(1 PUNTO) - Distribución de la Media Muestral. - Una empresa emplea 1500 personas. La cantidad promedio gastada, durante un Año determinado, en servicios médicos personales por empleado fue de 2.575 dólares y la desviación típica de 525 dólares. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 empleados (seleccionados sin reemplazo) arroje una media comprendida entre 2500 y 2700 dólares?
Solución:
# Parámetros dados
mu <- 2575 # Media de la población
sigma <- 525 # Desviación estándar de la población
n <- 100 # Tamaño de la muestra
# Parámetros de la distribución muestral
mu_x_bar <- mu # Media muestral
sigma_x_bar <- sigma / sqrt(n) # Desviación estándar muestral
# Intervalo de interés
intervalo_inferior <- 2500
intervalo_superior <- 2700
# Calcular la probabilidad utilizando la distribución normal
probabilidad <- pnorm(intervalo_superior, mean = mu_x_bar, sd = sigma_x_bar) - pnorm(intervalo_inferior, mean = mu_x_bar, sd = sigma_x_bar)
# Imprimir la probabilidad
print(probabilidad)## [1] 0.9148023(PUNTO 18) - Distribución Chi-cuadradado - Calidad en la Producción de Componentes Electrónicos: En el ámbito económico, consideremos un escenario donde una empresa se especializa en la producción de componentes electrónicos esenciales para diversos sectores económicos. La resistencia en ohmios de estos componentes, cuando el proceso de producción funciona correctamente, sigue una distribución normal con desviación típica de 3.6 ohmios. La empresa está interesada en evaluar la consistencia en la resistencia de sus productos y decide tomar muestras aleatorias de 4 componentes para analizar la variabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor 27?
Solución:
n <- 4
varianza_poblacional <- 3.6
varianza_limite <- 27
chi_cuadrado <- ((n - 1) * varianza_poblacional) / varianza_limite
probabilidad <- pchisq(chi_cuadrado, df = n-1, lower.tail = TRUE)
print(paste("La probabilidad de que la varianza de la densidad sea menor que", varianza_limite, "g/cm³ es:", probabilidad))## [1] "La probabilidad de que la varianza de la densidad sea menor que 27 g/cm³ es: 0.0597575051606393"(PUNTO 13) - Distribución de la Proporción Muestral - Se desea estudiar una muestra de 20 personas para saber la proporción de ellas que tienen más de 40 años. Sabiendo que la proporción en la población es del 40%, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra sea menor del 50%?
Solución:
# Definir los parámetros
n <- 20 # Tamaño de la muestra
p <- 0.4 # Proporción en la población
# Calcular la probabilidad acumulada de tener menos del 50% de personas mayores de 40 años en la muestra
prob_menor_50 <- pbinom(floor(n*0.5), n, p)
# Calcular la probabilidad de que la proporción en la muestra sea menor del 50%
prob_mayor_50 <- 1 - prob_menor_50
# Imprimir el resultado
print(prob_mayor_50)## [1] 0.1275212(PUNTO 22) - Distribución de la Razón de Varianzas - Se supone que la varianza de las calificaciones de las pruebas de estado en cierto país es la misma para hombres y mujeres. Una muestra aleatoria de 21 hombres y una muestra aleatoria independiente de 19 mujeres dan varianzas de 876 y 400 respectivamente. Si las calificaciones para hombres y mujeres están normalmente distribuidas y tienen varianzas iguales, ¿cuál es la probabilidad de obtener de esas muestras resultados tan extremos o más extremos que estos?
Solución:
n1 <- 21 # Tamaño de la muestra de hombres
n2 <- 19 # Tamaño de la muestra de mujeres
s1_sq <- 876 # Varianza muestral de hombres
s2_sq <- 400 # Varianza muestral de mujeres
# Estadística de prueba (F)
F_stat <- (s1_sq / s2_sq)
# Grados de libertad
df1 <- n1 - 1
df2 <- n2 - 1
# Probabilidad de obtener resultados tan extremos o más extremos
p_value <- pf(F_stat, df1, df2, lower.tail = FALSE) * 2
# Imprimir resultado
print(p_value)## [1] 0.1001248(PUNTO 9) - Distribución de las diferencia de Medias - Comparación de Impacto Económico entre dos Estrategias Monetarias: Supongamos que se está llevando a cabo un experimento económico en el cual se están comparando dos estrategias monetarias (A y B) con el objetivo de reducir el tiempo de respuesta de una determinada variable económica. El experimentador sabe que en las respectivas poblaciones los tiempos de respuestas están distribuidos normalmente. por ejemplo, el tiempo que tardan los consumidores en responder a cambios en las tasas de interés. Se administra la estrategia A a 30 empresas y la estrategia B a 40 empresas. Cuando se lleva a cabo el experimento de reducción de el tiempo de respuesta de una determinada estrategia económica el tiempo promedio de la estrategia A es 30,45 con una desviación típica de 5 milisegundos, la estrategia B son 24,9 y 6 milisegundos Se desea determinar la probabilidad de que la diferencia entre el impacto promedio de las estrategias A y B en el tiempo de respuesta de las empresas sea menor o igual al observado en el experimento.
Solución:
n_A <- 30
media_A <- 30.45
desviacion_A <- 5
n_B <- 40
media_B <- 24.9
desviacion_B <- 6
diferencia_observada <- media_B - media_A
diferencia_esperada <- 0
#desviación estándar de la diferencia
desviacion_diferencia <- sqrt((desviacion_A^2 / n_A) + (desviacion_B^2 / n_B))
#Z
Z <- (diferencia_observada - diferencia_esperada) / desviacion_diferencia
# probabilidad utilizando la distribución normal estándar
probabilidad <- pnorm(Z)
cat("Probabilidad de que la diferencia en la permeabilidad entre los dos tipos de suelo sea menor que la observada:", probabilidad, "\n")## Probabilidad de que la diferencia en la permeabilidad entre los dos tipos de suelo sea menor que la observada: 1.245974e-05