Se supone que la varianza de las calificaciones de las pruebas de estado en cierto país es la misma para hombres y mujeres. Una muestra aleatoria de 21 hombres y una muestra aleatoria independiente de 19 mujeres dan varianzas de 876 y 400 respectivamente. Si las calificaciones para hombres y mujeres están normalmente distribuidas y tienen varianzas iguales, ¿cuál es la probabilidad de obtener de esas muestras resultados tan extremos o más extremos que estos?
#muestra 1
desviacion_estandar_1 <- sqrt(876)
n_1 <- 21
#muestra_2
desviacion_estandar_2 <- sqrt(400)
n_2 <- 19
#razón de varianzas
razon_varianzas <- (desviacion_estandar_1 **2) / (desviacion_estandar_2 **2)
# Definir los grados de libertad para la distribución F
df1 <- n_1 - 1
df2 <- n_2 - 1
#probabilidad utilizando la distribución F de Fisher
probabilidad <- pf(razon_varianzas, df1, df2, lower.tail = FALSE)
cat("Probabilidad de que la razón de varianzas sea MAYOR a :", probabilidad, "\n")## Probabilidad de que la razón de varianzas sea MAYOR a : 0.05006241Una empresa emplea 1500 personas. La cantidad promedio gastada, durante un año determinado, en servicios médicos personales por empleado fue de 2.575 dólares y la desviación típica de 525 dólares. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 empleados (seleccionados sin reemplazo) arroje una media comprendida entre 2500 y 2700 dólares?
# Informacion dada
media_poblacion <- 2575
desviacion <- 525
n <- 100
media_muestra_1 <- 2500
media_muestra_2 <- 2700
# Calcular la t de Student para la muestra menor
t_menor <- (media_muestra_1 - media_poblacion) / (desviacion / sqrt(n))
# Calculo de la t de Student para la muestra mayor
t_mayor <- (media_muestra_2 - media_poblacion) / (desviacion / sqrt(n))
# Calculo de probabilidad con pt() para la distribución t
probabilidad_menor <- pt(t_menor, df = n - 1)
probabilidad_mayor <- pt(t_mayor, df = n - 1)
# Diferencia entre las probabilidades mayor y menor
probabilidad <- probabilidad_mayor - probabilidad_menor
# Imprimir el resultado
print(paste("La probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 empleados sea de una media comprendida entre 2500 y 2700 dólares es:", probabilidad))## [1] "La probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 empleados sea de una media comprendida entre 2500 y 2700 dólares es: 0.912271986362013"Se identificaron dos poblaciones de alumnos de último año de un colegio. La variable de interés en la investigación consistía en los puntajes obtenidos en una prueba de rendimiento en estadística que hicieron los estudiantes de las dos poblaciones. Los investigadores suponían que los puntajes de las dos poblaciones estaban distribuidos normalmente con las siguientes medias y varianzas: µ1=50, σ^2 uno es 40, µ2=40,σ^2 dos es 60. Una muestra aleatoria de tamaño n1=10 se saca de la población1 y una de tamaño n2=12 de población 2. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre las medias muestrales esté entre 5 y 15?
# informacion dada
# muestra 1
n_1 <- 10
desviacion_1 <- 40
media_1 <- 50
#muestra 2
n_2 <- 12
desviacion_2 <- 60
media_2 <- 40
# datos pedidos
diferencia_pedida_1 <- 5
diferencia_pedida_2 <- 15
#Calculo de diferencia de medias
diferencia_de_medias_observadas <- media_1 - media_2
# desviación de la diferencia
desviacion_diferencia <- sqrt((desviacion_1 / n_1) + (desviacion_2 / n_2))
# Calculo de las Z para el intervalo
Z_1 <- (diferencia_pedida_1 - diferencia_de_medias_observadas) / desviacion_diferencia
Z_2 <- (diferencia_pedida_2 - diferencia_de_medias_observadas) / desviacion_diferencia
# Calculo de probabilidad con la distribución normal
probabilidad_1 <- pnorm(Z_1)
probabilidad_2 <- pnorm(Z_2)
# Calculo de la probabilidad pedida en el ejercicio
probabilidad_ped <- probabilidad_2-probabilidad_1
print(paste("La probabilidad que la diferencia de las medias muestrales es de", probabilidad_ped))## [1] "La probabilidad que la diferencia de las medias muestrales es de 0.904419295454371"Se desea estudiar una muestra de 20 personas para saber la proporción de ellas que tienen más de 40 años. Sabiendo que la proporción en la población es del 40%, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra sea menor del 50%?
n <- 20
probabilidad_pedida <- 0.5
proporcion_poblacional <- 0.4
# Calculo de Z por la distribucion normal
dif_proporciones <- probabilidad_pedida-proporcion_poblacional
raiz <- sqrt((proporcion_poblacional*(1-proporcion_poblacional))/n)
z <- dif_proporciones/raiz
# Calculo de la probabilidad con la distribucion normal
probabilidad <- pnorm(z)
print(paste("La probabilidad de que la proporción sea del 50% es del", probabilidad))## [1] "La probabilidad de que la proporción sea del 50% es del 0.81934478573691"Las rentabilidades mensuales de cierto tipo de acciones son independientes unas de otras y siguen una distribución normal con desviación típica de 1,7. Se toma una muestra de 12 meses. Hallar la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea: (a) menor que 2,5 (b) mayor que 1.
n <- 12
desviacion_tipica <- 1.7
desviacion_A <- 2.5
desviacion_B <- 1
# Calculo de chi^2
chi_A <- (n - 1) * ((desviacion_A**2)/ (desviacion_tipica**2))
chi_B <- (n - 1) * ((desviacion_B**2) / (desviacion_tipica**2))
# Calculo de la probabilidad del valor A
probabilidad_A <- pchisq(chi_A, df = n - 1, lower.tail = FALSE)
# Calculo de la probabilidad del valor B
probabilidad_B <- 1 - pchisq(chi_B, df = n - 1)
print(paste ("la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea menor que 2,5 es", probabilidad_A))## [1] "la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea menor que 2,5 es 0.0136530238901566"print(paste ("la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea mayor que 1 es", probabilidad_B))## [1] "la probabilidad de que la desviación estándar muestral sea mayor que 1 es 0.975246169132498"