Taller 2
Estadística y probabilidad
Fecha de entrega: viernes 19 de abril, 2024
Regresión lineal y correlación
Mítodos de conteo: permutaciones y combinaciones
Introducción a la probabilidad

Observaciones

• El taller puede hacerse en grupo de tres estudiantes.
• Se debe subir a SAVIO un archivo pdf con la solución de los problemas a mano o computador.
• Solo un estudiante debe subir el taller y en el encabezado de cada archivo deben estar los nombres y apellidos de los integrantes del grupo.
• El archivo debe tener el nombre siguiente:

Nombre_Apellido_estudiante1_Nombre_Apellido_Estudiante2_Nombre_Apellido_Estudiante3_taller_2_codigo_curso.pdf

Regresión lineal y correlación (a mano y en R)

1. La siguiente tabla incluye información acerca del peso(Y) (kg) y la altura(X) (cm) de 12 individuos:

Peso	74	92	63	72	58	78	85	85	73	62	80	72
Altura	168	196	170	175	162	169	190	186	176	170	176	179

1. Construya la gráfica de los puntos.
2. Calcular la correlación que existe entre el peso y la altura.
3. Encuentre los estimadores del intercepto \(\beta_0\) y la pendiente \(\beta_1\).
4. Grafique la recta de regresión y los puntos.
5. Si un individuo mide 170 cm, ¿cuál será su peso en kg?.

Métodos de conteo

2. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité, compuesto de 3 hombres y 2 mujeres, de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?

3. Si no se permiten repeticiones, (i) ¿cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los seis dígitos 2, 3, 5, 6, 7 y 9?

   1. ¿cuántos de éstos son menores que 400?
   2. ¿cuántos son pares?
   3. ¿cuántos son impares?
   4. ¿cuántos son múltiplos de 5?

4. ¿De cuántas maneras se puede acomodar una reunión de 7 personas,

   1. ¿en una fila de 7 sillas?
   2. ¿alrededor de una mesa redonda?

5. ¿Cuántas señales diferentes, cada una de 6 banderas colgadas en una línea vertical, pueden fomarse con 4 banderas rojas idénticas y 2 azules idénticas?

6. ¿Cuántas permutaciones distintas, sin repeticiones, pueden formarse con todas las letras de cada una de las palabras:

   1. tema
   2. campana
   3. estadísticas

7. ¿De cuántas maneras 3 norte-americanos, 4 franceses, 4 colombianos y 2 italianos pueden sentarse en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?. Resolver el mismo problema si se sientan en una mesa redonda.

8. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen.

   1. ¿Cuántas maneras de escoger tiene?
   2. ¿Cuántas maneras, si las 3 primeras preguntas son obligatorias?
   3. ¿Cuántas, si tiene que contestar 4 de las 5 primeras preguntas?

Probabilidad

9. Responda Verdadero (V) o Falso (F)

   1. Un suceso es un subconjunto del espacio muestral.____
   2. La probabilidad de un suceso es una medida de que el suceso no ocurra.____
   3. La probabilidad de un suceso está siempre comprendida entre 0 y 1.____
   4. Si \(A\) es un suceso, \(P(A) + P(\bar{A}) = 1\).____
   5. Si \(A\) y \(B\) son sucesos, se cumple siempre que \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).____
   6. Si \(A\) y \(B\) son sucesos, se cumple siempre que \(P(A\cap B) = P(A)P(B)\).____
   7. \(P(\overline{A \cup B} ) = P(\bar{A} \cup \bar{B})\).____
   8. \(P(A|B) = P(A)/P(B)\).____
   9. Si \(P(A\cap B) = 0\), entonces los dos sucesos son independientes.____
   10. \(P(\bar{A})\) es igual a \(P(1-A)\)____
   11. \(P(A\cup B) = P(A)\cup P(B)\)____
   12. \(P(A\cap B) = P(A) \cap P(B)\)____

10. Complete.

    1. El conjunto de todos los posibles valores que puede adoptar un variable aleatoria es (la muestra, el espacio muestral, los puntos muestrales).______________
    2. Si dos sucesos \(A\) y \(B\) son disjuntos, entonces \(P(A\cap B)\) vale (0, 0.5, 1),_____________
    3. La suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales es siempre.______________
    4. La propiedad: \(P(\overline{A\cap B}) = P(\bar{A}\cup \bar{B})\) es consecuencia de (las leyes de De Morgan, teorema de Bayes, teorema de la probabilidad total).______________
    5. La intersección entre el suceso \(A\) y su suceso contrario o complementario es \((\Phi, S, A, \bar{A})\)_______, además la unión es \((\Phi, S, A, \bar{A})\)______________
    6. Dos sucesos \(A\) y \(B\) son independientes si \(P(A \cap B)\) es igual a \((0, P(A)P(B), P(A) + P(B))\)_____________
    7. Si \(A\) es un suceso que se presenta siempre asociado a uno de los sucesos \(B_1 , B_2 , \dots, B_n\) mutuamente excluyentes en que se particiona el espacio muestral \(S\). La siguiente ecuación \[P(B_k|A) = \frac{P(B_k)P(A|B_k)}{P(A)}\] corresponde al teorema de (la probabilidad total, Bayes)____________
    8. Si \(P(A|B) = P(A)\), entonces \(A\) y \(B\) son sucesos (independientes, dependientes, excluyentes)____________
    9. Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos. \(P(A|B)\) denota la probabilidad de que ocurra (\(A\) dado \(B\), \(B\) dado \(A\), \(A\) y \(B\), \(A\) o \(B\))________________

11. Sean \(A\) y \(B\) sucesos del espacio muestral \(S\) que son independientes, muestre que \(\bar{A}\) y \(\bar{B}\) son independientes.

12. Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos tales que \(P(A)=0.4\), \(P(\bar{B})=0.7\) y \(P(A\cup B)=0.6\),

    1. ¿son independientes \(A\) y \(B\)? y ¿\(\bar{A}\) y \(\bar{B}\)?
    2. Calcule \(P(A|B)\)
    3. Calcule \(P(A\cap \bar{B})\)
    4. Calcule \(P(\bar{A}\cap \bar{B})\)
    5. Calcule \(P(\bar{A}\cup \bar{B})\)
    6. Calcule \(P(\bar{B}|A)\)

13. Se hace girar una ruleta numerada del 0 al 36. Hallar la probabilidad de que ocurran los siguientes sucesos:

    1. A: “Obtener un número primo”.
    2. B: “Obtener un número divisor de 18”.
    3. C: “Obtener una potencia entera de 2 o de 4”.
    4. D: “Obtener un múltiplo de 2 o de 5”.
    5. E: “Obtener un múltiplo de 7 y no de 11”.
    6. F: “Obtener un número mayor que 10 y menor que 15”.

14. Escribe, utilizando un diagrama de árbol, el espacio muestral asociado al experimento “anotar el sexo de los tres primeros hijos de una familia numerosa”. Determina la probabilidad de los siguientes eventos:

    1. A: “Los dos primeros hijos sean varones”.
    2. B: “Un solo hijo sea varón”.
    3. C: “Al menos dos de los hijos sean de sexo femenino”.

15. En la evaluación de un programa de capacitación de ventas, una empresa descubrió que de los 50 vendedores que recibieron un bono el año anterior, 20 habían acudido a un programa especial de capacitación en ventas. La empresa tiene 200 empleados. Sea \(B\) el suceso de que un vendedor recibiera un bono y \(S\) el suceso de que acudieron al programa especial. Hallar

    1. \(P(B)\)
    2. \(P(S|B)\)
    3. \(P(B \cap S)\).

16. El 42% de la población activa de cierto pais está formada por mujeres. Se sabe que un 24% de las mujeres y un 16% de los hombres están sin trabajo.

    1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de la población activa en el pais esté sin trabajo?
    2. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre dado que está sin trabajo?

17. Se sabe que el 65% de los accidentes de tráfico que se producen durante la noche de los sábados se deben a la ingesta excesiva de alcohol, el 25% se deben a la imprudencia del conductor y el resto a otras causas, (fallo mecánico…etc.). En estos accidentes, el resultado es nefasto el 30% de las veces en el primer caso, el 20% en el segundo y el 5% en el tercero.

    1. Calcular la probabilidad de que uno de estos accidentes no tenga resultado nefasto.
    2. Si se produce un accidente sin resultado nefasto, calcular la probabilidad de que la causa de dicho accidente sea la ingesta excesiva de alcohol.

18. El circuito siguiente trabaja sólo si existe una trayectoria de dispositivos en funcionamiento, de izquierda a derecha. La probabilidad de que cada dispositivo funcione, aparece en la figura. Supongamos que los dispositivos fallan de manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el circuito trabaje?

19. De los 39 alumnos de una clase, 16 escogieron francés y 27 inglés. Nueve alumnos eligieron ambos, y el resto no escogió ninguno de ellos. Si se elige al azar un alumno de dicha clase, halla las siguientes probabilidades.

    1. Escogió francés.
    2. Escogió inglés.
    3. Escogió ambos idiomas.
    4. Escogió francés o inglés.
    5. Escogió francés, pero no inglés.
    6. No escogió ni inglés ni francés.

20. Un médico ha observado que el 40% de sus pacientes fuma y de estos, el 75% son hombres. Entre los que no fuman, el 60% son mujeres. Calcula la probabilidad de:

    1. Un paciente no fumador sea hombre.
    2. Un paciente sea hombre y fumador.
    3. Un paciente sea mujer.
    4. Sabiendo que el paciente ha sido hombre, qué probabilidad hay de que sea fumador.

21. Un avión tiene cinco bombas. Se desea destruir un puente. La probabilidad de destruirlo de un bombazo es 1/5. ¿Cuál es la probabilidad de que se destruya el puente si se lanzan las cinco bombas?

22. Se elige al azar un número entero entre 0 y 999. Halla la probabilidad de que el número elegido:

    1. No tenga ninguna cifra repetida.
    2. Sea capicúa.