Problemas de distribuciones muestrales

Distribución de la medida muestral ### t de student Ejercicio numero 2 Un estudio de tránsito revela que el numero promedio de ocupantes de un auto Es 1,75. En una muestra de 50 autos con desviación estándar 0,65, seleccionada de una población normal, encuentre la probabilidad de que el numero promedio de ocupantes sea mayor que 2.

media_poblacional <- 1.5
desviación <- 0.65
n <- 50 
media_muestra <- 2 
#calcular la T de student 
t <- (media_muestra - media_poblacional)/ (desviación/sqrt(n)) 
probabilidad <- pt(t, df = n - 1, lower.tail = FALSE) 
print(paste("La probabilidad de que el promedio del numero de ocupantes sea mayor a 2 es:", probabilidad))
## [1] "La probabilidad de que el promedio del numero de ocupantes sea mayor a 2 es: 8.44221065514251e-07"

Distribución de la diferencia de medidas muestrales #Diferencia de medidas Ejercicio numero 9 Comparación de Impacto Económico entre dos Estrategias Monetarias: Supongamos que se está llevando a cabo un experimento económico en el cual se están comparando dos estrategias monetarias (A y B) con el objetivo de reducir el tiempo de respuesta de una determinada variable económica. El experimentador sabe que en las respectivas poblaciones los tiempos de respuestas están distribuidos normalmente. por ejemplo, el tiempo que tardan los consumidores en responder a cambios en las tasas de interés. Se administra la estrategia A a 30 empresas y la estrategia B a 40 empresas. Cuando se lleva a cabo el experimento de reducción de el tiempo de respuesta de una determinada estrategia económica el tiempo promedio de la estrategia A es 30,45 con una desviación típica de 5 milisegundos, la estrategia B son 24,9 y 6 milisegundos Se desea determinar la probabilidad de que la diferencia entre el impacto promedio de las estrategias A y B en el tiempo de respuesta de las empresas sea menor o igual al observado en el experimento.

n_A <- 30
media_A <- 30.45
desviacion_A <- 5


n_B <- 40
media_B <- 24.9
desviacion_B <- 6


diferencia_observada <- media_B - media_A


diferencia_esperada <- 0

#desviación estándar de la diferencia
desviacion_diferencia <- sqrt((desviacion_A^2 / n_A) + (desviacion_B^2 / n_B))

#Z (en este siguiente paso calculamos la desviación estándar de la diferencia de medias)
Z <- (diferencia_observada - diferencia_esperada) / desviacion_diferencia

# probabilidad utilizando la distribución normal estándar
probabilidad <- pnorm(Z)


cat("Probabilidad de que la diferencia :", probabilidad, "\n")
## Probabilidad de que la diferencia : 1.245974e-05

Distribución de la proporción muestral #distribucion muestral Ejercicio numero 12 Se toma una muestra de 250 casas de una población de edificios antiguos para estimar la proporción de casas de este tipo cuya instalación eléctrica resulta insegura. Supongamos que, de hecho, el 30% de todos los edificios de esta población tienen una instalación insegura. Hallar la probabilidad de que la proporción de edificios de la muestra con instalación insegura esté entre 0,25 y 0,35.

# Datos dados por el problema a resolver 
p_poblacion <- 0.3  # Proporción de casas con instalación insegura en la población
n_muestra <- 250    # Tamaño de la muestra
p_min <- 0.25       # Proporción mínima deseada en la muestra
p_max <- 0.35       # Proporción máxima deseada en la muestra

#  en este paso calculamos la media y la desviación estándar de la distribución binomial
mu <- n_muestra * p_poblacion
sigma <- sqrt(n_muestra * p_poblacion * (1 - p_poblacion))

# Calculamos las probabilidades acumuladas
prob_min <- pnorm((p_min * n_muestra - mu) / sigma)
prob_max <- pnorm((p_max * n_muestra - mu) / sigma)

# Calculamos la probabilidad buscada restando las probabilidades acumuladas
probabilidad <- prob_max - prob_min

# Imprimimos el resultado
cat("La probabilidad de que la proporción de edificios de la muestra con instalación insegura esté entre", p_min, "y", p_max, "es:", probabilidad, "\n")
## La probabilidad de que la proporción de edificios de la muestra con instalación insegura esté entre 0.25 y 0.35 es: 0.9155021

Distribución de la Diferencia de Proporciones Muestrales #Distribución de la diferecnia de muestra Ejercicio numero 16 En una muestra aleatoria simple de 150 ingenieros que habían culminado su carrera en universidades privadas, 45 gozan de una estabilidad económica. En una muestra aleatoria simple independiente de 200 ingenieros que había culminado su carrera en universidades públicas, 20 gozan de una estabilidad económica. Supongamos que la proporción de los ingenieros que gozan una estabilidad económica es de 0,15 en cada grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que los resultados obtenidos con estas muestras lleguen a este extremo o a más?

