INTRODUCCIÓN
¿Que es el Análisis de Componentes Principales
Este metodo se utiliza para reducir la dimensionalidad de un conjunto de datos, PCA busca transformar un conjunto de variables correlacionadas en un conjunto nuevo de variables no correlacionadas llamadas componentes principales. Estos se calculan mediante combinaciones lineales de las variables originales.El primer componente principal se define como la combinación lineal de las variables que maximiza la varianza de los datos, es decir, este captura la mayor cantidad posible de variabilidad en los datos, el segundo componente principal captura la siguiente mayor cantidad de variabilidad, y así sucesivamente. Es decir, los componentes principales están ordenados de forma descendente por la cantidad de varianza que explican en los datos. Con ello es posible representar los datos en un espacio de menor dimensión manteniendo solo los primeros componentes principales que explican la mayor parte de la variabilidad, lo cual facilita la visualización y el análisis.
¿Para que sirve?
Reducción de Dimensionalidad: Poder reducir las variables en un conjunto de datos mientras se conserva la mayor parte de la información.
Visualización de Datos: Poder visualizar los datos en un espacio de menor dimensión
Análisis de Correlaciones: Poder examinar patrones de correlación entre variables y agruparlas en componentes principales. Ademas., de reducir el efecto de la multicolinealidad en modelos de regresión u otros modelos estadísticos.
Datos a utilizar
Esta base de datos muestra el valor, en dólares norteamericanos, de las viviendas en en el condado de King, Washington durante los años 2014 y 2015, los datos fueron extraidos de “Kaggle”.
| Variable | descripción |
|---|---|
| price | Precio de venta de la casa (en dólares norteamericanos). |
| habitaciones | Número de cuartos en la casa. |
| baños | Número de baños disponibles en la casa, donde un valor de 0.5 representa un baño con inodoro pero sin ducha. |
| pies_cuadrados_casa | Número de pies cuadrados del espacio habitable de la casa. |
| pies_cuadrados_terreno | Pies cuadrados del espacio total del terreno donde se ubica la casa. |
| pisos_casa | Cantidad de pisos en la casa. |
| pies_sobresuelo | Cantidad de pies cuadrados del espacio interior de la casa. que está sobre el nivel del suelo. |
| sotano | Los pies cuadrados del espacio interior de la casa. que está por debajo del nivel del suelo. |
| pies_casa_vecinos | Los pies cuadrados de espacio habitable de la casa interior para los 15 vecinos más cercanos. |
| pies_terreno_vecinos | Los metros cuadrados de los terrenos de los 15 vecinos más cercanos. |
Estadisticas Descriptivas
Curtosis
## [1] 2.789507| Variables | dt.kur | |
|---|---|---|
| habitaciones | habitaciones | 52.052026 |
| baños | baños | 3.171377 |
| pies_cuadrados_casa | pies_cuadrados_casa | 8.241603 |
| pies_cuadrados_terreno | pies_cuadrados_terreno | 288.011596 |
| pisos_casa | pisos_casa | 11.308376 |
| pies_sobresuelo | pies_sobresuelo | 6.401239 |
| sotano | sotano | 5.714668 |
| pies_casa_vecinos | pies_casa_vecinos | 4.596449 |
