera eventos \(A\) y \(B\) se cumple la igualdad \(A - B = A - (A \cap B)\). Entonces escribimos a \(A \cup B\) como la unión disjunta de los siguientes tres eventos
\[
\begin{align*}
A \cup B &= (A - B) \cup (A \cap B) \cup (B - A) \\
&= [A - (A \cap B)] \cup (A \cap B) \cup [B - (A \cap B)]
\end{align*}
\]
Ahora aplicamos la probabilidad. Por el tercer axioma,
\[
\begin{align*}
p(A \cup B) &= p(A - B) + p(A \cap B) + p(B - A)\\
&= p[A - (A \cap B)] + p(A \cap B) + p[B - (A \cap B)]
\end{align*}
\]
Pero \(A \cap B \subseteq A\) de modo que
\[p[A - (A \cap B)] = p(A) - p(A \cap B)\]
Análogamente
\[p[B - (A \cap B)] = p(B) - p(A \cap B)\]
Por lo tanto
\[p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)\]
Ejemplos
Se lanza dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener dos caras?
obtener alguna cruz?
obtener ninguna cara?
no obtener una cruz?
Sea el experimento lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de conseguir un 7 como resultado?.
Una caja contiene 2 bolas de color rojo, 4 bolas de color negro y 5 bolas de color azul. Se extrae una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola seleccionada,