# Datos obtenidos del problema 
p_privada <- 0.15   # Proporción de ingenieros con estabilidad económica en U privadas
p_publica <- 0.15   # Proporción de ingenieros con estabilidad económica en U públicas
n_privada <- 150    # Tamaño de la muestra de ingenieros de U privadas
n_publica <- 200    # Tamaño de la muestra de ingenieros de U públicas

# Buscamos  la diferencia de proporciones muestrales
p_diff <- p_privada - p_publica

# A continuacion calculo  la varianza de la diferencia de proporciones muestrales
var_diff <- (p_privada * (1 - p_privada) / n_privada) + (p_publica * (1 - p_publica) / n_publica)

# Sigo con la desviación estándar de la diferencia de proporciones muestrales
sd_diff <- sqrt(var_diff)

# Defino una funcion para  la función de distribución acumulativa normal estándar
pnorm_diff <- function(x) pnorm(x, mean = 0, sd = sd_diff)

# Busco la probabilidad de que la diferencia sea ≥ a la observada
probabilidad <- 1 - pnorm_diff(p_diff)

# Imprimimos el resultado
cat("La probabilidad de que los resultados obtenidos con estas muestras lleguen a este extremo o más es:", probabilidad, "\n")
## La probabilidad de que los resultados obtenidos con estas muestras lleguen a este extremo o más es: 0.5

Distribución de la Varianza Muestral #Distribucion de la varianza muestral (chi-cuadrado) Ejercicio numero 18 Las rentabilidades mensuales de cierto tipo de acciones son independientes unas de otras y siguen una distribución normal con desviación típica de 1,7. Se toma una muestra de 12 meses. Hallar la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea: (a) menor que 2,5 (b) mayor que 1.

# Datos obtenidos del problema
sigma <- 1.7        # Desviación típica de la distribución normal
n <- 12             # Tamaño de la muestra
df <- n - 1         # Grados de libertad para la distribución chi-cuadrado

# Definimos la función de distribución acumulativa chi-cuadrado
pchisq_sigma <- function(x) pchisq(x, df)

# Calculamos la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea menor que 2.5
prob_menor_2_5 <- pchisq_sigma((2.5^2 * (n - 1)) / sigma^2)

# Calculamos la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea mayor que 1
prob_mayor_1 <- 1 - pchisq_sigma((1^2 * (n - 1)) / sigma^2)

# Imprimimos los resultados
cat("La probabilidad de que la desviación estándar muestral sea menor que 2.5 es:", prob_menor_2_5, "\n")
## La probabilidad de que la desviación estándar muestral sea menor que 2.5 es: 0.986347
cat("La probabilidad de que la desviación estándar muestral sea mayor que 1 es:", prob_mayor_1, "\n")
## La probabilidad de que la desviación estándar muestral sea mayor que 1 es: 0.9752462

Distribución de la Razón de Varianzas Muestrales. #Distribución de la razon de varianzas M. Ejercicio numero 22 . Se supone que la varianza de las calificaciones de las pruebas de estado en cierto país es la misma para hombres y mujeres. Una muestra aleatoria de 21 hombres y una muestra aleatoria independiente de 19 mujeres dan varianzas de 876 y 400 respectivamente. Si las calificaciones para hombres y mujeres están normalmente distribuidas y tienen varianzas iguales, ¿cuál es la probabilidad de obtener de esas muestras resultados tan extremos o más extremos que estos?

# Datos obtenidos del problema
var_hombres <- 876    # Varianza de las calificaciones de las pruebas de estado para hombres
var_mujeres <- 400    # Varianza de las calificaciones de las pruebas de estado para mujeres
n_hombres <- 21       # Tamaño de la muestra de hombres
n_mujeres <- 19       # Tamaño de la muestra de mujeres

# Calculamos la razón de varianzas muestrales
ratio_varianzas <- var_hombres / var_mujeres

# Grados de libertad para la distribución F
df1 <- n_hombres - 1
df2 <- n_mujeres - 1

# Definimos la función de distribución acumulativa F
pf_ratio_varianzas <- function(x) pf(x, df1, df2)

# Calculamos la probabilidad de obtener resultados tan extremos o más extremos que estos
probabilidad <- 1 - pf_ratio_varianzas(ratio_varianzas)

# Imprimimos el resultado
cat("La probabilidad de obtener de esas muestras resultados tan extremos o más extremos que estos es:", probabilidad, "\n")
## La probabilidad de obtener de esas muestras resultados tan extremos o más extremos que estos es: 0.05006241