| pies_terreno_vecinos | pies_terreno_vecinos | 153.727957 |
Asimetria
## [1] -0.02348709| Variables | dt.ske | |
|---|---|---|
| habitaciones | habitaciones | 1.974163 |
| baños | baños | 1.115453 |
| pies_cuadrados_casa | pies_cuadrados_casa | 1.471453 |
| pies_cuadrados_terreno | pies_cuadrados_terreno | 13.059112 |
| pisos_casa | pisos_casa | 2.976003 |
| pies_sobresuelo | pies_sobresuelo | 1.446564 |
| sotano | sotano | 1.577856 |
| pies_casa_vecinos | pies_casa_vecinos | 1.108104 |
| pies_terreno_vecinos | pies_terreno_vecinos | 9.506083 |
| Variables | Media | |
|---|---|---|
| habitaciones | habitaciones | 3.370842 |
| baños | baños | 84.701198 |
| pies_cuadrados_casa | pies_cuadrados_casa | 2079.899736 |
| pies_cuadrados_terreno | pies_cuadrados_terreno | 15106.967566 |
| pisos_casa | pisos_casa | 2.866608 |
| pies_sobresuelo | pies_sobresuelo | 1788.390691 |
| sotano | sotano | 291.509046 |
| pies_casa_vecinos | pies_casa_vecinos | 1986.552492 |
| pies_terreno_vecinos | pies_terreno_vecinos | 12768.455652 |
| Variables | Desviacion_Estandar | |
|---|---|---|
| habitaciones | habitaciones | 9.300618e-01 |
| baños | baños | 1.070348e+02 |
| pies_cuadrados_casa | pies_cuadrados_casa | 9.184409e+02 |
| pies_cuadrados_terreno | pies_cuadrados_terreno | 4.142051e+04 |
| pisos_casa | pisos_casa | 4.364757e+00 |
| pies_sobresuelo | pies_sobresuelo | 8.280910e+02 |
| sotano | sotano | 4.425750e+02 |
| pies_casa_vecinos | pies_casa_vecinos | 6.853913e+02 |
| pies_terreno_vecinos | pies_terreno_vecinos | 2.730418e+04 |
Materiz de correlación
Analisis de componentes principales
Datos transformados:
Selección de las variables activas
Matriz de varianzas y covarianzas:
Matriz de correlaciones:| Variables | R.price | R.habitaciones | R.baños | R.pies_cuadrados_casa | R.pies_cuadrados_terreno | R.pisos_casa | R.pies_sobresuelo | R.sotano | R.pies_casa_vecinos | R.pies_terreno_vecinos | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| price | price | 1.0000000 | 0.0629031 | 0.0510359 | 0.1421689 | 0.0061823 | 0.0022000 | 0.1292070 | 0.0532760 | 0.1283756 | 0.0068878 |
| habitaciones | habitaciones | 0.0629031 | 1.0000000 | 0.2057289 | 0.5766707 | 0.0317032 | 0.0859092 | 0.4776002 | 0.3030934 | 0.3916375 | 0.0292442 |
| baños | baños | 0.0510359 | 0.2057289 | 1.0000000 | 0.2841554 | 0.0411961 | -0.0295371 | 0.1908030 | 0.2326786 | 0.2130195 | 0.0440007 |
| pies_cuadrados_casa | pies_cuadrados_casa | 0.1421689 | 0.5766707 | 0.2841554 | 1.0000000 | 0.1728257 | 0.0384192 | 0.8765966 | 0.4350430 | 0.7564203 | 0.1832856 |
| pies_cuadrados_terreno | pies_cuadrados_terreno | 0.0061823 | 0.0317032 | 0.0411961 | 0.1728257 | 1.0000000 | 0.0129267 | 0.1835123 | 0.0152862 | 0.1446082 | 0.7185568 |
| pisos_casa | pisos_casa | 0.0022000 | 0.0859092 | -0.0295371 | 0.0384192 | 0.0129267 | 1.0000000 | 0.0661691 | -0.0440789 | -0.0350057 | 0.0080793 |
| pies_sobresuelo | pies_sobresuelo | 0.1292070 | 0.4776002 | 0.1908030 | 0.8765966 | 0.1835123 | 0.0661691 | 1.0000000 | -0.0519433 | 0.7318703 | 0.1940499 |
