Estadística y Probabilidad

Tabla de contenido

• Teoría básica de conjuntos
  • Notación
  • Determinación de conjuntos
    • Extensión
    • Comprensión
  • Tipos de conjuntos
    • Finito e infinito
    • Universal
    • Vacio
  • Diagramas de Venn
  • Operaciones entre conjuntos
• Ejemplo
• Ejercicios

Teoría básica de conjuntos

Concepto de conjunto

Un conjunto es una colección de objetos de cualquier naturaleza con características bien definidas de manera que se puedan distinguir todos sus elementos.

• A los objetos que lo componen se les llama elementos del conjunto.
• Existen conjuntos que no contienen elementos, llamados conjuntos vacios

Notación

Un conjunto se denota con una letra mayúscula \(A, B, C\) y el elemento por una letra minúscula \(a, b\),etc.

A los elementos se les encierra entre llaves ( {} ) y se separan por comas ( , ).

Ejemplos

1. El conjunto D cuyos elementos son los números que aparecen al lanzar un dado. \(D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6'}\)

2. El conjunto de las vocales. \(V = \{a, e, i, o, u\}\)

3. El conjunto de los enteros positivos menores que 10. \(P = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\)

Cuando un elemento \(x\) hace parte de un conjunto \(A\), decimos que \(x\) pertence al conjunto \(A\) y se escribe: \(x \in A\). Por el contrario, si no pertenece, escribimos \(x \notin A\).

Ejemplos

1. La letra \(b\), no pertenece a las vocales, \(b \notin V\)
2. 3 es un número positivo menor que 10; por lo tanto, \(3 \in P\)

Determinación de conjuntos

Tipos de conjuntos

Según la cantidad de elementos que tenga un conjunto, éstos se pueden clasificar de la siguiente manera:

Tipos de conjuntos

Diagrama de Venn

Cualquier figura geométrica cerrada (círculos, rectángulos, triángulos, óvalos, etc) sirve para representar gráficamente las operaciones entre conjuntos, estos gráficos son llamados Diagramas de Venn.

Normalmente, al conjunto universal se le representa con un rectángulo y los conjuntos con un círculo o elipse, tal y como se muestra en la siguiente figura:

Los diagramas de Venn en ningún momento constituyen una prueba matemática; sin embargo, permiten tener una visión intuitiva de la relación que puede existir entre los conjuntos.

Operaciones entre conjuntos - Unión

Unión

El conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto a \(A\) como a \(B\), se llama la unión de \(A\) y \(B\) y se escribe \(A\cup B\). (Área sombreada)

\[A \cup B= \{ x| x \in A \vee x \in B\}\]

Operaciones entre conjuntos - Intersección

intersección

El conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a \(A\) y \(B\) se llama la intersección de \(A\) y \(B\) y se escribe \(A\cap B\). (Área sombreada)

\[A \cap B= \{ x| x \in A \wedge x \in B\}\]

Eventos disjuntos

Decimos que A y B son conjuntos disjuntos, si su intersección es vacia; es decir,

\[A \cap B= \phi\]

Operaciones entre conjuntos - Diferencia

Diferencia

El conjunto que consiste en todos los elementos de \(A\) que no pertenecen a \(B\), se llama la diferencia de \(A\) y \(B\) y se escribe \(A - B\). (Área sombreada).

\[A - B= \{ x| x \in A \wedge x \notin B\}\]

Operaciones entre conjuntos - Diferencia simétrica

Diferencia simétrica

El conjunto que consiste en todos los elementos de \(A\) que no pertenecen a \(B\) unido con el conjunto de todos los elementos de \(B\) que no pertencen a \(A\), llama la diferencia simétrica de \(A\) y \(B\) y se escribe \(A \bigtriangleup B\). (Área sombreada).

\[A \bigtriangleup B= \{ x| x \in [(A-B) \cup (B-A)]\}\]

Operaciones entre conjuntos - Complemento

Complemento

Son todos los elementos que no están en \(A\) y se escribe \(A^c\) o \(A'\) o \(\bar{A}\) o \(\neg A\) o también \(\sim A\). (Área sombreada).

\[A^c= \{ x| x \notin A \}\]

Operaciones entre conjuntos - Contenencia

Contenencia

Si todo elemento de \(A\), pertenece a \(B\), entocnes decimos que \(A\) está contenido en \(B\) o \(A\) es subconjunto propio de \(B\). (Área sombreada).

\[A \subseteq B \Rightarrow \{ x| x \in A \Rightarrow x \in B\}\]

Conjunto potencia

El conjunto potencia de \(U\), denotado por \(2^U\), es aquel conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos posibles de \(U\). Por ejemplo, si \(U = \{a, b, c\}\) entonces el conjunto potencia será:

\[2^U = \{\phi ,\{a\},\{b\},\{c\}, \{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}\]

Observemos que el número de conjuntos que contiene el conjunto potencia, es igual a \(2^n\), donde \(n=\#U\); es decir, el número de elementos del conjunto \(U\). En nuestro ejemplo, \(n=3\), por cual \(2^U=2^n=2^3=8\).

Reglas de De Morgan

Sean \(A\)y \(B\) dos conjuntos del universo \(U\), entonces, se cumplen las dos propiedades siguientes:

Ejercicio

Sean \(A = \{2, 3, 8, 9\}\) y \(B = \{2, 3, 5, 6, 10\}\) dos conjuntos del conjunto universal \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\). Encuentre las siguientes operaciones con conjuntos y grafique sus diagramas de Venn.

1. \(A \cup B\)
2. \(A \cap B\)
3. \(\bar{B}\)
4. \(\bar{A} \cap B\)
5. \(A - B\)
6. \(A \bigtriangleup B\)
7. \(\bar{A} \cap \bar{B}\)
8. \(A \cup \bar{B}\)