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Pour résoudre l’équation différentielle de Bernoulli donnée : \[y' + \frac{2}{x}y = -(x^5)(y^3)(e^x),\] nous avons utilisé une méthode en plusieurs étapes, incluant une substitution pour simplifier l’équation en une forme linéaire, puis résoudre cette forme linéaire. Voici le processus détaillé :
L’équation de Bernoulli est une équation différentielle de la forme : \[y' + p(x)y = q(x)y^n,\] où \(n \neq 0, 1\). Dans notre cas, \(p(x) = \frac{2}{x}\), \(q(x) = -x^5e^x\), et \(n = 3\).
La méthode standard pour résoudre une équation de Bernoulli implique de faire une substitution pour transformer l’équation en une équation différentielle linéaire. Nous utilisons \(v = y^{-2}\) (puisque \(n = 3\), et donc \(1-n = -2\)), ce qui donne une nouvelle variable \(v\) en termes de \(y\).
Ensuite, nous exprimons \(y'\) et \(y\) en termes de \(v\) et de ses dérivées. Cela implique de dériver \(v = y^{-2}\) par rapport à \(x\) pour obtenir une expression pour \(\frac{dv}{dx}\) en fonction de \(y'\) et \(y\). La dérivée est calculée en utilisant la règle de la chaîne et en substituant l’expression de \(y'\) donnée par l’équation de Bernoulli.
L’équation en \(v\) s’est avérée être : \[\frac{dv}{dx} = 0,\] avec \(v(x) = -0.5x^6e^x\) comme solution. Cette solution représente une équation différentielle linéaire en termes de \(v\), simplifiée à partir de l’original par notre substitution.
Enfin, nous substituons la solution trouvée pour \(v\) dans la relation \(y = v^{-\frac{1}{2}}\) pour obtenir la solution de l’équation différentielle originale en termes de \(y\). Cela donne : \[y(x) = \left(-0.5x^6e^x\right)^{-\frac{1}{2}}.\]
\[ y'' + a^2y = 4e^x \]
avec les conditions initiales:
\[ y(0) = 4, \quad y'(0) = -3 \]
Nous allons procéder en plusieurs étapes pour trouver la solution de cette équation différentielle linéaire du second ordre avec un terme non homogène.
La solution générale de l’équation homogène est:
\[ y_h(x) = C_1\sin(ax) + C_2\cos(ax) \]
où \(C_1\) et \(C_2\) sont des constantes à déterminer.
Maintenant, passons à la recherche d’une solution particulière de l’équation non homogène. Étant donné le terme non homogène \(4e^x\), nous pouvons essayer une solution particulière de la forme \(y_p(x) = Ae^x\) où \(A\) est une constante à déterminer. La solution particulière de l’équation non homogène est:
\[ y_p(x) = \frac{4e^x}{a^2 + 1} \]
Maintenant, la solution générale de l’équation différentielle non homogène est la somme de la solution générale de la partie homogène et de la solution particulière, donc:
\[ y(x) = C_1\sin(ax) + C_2\cos(ax) + \frac{4e^x}{a^2 + 1} \]
Pour déterminer les constantes \(C_1\) et \(C_2\), nous allons utiliser les conditions initiales \(y(0) = 4\) et \(y'(0) = -3\).
Les constantes \(C_1\) et \(C_2\) sont trouvées comme suit:
Ainsi, la solution de l’équation différentielle donnée, en respectant les conditions initiales \(y(0) = 4\) et \(y'(0) = -3\), est:
\[ y(x) = \frac{4a^2\cos(ax)}{a^2 + 1} + \frac{(-3a^2 - 7)\sin(ax)}{a^3 + a} + \frac{4e^x}{a^2 + 1} \]
Pour résoudre ce système d’équations linéaires, nous allons le représenter sous forme matricielle \(AX = B\), où \(A\) est la matrice des coefficients des variables \(x\), \(y\), et \(z\), \(X\) est la colonne des variables, et \(B\) est la colonne des termes constants.
Cependant, dans ce cas, il semble que nous ayons un système de transformations plutôt qu’un système d’équations linéaires classique avec des termes constants sur le côté droit. Le système donné est :
\[ \begin{align*} x' &= x - 2y + z \\ y' &= -y - z \\ z' &= 4y + 3z \end{align*} \]
Nous recherchons donc une solution générale pour \(x\), \(y\), et \(z\) en termes de \(x'\), \(y'\), et \(z'\).
Le système peut être représenté sous forme matricielle comme suit :
\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \]
Pour trouver \(x\), \(y\), et \(z\) en fonction de \(x'\), \(y'\), et \(z'\), nous devons inverser cette matrice de coefficients. Je vais donc calculer l’inverse de cette matrice.
L’inverse de la matrice des coefficients est :
\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 10 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & -4 & -1 \end{pmatrix} \]
Cela signifie que nous pouvons exprimer \(x\), \(y\), et \(z\) en fonction de \(x'\), \(y'\), et \(z'\) comme suit :
\[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 10 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & -4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} \]
Ce qui nous donne les équations suivantes pour \(x\), \(y\), et \(z\) :
\[ \begin{align*} x &= x' + 10y' + 3z' \\ y &= 3y' + z' \\ z &= -4y' - z' \end{align*} \]
Ceci complète la résolution du système, en exprimant \(x\), \(y\), et \(z\) en fonction de \(x'\), \(y'\), et \(z'\).