| sotano | sotano | 0.0532760 | 0.3030934 | 0.2326786 | 0.4350430 | 0.0152862 | -0.0440789 | -0.0519433 | 1.0000000 | 0.2003550 | 0.0172762 |
| pies_casa_vecinos | pies_casa_vecinos | 0.1283756 | 0.3916375 | 0.2130195 | 0.7564203 | 0.1446082 | -0.0350057 | 0.7318703 | 0.2003550 | 1.0000000 | 0.1831917 |
| pies_terreno_vecinos | pies_terreno_vecinos | 0.0068878 | 0.0292442 | 0.0440007 | 0.1832856 | 0.7185568 | 0.0080793 | 0.1940499 | 0.0172762 | 0.1831917 | 1.0000000 |
Valores propios de la Matriz de correlaciones y varianza
| Componente | Autovalores | Varianza_Explicada | Varianza_Acumulada |
|---|---|---|---|
| 1 | 3.2585259 | 36.205843 | 36.20584 |
| 2 | 1.6469465 | 18.299405 | 54.50525 |
| 3 | 1.1517149 | 12.796832 | 67.30208 |
| 4 | 0.9989152 | 11.099058 | 78.40114 |
| 5 | 0.8148821 | 9.054246 | 87.45538 |
| 6 | 0.5773920 | 6.415467 | 93.87085 |
| 7 | 0.2902937 | 3.225486 | 97.09634 |
| 8 | 0.2613298 | 2.903664 | 100.00000 |
| 9 | 0.0000000 | 0.000000 | 100.00000 |
Grafico de sedimentación
Datos Centrados y Reducidos
Matriz X′X, en Rp(proyectamos individuos): Vectores propios de la Matriz de correlaciones
## [1] 9.98Importancia de las componentes:
Gráfico para la selección del número de componentes:
sedimentación
Primer plano Principal
Proyección de los individuos:
Primera y segunda componente:lamina 8
Grafico de Correlaciones
Correlaciones entre las variables y las componentes principales:TABLA 6
## PC1 PC2 PC3 PC4
## price -0.1992185 0.126775392 -0.14488616 0.83309543
## habitaciones -0.4624284 0.269749884 0.02569047 -0.30828558
## baños -0.2251999 0.139409469 0.46112363 -0.06434283
## pies_cuadrados_casa -0.5225935 0.110548632 -0.03014963 0.00000000
## pies_cuadrados_terreno -0.1763633 -0.646665292 0.13717143 -0.04898979
## pisos_casa -0.0180000 -0.009000000 -0.35100000 -0.71100000
## pies_sobresuelo -0.3548422 0.007549834 -0.29444354 0.09059801
## sotano -0.1077033 0.113088461 0.36080604 -0.12385879
## pies_casa_vecinos -0.2345549 0.025495098 -0.07648529 0.09178235
## pies_terreno_vecinos 0.0000000 0.000000000 0.00000000 0.00000000
## PC5 PC6 PC7 PC8
## price 1.57563701 0.05433231 0.16299693 -0.01811077
## habitaciones -0.03853570 0.24405942 1.05330907 -0.20552372
## baños 0.06434283 -0.92224726 0.04289522 -0.01072381
## pies_cuadrados_casa -0.05024938 0.11054863 -0.17084789 0.25124689
## pies_cuadrados_terreno 0.06858571 0.02939388 0.09797959 0.54868570
## pisos_casa 0.36000000 -0.09900000 -0.18900000 -0.03600000
## pies_sobresuelo -0.11324752 -0.08304818 -0.02264950 0.18874586
## sotano 0.08616264 0.23156209 -0.16155494 0.02692582
## pies_casa_vecinos -0.07138627 0.01019804 -0.19376274 -0.21415882
## pies_terreno_vecinos 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000
## PC9 PC10
## price -0.01811077 0.0000000
## habitaciones -0.21836895 0.0000000
## baños -0.01072381 0.0000000
## pies_cuadrados_casa 0.34169577 -0.7034913
## pies_cuadrados_terreno -0.41151428 0.0000000
## pisos_casa -0.04500000 0.0000000
## pies_sobresuelo 0.25669437 0.4756396
## sotano 0.03231099 0.1830956
## pies_casa_vecinos -0.32123823 0.0000000
## pies_terreno_vecinos 0.00000000 0.0000000Círculo de correlaciones:
